چندضلعی ستاره‌ای

مجموعه چندضلعی‌های منتظم ستاره‌ای

{۵/۲} {۷/۲} {۷/۳} {۸/۳} {۹/۲} {۹/۴} {۱۰/۳} ...
نماد اشلفلی $2<2q<p$ gcd(p,q)=۱	{p/q}
رأس‌ها و اضلاع	p
چگالی	q
گروه تقارن	دوسطحی (Dp)
چندضلعی همزاد	خودهمزاد
اندازه زاویه داخلی (درجه)	${\frac {180(p-2q)}{p}}$

یک چندضلعی ستاره‌ای منظم، یک چندضلعی منتظم غیرمحدب است. در ریاضیات، تنها چندضلعی‌های ستاره‌ای منتظم مورد مطالعه قرار گرفته‌اند و چندضلعی‌های ستاره‌ای عمومی (غیرمنتظم)، به‌صورت رسمی تعریف نشده‌اند.

در هندسه، یک چندضلعی ستاره‌ای منتظم، چندضلعی است که اضلاع آن یکدیگر را قطع می‌کنند، اندازه اضلاع و زوایای داخلی آن برابر بوده و با اتصال یک رأس یک چندضلعی p-وجهی منتظم ساده به یک رأس غیرمجاور و ادامه‌دادن این روند تا رسیدن دوباره به همان رأس ایجاد می‌شود. در یک چندضلعی ستاره‌ای، هر ضلع آن تنها دو ضلع دیگر را قطع می‌کند. برای اعداد صحیح p و q، این چندضلعی می‌تواند با اتصال هر نقطهٔ qام از p نقطه که به فاصله یکسان بر روی یک دایره قرار گرفته‌اند، ایجاد شود. نماد چنین چندضلعی {p/q} بوده که معادل {p/p-q} است. چندضلعی‌های ستاره‌ای منتظم زمانی ایجاد خواهند شد که p و q متباین باشند.

محیط و مساحت

مساحت هر ستارۀ n پر منتظم، برابر با مجموع مساحت چندضلعی مولد آن و مساحت مثلث های اطراف آن است. به عنوان مثال، ستارۀ منتظم پنج پر زیر را در نظر بگیرید. مساحت ستاره در این حالت برابر است با:

five-pointed regular star area

$A_{star}=A_{polygon}+n\times (A_{triangle})={nb^{2} \over 4tan(\pi /n)}+{na^{2} \over 2}sin(\gamma )$

برای تبدیل طول ضلع چندضلعی به طول ضلع مثلث (پر ستاره) می توانیم از قانون کسینوس ها استفاده کنیم:

$b^{2}=a^{2}+a^{2}-2a^{2}cos\gamma =2a^{2}(1-cos\gamma )$

با جایگذاری این عبارت در فرمول مساحت ستاره، خواهیم داشت:

$A_{star}={na^{2}(1-cos\gamma ) \over 2tan(\pi /n)}+{na^{2}sin\gamma \over 2}={na^{2} \over 2}({1-cos\gamma \over tan(\pi /n)}+sin\gamma )$

با محاسبات جمع زوایای داخلی مثلث و زوایای داخلی چندضلعی می دانیم:

$\gamma =\pi -{4\pi \over n}$

فلذا مقادیر سینوس و کسینوس گاما را می توان به شکل زیر ساده سازی کرد:

$sin\gamma =sin(\pi -{4\pi \over n})=sin({4\pi \over n})$

$cos\gamma =cos(\pi -{4\pi \over n})=-cos({4\pi \over n})$

اگر این مقادیر را در فرمول مساحت ستاره قرار دهیم:

$A_{star}={na^{2} \over 2}[{1+cos(4\pi /n) \over tan(\pi /n)}+sin(4\pi /n)]$

با گرفتن مخرج مشترک و ساده سازی عبارت داخل کروشه به فرمول زیر خواهیم رسید:

$A_{star}={na^{2} \over 2}[{cos(\pi /n)+cos(3\pi /n) \over sin(\pi /n)}]$

صورت کسر را می توانیم باز هم ساده تر کنیم تا به فرمول زیر برسیم:

$A_{star}={na^{2} \over 2}[{2cos(2\pi /n) \over tan(\pi /n)}]={na^{2}cos(2\pi /n) \over tan(\pi /n)}]$

این فرمول، فرمول محاسبۀ مساحت ستارۀ منتظم است که در آن a طول ضلع هر پر ستاره و n تعداد پرهای ستاره است.