پرش به محتوا

چندضلعی ستاره‌ای

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
مجموعه چندضلعی‌های منتظم ستاره‌ای

{۵/۲}

{۷/۲}

{۷/۳}

{۸/۳}

{۹/۲}

{۹/۴}

{۱۰/۳}
...
نماد اشلفلی

gcd(p,q)=۱
{p/q}
رأس‌ها و اضلاع p
چگالی q
گروه تقارن دوسطحی (Dp)
چندضلعی همزاد خودهمزاد
اندازه زاویه داخلی
(درجه)
[۱]

یک چندضلعی ستاره‌ای منظم، یک چندضلعی منتظم غیرمحدب است. در ریاضیات، تنها چندضلعی‌های ستاره‌ای منتظم مورد مطالعه قرار گرفته‌اند و چندضلعی‌های ستاره‌ای عمومی (غیرمنتظم)، به‌صورت رسمی تعریف نشده‌اند.

در هندسه، یک چندضلعی ستاره‌ای منتظم، چندضلعی است که اضلاع آن یکدیگر را قطع می‌کنند، اندازه اضلاع و زوایای داخلی آن برابر بوده و با اتصال یک رأس یک چندضلعی p-وجهی منتظم ساده به یک رأس غیرمجاور و ادامه‌دادن این روند تا رسیدن دوباره به همان رأس ایجاد می‌شود.[۲] در یک چندضلعی ستاره‌ای، هر ضلع آن تنها دو ضلع دیگر را قطع می‌کند. برای اعداد صحیح p و q، این چندضلعی می‌تواند با اتصال هر نقطهٔ qام از p نقطه که به فاصله یکسان بر روی یک دایره قرار گرفته‌اند، ایجاد شود.[۳] نماد چنین چندضلعی {p/q} بوده که معادل {p/p-q} است. چندضلعی‌های ستاره‌ای منتظم زمانی ایجاد خواهند شد که p و q متباین باشند.

محیط و مساحت

[ویرایش]

مساحت هر ستارۀ n پر منتظم، برابر با مجموع مساحت چندضلعی مولد آن و مساحت مثلث های اطراف آن است. به عنوان مثال، ستارۀ منتظم پنج پر زیر را در نظر بگیرید. مساحت ستاره در این حالت برابر است با:

five-pointed regular star area

برای تبدیل طول ضلع چندضلعی به طول ضلع مثلث (پر ستاره) می توانیم از قانون کسینوس ها استفاده کنیم:

با جایگذاری این عبارت در فرمول مساحت ستاره، خواهیم داشت:

با محاسبات جمع زوایای داخلی مثلث و زوایای داخلی چندضلعی می دانیم:

فلذا مقادیر سینوس و کسینوس گاما را می توان به شکل زیر ساده سازی کرد:

اگر این مقادیر را در فرمول مساحت ستاره قرار دهیم:

با گرفتن مخرج مشترک و ساده سازی عبارت داخل کروشه به فرمول زیر خواهیم رسید:

صورت کسر را می توانیم باز هم ساده تر کنیم تا به فرمول زیر برسیم:

این فرمول، فرمول محاسبۀ مساحت ستارۀ منتظم است که در آن a طول ضلع هر پر ستاره و n تعداد پرهای ستاره است.[۴]

پانویس

[ویرایش]
  1. Kappraff, Jay (2002). Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number. World Scientific. p. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
  2. Coxeter, Harold Scott Macdonald (1973). Regular polytopes. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-61480-9.
  3. Weisstein, Eric W. "Star Polygon". MathWorld.
  4. «بررسی هندسی شکل ستاره منتظم». رشد برهان ریاضی. ۲۷ (۱۰۶): ۱۰–۱۲. دی ۱۳۹۶.