از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
در ریاضیات ، تابع چبیشف توسط پافنوتی چبیشف تعریف شد. تابع چبیشف به دو شکل مطرح است.
تعریف تابع تابع اولیهٔ چبیشف را با علامت ϑ یا θ نشان می‌دهند و به شکل زیر تعریف می‌شود.
ϑ
(
x
)
=
∑
p
≤
x
ln
p
{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\ln p}
برای مثال
ϑ
(
20
)
=
l
n
(
2
)
+
l
n
(
3
)
+
l
n
(
5
)
+
l
n
(
7
)
+
l
n
(
11
)
+
l
n
(
13
)
+
l
n
(
17
)
+
l
n
(
19
)
=
16.08....
{\displaystyle \vartheta (20)=ln(2)+ln(3)+ln(5)+ln(7)+ln(11)+ln(13)+ln(17)+ln(19)=16.08....}
تابع ثانویه چبیشف را با علامت ψ نشان می‌دهند و به شکل زیر تعریف می‌شود.
ψ
(
x
)
=
∑
p
k
≤
x
log
p
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p}
برای مثال
ψ
(
20
)
=
l
n
(
2
)
+
l
n
(
3
)
+
l
n
(
2
)
+
l
n
(
5
)
+
l
n
(
7
)
+
l
n
(
2
)
+
l
n
(
3
)
+
l
n
(
11
)
+
l
n
(
13
)
+
l
n
(
2
)
+
l
n
(
17
)
+
l
n
(
19
)
=
19.26...
{\displaystyle \psi (20)=ln(2)+ln(3)+ln(2)+ln(5)+ln(7)+ln(2)+ln(3)+ln(11)+ln(13)+ln(2)+ln(17)+ln(19)=19.26...}
روابط
ψ
(
x
)
=
∑
p
k
≤
x
log
p
=
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
=
∑
p
≤
x
⌊
log
p
x
⌋
log
p
,
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \log p,}
در این‌جا،
Λ
(
n
)
{\displaystyle \Lambda (n)}
تابع منگولد است.
ψ
(
x
)
=
∑
p
≤
x
k
log
p
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}
ϑ
(
x
)
=
∑
p
≤
x
log
p
=
log
∏
p
≤
x
p
=
log
(
x
#
)
.
{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log(x\#).}
منابع
مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Chebyshev function دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی
