دوازده‌ضلعی: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده

درخط

نسخهٔ ‏۲ مهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۱۳:۳۰

دوازده‌ضلعی منتظم
یک دوازده‌ضلعی منتظم
اضلاع و رأس‌ها	۱۲
نماد اشلفلی	{۱۲}
مساحت (با طول ضلع $a$ )	${\begin{aligned}A&=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}.\end{aligned}}$
زاویه داخلی (درجه)	۱۵۰

در هندسه، دوازده‌ضلعی (به انگلیسی: Dodecagon)، یک چندضلعی با دوازده ضلع است.

دوازده‌ضلعی منتظم

یک دوازده‌ضلعی منتظم دارای ضلع‌ها و زاویه‌های داخلی برابر است. اندازهٔ زاویه‌های داخلی هر رأس آن، ۱۵۰ درجه بوده و مساحت آن با استفاده از رابطهٔ زیر محاسبه می‌شود:

{\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\ &\simeq 11.19615242\,a^{2}.\end{aligned}}

یا اگر R شعاع دایره محیطی دوازده‌ضلعی منتظم باشد،^[۱]

A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.

و اگر r شعاع دایره محاطی آن باشد،

{\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\ &\simeq 3.2153903\,r^{2}.\end{aligned}}

یک فرمول ساده برای مساحت دوازده‌ضلعی منتظم به صورت $\scriptstyle A\,=\,3ad$ است، که $d$ فاصلهٔ بین اضلاع موازی است که برابر با قطر دایره محاطی ( $2r$ ) است. با استفاده از روابط مثلثاتی، رابطهٔ $\scriptstyle d\,=\,a(1\,+\,2cos{30^{\circ }}\,+\,2cos{60^{\circ }})$ بدست می‌آید.

روش رسم دوازده ضلعی منتظم

یک دوازده‌ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار قابل ترسیم است:

کاربرد

یک دوازده ضلعی منتظم می‌تواند گوشهٔ ایجادشده توسط برخی چندضلعی‌های منتظم دیگر را پر کند:

3.12.12	4.6.12	3.3.4.12	3.4.3.12

۳ مثال از کاربرد دوازده‌ضلعی منتظم در کاشی‌کاری در زیر ارائه شده است:

کاشی‌کاری نیمه‌منتظم ۳٫۱۲٫۱۲	کاشی‌کاری نیمه‌منتظم ۴٫۶٫۱۲	کاشی‌کاری غیرمنتظم ۳٫۳٫۴٫۱۲ و ۳٫۳٫۳٫۳٫۳٫۳

پانویس

↑ همچنین ببینید Kürschák's geometric proof on the Wolfram Demonstration Project بایگانی‌شده در ۳۱ ژوئیه ۲۰۱۸ توسط Wayback Machine

[1] همچنین ببینید Kürschák's geometric proof on the Wolfram Demonstration Project بایگانی‌شده در ۳۱ ژوئیه ۲۰۱۸ توسط Wayback Machine

[۱]

@@ خط ۲۱: / خط ۲۱: @@
 :<math>\begin{align} A & = 3 \cot\left(\frac{\pi}{12} \right) a^2 =                      3 \left(2+\sqrt{3} \right) a^2 \                 & \simeq 11.19615242\,a^2.
  \end{align}</math>
-یا اگر ''R'' شعاع [[دایره محیطی]] دوازده‌ضلعی منتظم باشد،<ref>همچنین ببینید [[József Kürschák|Kürschák]]'s geometric proof on [http://demonstrations.wolfram.com/KurschaksDodecagon/ the Wolfram Demonstration Project] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180731061811/http://demonstrations.wolfram.com/KurschaksDodecagon/ |date=۳۱ ژوئیه ۲۰۱۸ }}</ref>
+یا اگر ''R'' شعاع [[دایره محیطی]] دوازده‌ضلعی منتظم باشد،<ref>همچنین ببینید [[József Kürschák|Kürschák]]'s geometric proof on [http://demonstrations.wolfram.com/KurschaksDodecagon/ the Wolfram Demonstration Project] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180731061811/http://demonstrations.wolfram.com/KurschaksDodecagon/ |date=۳۱ ژوئیه ۲۰۱۸}}</ref>
 :<math>A = 6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) R^2 = 3 R^2.</math>
 و اگر ''r'' شعاع [[دایره محاطی]] آن باشد،
@@ خط ۲۷: / خط ۲۷: @@
 \                 & \simeq 3.2153903\,r^2.
  \end{align}</math>
-یک فرمول ساده برای مساحت دوازده‌ضلعی منتظم به صورت <math>\scriptstyle A\,=\,3ad</math> است، که <math>d</math> فاصلهٔ بین اضلاع موازی است که برابر با قطر دایره محاطی (<math>2r</math>) است. با استفاده از روابط [[مثلثات|مثلثاتی]]، رابطهٔ <math>\scriptstyle d\,=\,a(1\,+\,2cos{30^\circ}\,+\,2cos{60^\circ})</math> بدست می‌آید.
+یک فرمول ساده برای مساحت دوازده‌ضلعی منتظم به صورت <math>\scriptstyle A\,=\,3ad</math> است، که <math>d</math> فاصلهٔ بین اضلاع موازی است که برابر با قطر دایره محاطی (<math>2r</math>) است. با استفاده از روابط [[مثلثات]]ی، رابطهٔ <math>\scriptstyle d\,=\,a(1\,+\,2cos{30^\circ}\,+\,2cos{60^\circ})</math> بدست می‌آید.
 == روش رسم دوازده ضلعی منتظم ==
@@ خط ۳۷: / خط ۳۷: @@
 یک دوازده ضلعی منتظم می‌تواند گوشهٔ ایجادشده توسط برخی چندضلعی‌های منتظم دیگر را پر کند:
 {| class=wikitable
-|[[File:3.12.12 vertex.png|120px]]<BR>3.12.12
+|[[پرونده:3.12.12 vertex.png|120px]]<BR>3.12.12
-|[[File:4.6.12 vertex.png|120px]]<BR>4.6.12
+|[[پرونده:4.6.12 vertex.png|120px]]<BR>4.6.12
-|[[File:3.3.4.12 vertex.png|120px]]<BR>3.3.4.12
+|[[پرونده:3.3.4.12 vertex.png|120px]]<BR>3.3.4.12
-|[[File:3.4.3.12 vertex.png|120px]]<BR>3.4.3.12
+|[[پرونده:3.4.3.12 vertex.png|120px]]<BR>3.4.3.12
 |}
 ۳ مثال از کاربرد دوازده‌ضلعی منتظم در کاشی‌کاری در زیر ارائه شده است:
 {| width=640 class="wikitable"
-|[[Image:Tile 3bb.svg|300px|Tile 3bb.svg]]{{سخ}}کاشی‌کاری نیمه‌منتظم ۳٫۱۲٫۱۲
+|[[پرونده:Tile 3bb.svg|300px|Tile 3bb.svg]]{{سخ}}کاشی‌کاری نیمه‌منتظم ۳٫۱۲٫۱۲
-|[[Image:Tile 46b.svg|300px]]{{سخ}}کاشی‌کاری نیمه‌منتظم ۴٫۶٫۱۲
+|[[پرونده:Tile 46b.svg|300px]]{{سخ}}کاشی‌کاری نیمه‌منتظم ۴٫۶٫۱۲
-|[[Image:Dem3343tbc.png|300px]]{{سخ}}کاشی‌کاری غیرمنتظم ۳٫۳٫۴٫۱۲ و ۳٫۳٫۳٫۳٫۳٫۳
+|[[پرونده:Dem3343tbc.png|300px]]{{سخ}}کاشی‌کاری غیرمنتظم ۳٫۳٫۴٫۱۲ و ۳٫۳٫۳٫۳٫۳٫۳
 |}
 == پانویس ==
 {{پانویس}}
 {{چندضلعی‌ها}}
 [[رده:چندضلعی‌ها]]
+[[رده:چندضلعی‌های ترسیم‌پذیر]]