قانون هوک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
مکانیک محیط‌های پیوسته
BernoullisLawDerivationDiagram.svg
پایستگی جرم
پایستگی تکانه
معادلات ناویه-استوکس
دانشمندان
نیوتن · استوک · ناویه · کوشی· هوکدیگران
قانون هوک خواص فیزیکی فنرهای معمولی را برای جابجایی‌های کوچک به خوبی و با دقت بالایی مدل می‌کند. (تصویر متحرک).
استاد دانشگاه والتر لوین در حال توضیح قانون هوک، بیان می‌دارد که این قانون یکی از مهم ترین رابطه‌های کشف شده در فیزیک است. درسی 8.01 [[دانشگاه‌ام آی تی]][۱]
یک آزمایش روی قانون هوک (MIT OCW)[۲]

قانون هوک در فیزیک، مکانیک و دانش مواد کشسانی یا الاستیسیته، تقریبی است نشان دهندهٔ آن که تغییر طول یک فنر با بار وارد بر آن رابطهٔ مستقیم دارد. بسیاری از مواد تا زمانی که نیرو از حد کشسانی آن‌ها کمتر باشد همچنان از این قانون پیروی می‌کنند. موادی که قانون هوک برای آن‌ها تقریب مناسبی باشد، مواد کشسان خطی یا «مواد هوکی» نام دارند. ساده شدهٔ قانون هوک بیان می‌دارد که کرنش با تنش رابطهٔ مستقیم دارد:

Restoring force.gif
 \mathbf{F}=-k\mathbf{x} \

که در آن:

x: جابجایی فنر فشرده یا کشیده شده از نقطهٔ تعادل آن. یکای x در دستگاه SI متر است.
F: نیروی بازگردانندهٔ وارده از سوی فنر که با جابجایی انتهای فنر مقاومت می‌کند (نیروی مقاومت فنر)؛ در دستگاه SI یکای آن نیوتن N یا کیلوگرم‌متر بر مجذور ثانیه Kg m s است.
k: ثابت فنر است که در دستگاه SI یکای آن نیوتن بر متر یا کیلوگرم بر مجذور ثانیه‌است.

وقتی چنین رابطه‌ای برای ماده‌ای برقرار باشد، می‌توان گفت که آن ماده رفتار خطی دارد و اگر نتایج آن را بر روی یک نمودار نمایش دهیم می‌بینیم که نتایج به صورت یک خط راست بدست آمده‌اند. علامت منفی در سمت راست رابطهٔ بالا به این دلیل است که نیروی بازگردانندهٔ فنر و جابجایی فنر همواره در جهت مخالف یکدیگر عمل می‌کنند. مثلاً اگر فنر به سمت راست افزایش طول پیدا کند نیروی بازگردانندهٔ آن در سوی مخالف و به سمت چپ یعنی در جهت جمع شدن فنر وارد می‌شود.

قانون هوک پس از قرن ۱۷ میلادی به نام فیزیکدان بریتانیایی رابرت هوک نام گذاری شد. وی ابتدا در سال ۱۶۶۰ با عنوان مقلوب لاتین ارائه کرد[۳] و در سال ۱۶۷۸ راه حلش را با عنوان Ut tensio, sic vis به معنی (به انگلیسی: As the extension, so the force) منتشر کرد.

کاربرد عمومی برای مواد کشسانی[ویرایش]

قانون هوک می‌تواند پیش بینی کند که در اثر یک نیروی مشخص چقدر فنر کشیده خواهد شد.

موادی که پس از وارد شدن یک نیرو و تغییر شکل به سرعت به حالت اولیهٔ خود بازمی گردند و مولکول‌ها و اتم‌های آن‌ها نیز به حالت اولیه و تعادل پایدار پیشین خود باز می‌گردند، معمولاً از قانون هوک پیروی می‌کنند.

یک میله از جنس یک مادهٔ کشسان را می‌توان مانند یک فنر خطی در نظر گرفت، طول میله L و سطح مقطع آن A است. افزایش طول میله (کرنش) آن به صورت خطی با تنش کششی σ وارد بر آن نسبت خطی ثابت دارد. وارون این نسبت خطی را مدول الاستیسیته E می‌نامند. بنابراین:

\sigma = E \varepsilon

یا

\Delta L = \frac{F}{E A} L = \frac{\sigma}{E} L.

مواد تا زمانی که در بازهٔ کشسانی خود باشند (تنش‌های وارد بر آن‌ها کمتر از تنش تسلیم باشد) از قانون هوک پیروی می‌کنند. در مقابل موادی مانند کائوچو را مواد غیرهوکی می‌نامند در این مواد ویژگی کشسانی ماده به تنش وارد بر آن وابسته‌است و به دمای محیط و نرخ بارگذاری نیز حساس است.

از قانون هوک در ترازوهای فنری، تحلیل تنش و مدل سازی مواد و ... استفاده می‌شود.

معادلهٔ فنر[ویرایش]

منحنی تنش-کرنش برای فولاد با کربن کم. قانون هوک تنها میان حالت اولیهٔ فولاد تا زمانی که به نقطهٔ تسلیم برسد بر قرار است. (نقطهٔ شمارهٔ ۲)
۱. مقاومت نهایی
۲. مقاومت قبل از تسلیم، مطابق نقطهٔ جاری شدن فولاد
۳. شکست
۴. ناحیهٔ سخت شدگی
۵. ناحیهٔ باریک شدگی
A: (F/A۰)
B: تنش واقعی (F/A)

می‌توان از معادلهٔ فنر به عنوان پر کاربردترین بیان قانون هوک یاد کرد. قانون هوک برای فنر بیان می‌دارد که نسبت نیروی بازگردانندهٔ وارده از سوی فنر به میزان تغییر شکل فنر برابر است با مقدار ثابتی معروف به ثابت فنر یا k با یکای نیرو بر طول:

F=-kx\,

علامت منفی در رابطهٔ بالا به این دلیل است که بردارهای نیرو و جابجایی در خلاف جهت یکدیگر بر این سامانه اثر می‌کنند. نیروی بازگردانندهٔ فنر در برابر هر نوع تغییر شکل مقاومت می‌کند و تلاش می‌کند تا فنر را دوباره به حالت تعادل پیشین خود بازگرداند. کارمایه یا انرژی پتانسیل ذخیره شده در فنر برابر است با:

 PE={1\over2}kx^2

که برابر است با انرژی لازم برای اینکه کم کم فنر جمع شود یا انتگرال نیرو روی جابجایی. یادآوری می‌شود که مقدار انرژی پتانسیل فنر همواره بزرگتر از صفر است.

انرژی ذخیره شده را می‌توان به صورت یک نودار سهمی روی محور U-x نمایش داد. وقتی که فنر در جهت محور x کشیده یا فشرده می‌شود (در هر دو حالت) انرژی پتانسیل آن افزایش می‌بابد. فنر همواره تلاش می‌کند تا با بازگرداندن خود به حالت تعادل انرژی پتانسیلش را آزاد کمد (از دست بدهد) درست مانند توپی که از یک بلندی رها می‌شود و انرژی پتانسیل گرانشی خود را از دست می‌دهد (می کاهد).

اگر جرم m به انتهای یک فنر بسته شود و پس از کشیده شدن رها گردد، در حالت آرمانی که اصطکاک نداشته باشیم و جرم فنر نسبت به جرم m ناچیز باشد، فنر و جرم همواره نوسان خواهند کرد که سرعت زاویه‌ای آن برابر خواهد بود با:

\omega =  \sqrt{k \over m}

بسامد آن برابر است با:

f = {1 \over 2 \pi} \sqrt{k \over m}.

تذکر: رابطه‌های بالا با این فرض گفته شد که فنر بیش از بازهٔ کشسان خود کشیده نشده‌باشد که در غیر این صورت فنر دچار تغییر شکل همیشگی (بدون بازگشت) می‌شود.

سامانه‌ای با چندین فنر[ویرایش]

دو فنر را می‌توان به شکل سری یا مواری به یک جرم وصل کرد، که در زیر این دو حالت با یکدیگر مقایسه شده‌اند.

مقایسه فنرهای موازی فنرهای سری
SpringsInParallel.svg
SpringsInSeries.svg
ثابت فنر هم‌ارز k_{eq} = k_1 + k_2 \, \frac{1}{k_{eq}} =  \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \,
طول فشردگی x_1 = x_2 \, \frac{x_1}{x_2} = \frac{k_2}{k_1} \,
انرژی ذخیره شده \frac{E_1}{E_2} = \frac{k_1}{k_2} \, \frac{E_1}{E_2} = \frac{k_2}{k_1} \,

اثبات[ویرایش]

بیان تانسوری قانون هوک[ویرایش]

تذکر: در ادامه از قرارداد جمع‌زنی اینشتین، استفاده شده‌است.

وقتی که با تنش‌های سه بعدی کار می‌کنیم، از تانسور چهارتایی \mathsf{c} به شکل c_{ijk\ell} که دارای 81 ضریب الاستیسیته‌است باید استفاده کرد تا بتوان میان تانسور تنش \boldsymbol{\sigma} یا (σij) و تانسور کرنش \boldsymbol{\epsilon} یا (\epsilon_{k\ell}) ارتباط برقرار کرد.

\boldsymbol{\sigma} = \mathsf{c}:\boldsymbol{\epsilon} ~.

اگر عبارت بالا را به همراه جزئیاتش بنویسیم به شکل زیر خواهد بود (با استفاده از قرارداد جمع‌زنی اینشتین):

\sigma_{ij} = c_{ijk\ell}~\epsilon_{k\ell}

تانسور \mathsf{c} را تانسور سختی یا تانسور الاستیسیته می‌نامند. به دلیل تقارن تانسورهای تنش و کرنش، در تانسور سختی تنها 21 ضریب از یکدیگر مستقل اند. از آنجایی که یکای تنش همان یکای فشار است و کرنش، یکایی ندارد، پس یکای تمامی درایه‌های تانسور سختی c_{ijk\ell}، همان یکای تنش خواهد بود.

عبارت عمومی قانون هوک را می‌توان شبیه رابطهٔ میان تنش و کرنش نوشت:

 \boldsymbol{\epsilon} = \mathsf{s}:\boldsymbol{\sigma} \qquad {\rm or} \qquad
      \epsilon_{ij} = s_{ijk\ell}~\sigma_{k\ell} ~.

تانسور \mathsf{s} را تانسور انطباق می‌نامند.

مواد همسان[ویرایش]

تذکر: برای آگاهی بیشتر دربارهٔ سیالات، مقالهٔ گرانروی را نگاه کنید.

ویژگی مواد همسان این است که آنها در جهت‌های مختلف ویژگی‌های یکسان از خود نشان می‌دهند. بنابراین معادلات فیزیکی که برای مواد همسان نوشته می‌شود باید مستقل از دستگاه مختصات باشد. تانسور کرنش یک تانسور متقارن است. می‌توان تانسور کرنش را بوسیلهٔ اثر آن و دلتای کرونکر \delta_{ij} به شکل زیر نمایش داد:[۴]:Ch. 10


  \varepsilon_{ij} = \left(\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right) + 
         \left(\varepsilon_{ij}-\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)

با استفاده از جبر تانسورها خواهیم داشت:


   \boldsymbol{\varepsilon} = \mathrm{vol}(\boldsymbol{\varepsilon}) +  
        \mathrm{dev}(\boldsymbol{\varepsilon}) ~;~~ 
     \mathrm{vol}(\boldsymbol{\varepsilon}) := \tfrac{1}{3}~\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})~\mathbf{I} ~;~~
     \mathrm{dev}(\boldsymbol{\varepsilon}) := \boldsymbol{\varepsilon} - \mathrm{vol}(\boldsymbol{\varepsilon})

که \mathbf{I} تانسور یکهٔ درجه دو است. در سمت راست تساوی، عبارت Vol (به انگلیسی: volumetric strain tensor) به معنی تانسور کرنش حجمی است و عبارت dev به معنی تانسور اعوجاج یا تانسور کرنش برشی یا تانسور انحرافی (به انگلیسی: deviatoric strain tensor) است.

عمومی‌ترین شکل قانون هوک برای مواد همسان به صورت ترکیب خطی این تانسورها نوشته می‌شود:


  \sigma_{ij}=3K\left(\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)
       +2G\left(\varepsilon_{ij}-\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)\,~;~~
  \boldsymbol{\sigma} = 3K~\mathrm{vol}(\boldsymbol{\varepsilon}) + 2G~\mathrm{dev}(\boldsymbol{\varepsilon})

در عبارت بالا، K مدول حجمی، و G مدول برشی است.

با استفاده از مدول الاستیک، می‌توان رابطهٔ بالا را بیشتر گسترش داد، درنتیجه دیگر نوشتار تانسوری قانون هوک عبارت است از:[۵]


   \boldsymbol{\sigma} = \lambda~\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})~\mathbf{I} + 2\mu~\boldsymbol{\varepsilon}
     = \mathsf{c}:\boldsymbol{\varepsilon} ~;~~ \mathsf{c} = \lambda~\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} + 2\mu~\mathsf{I}

که در آن \lambda := K - 2/3 G و \mu := G ثابت‌های لامه اند، \mathbf{I} تانسور یکه و \mathsf{I} تانسور یکهٔ درجهٔ چهار است. با توجه به دستگاه مختصات کارتزین:


   \sigma_{ij} = \lambda~\varepsilon_{kk}~\delta_{ij} + 2\mu~\varepsilon_{ij} = c_{ijk\ell}~\varepsilon_{k\ell} ~;~~ c_{ijk\ell} = \lambda~\delta_{ij}~\delta_{k\ell} + \mu~(\delta_{ik}~\delta_{j\ell} + \delta_{i\ell}~\delta_{jk})

رابطهٔ معکوس عبارت است از:[۶]


   \boldsymbol{\varepsilon} = \tfrac{1}{2\mu}~\boldsymbol{\sigma} - \tfrac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}~\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma})~\mathbf{I} = \tfrac{1}{2G}~\boldsymbol{\sigma} + \left(\tfrac{1}{9K} - \tfrac{1}{6G}\right)~\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma})~\mathbf{I}

بنابراین تانسور انطباق در رابطهٔ \boldsymbol{\varepsilon} = \mathsf{s}:\boldsymbol{\sigma}، عبارت خواهد بود از:


   \mathsf{s} = - \tfrac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}~\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} + \tfrac{1}{2\mu}~\mathsf{I}
      = \left(\tfrac{1}{9K} - \tfrac{1}{6G}\right)~\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} + \tfrac{1}{2G}~\mathsf{I}

با استفاده از مدول یانگ و ضریب پواسون، قانون هوک برای مواد همسان را چنین می‌توان نوشت:


   \boldsymbol{\varepsilon} = \tfrac{1}{E}~\boldsymbol{\sigma} - \tfrac{\nu}{E}\left[\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma})~\mathbf{I} - \boldsymbol{\sigma}\right]

درنتیجه کرنش در جهت‌های مختلف را می‌توان به شکل زیر نوشت:


  \begin{align}
  \varepsilon_{11} & = \tfrac{1}{E}\left[ \sigma_{11} - \nu(\sigma_{22}+\sigma_{33}) \right] \\
  \varepsilon_{22} & = \tfrac{1}{E}\left[\sigma_{22} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{33}) \right] \\
  \varepsilon_{33} & = \tfrac{1}{E}\left[\sigma_{33} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) \right] \\
  \varepsilon_{12} & = \tfrac{1}{2G}~\sigma_{12} ~;~~
  \varepsilon_{13} = \tfrac{1}{2G}~\sigma_{13} ~;~~
  \varepsilon_{23} = \tfrac{1}{2G}~\sigma_{23}
  \end{align}

که در آن E مدول الاستیسیته و \nu ضریب پواسون است.

قانون هوک در قالب ماتریسی برای مواد همسان عبارت است از:


   \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} = 
   \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{31} \\ \gamma_{12} \end{bmatrix} = 
   \cfrac{1}{E}
   \begin{bmatrix} 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\
                   -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\
                   -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}

که در آن \gamma_{ij} := 2\varepsilon_{ij} کرنش برشی است. معکوس رابطه چنین است:


   \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
   = \cfrac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
   \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\
                   \nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\
                   \nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}

با استفاده از ثابت‌های لامه، رابطهٔ بالا را ساده می‌کنیم:


   \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
   = 
   \begin{bmatrix} 2\mu+\lambda & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\
                   \lambda & 2\mu+\lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\
                   \lambda & \lambda & 2\mu+\lambda & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}

تنش‌های صفحه‌ای در قانون هوک[ویرایش]

در اثر تنش‌های صفحه‌ای، تنش در بعد سوم به شکل \sigma_{33} = \sigma_{31} = \sigma_{13} = \sigma_{32} = \sigma_{23} = 0 خواهد بود؛ در این صورت قانون هوک به شکل زیر ارائه می‌شود:


   \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} = \cfrac{1}{E}
   \begin{bmatrix} 1 & -\nu & 0 \\
                   -\nu & 1 & 0 \\
                    0 & 0 & 2(1+\nu) \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}

وارون رابطه به صورت زیر خواهد بود:


   \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
   = \cfrac{E}{1-\nu^2}
   \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\
                   \nu & 1 & 0 \\
                   0 & 0 & \cfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}

مواد ناهمسان[ویرایش]

تقارن تانسور تنش کوشی (\sigma_{ij} = \sigma_{ji}\,) و قانون هوک در حالت کلی (\sigma_{ij} = c_{ijk\ell}~ \epsilon_{k\ell}) می‌رساند که c_{ijk\ell} = c_{jik\ell}\, خواهد بود. به روش مشابه، از تقارن تانسور کرنش‌های بسیار کوچک می‌توان نتیجه گرفت که c_{ijk\ell} = c_{ij\ell k}\,. این تقارن‌ها را تقارن خردِ[۷] تانسور سختی می‌نامند (\mathsf{c}).

آنگاه که گرادیان تغییرشکل‌ها و تنش کوشی با هم کار کنند، رابطهٔ تنش - کرنش را می‌توان از تابع چگالی انرژی تغییر شکل‌ها (\mathsf{U}) بدست آورد:


 \sigma_{ij} = \cfrac{\partial U}{\partial \epsilon_{ij}} \quad \implies \quad
c_{ijk\ell} =  \cfrac{\partial^2 U}{\partial \epsilon_{ij}\partial \epsilon_{k\ell}}~.

از دلخواه بودن ترتیب دیفرانسیل‌ها می‌توان نتیجه گرفت که c_{ijk\ell} = c_{k\ell ij}\, که این را تقارن بزرگ[۸] تانسور سختی می‌نامند. تقارن خُرد و تقارن بزرگ تانسور سختی نتیجه می‌دهد که تانسور سختی تنها ۲۱ درایهٔ مستقل (جزء سازندهٔ مستقل) دارد.

نمایش ماتریسی (تانسور سختی)[ویرایش]

معمول است که قانون هوک برای مواد نامسان را به صورت ماتریسی نیز توضیح دهند که آن را مفهوم وویت نیز می‌نامند. برای این کار باید از تقارن تانسورهای تنش و کرنش استفاده کرد و آن‌ها را به صورت یک بردار شش بُعدی در یک دستگاه مختصات متعامد[۹] (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 ) به صورت زیر توضیح داد:


   [\boldsymbol{\sigma}] = \begin{bmatrix}\sigma_{11}\\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} \equiv
\begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} ~;~~
[\boldsymbol{\epsilon}] = \begin{bmatrix}\epsilon_{11}\\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{33} \\ 2\epsilon_{23} \\ 2\epsilon_{31} \\ 2\epsilon_{12} \end{bmatrix} \equiv
\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3 \\ \epsilon_4 \\ \epsilon_5 \\ \epsilon_6 \end{bmatrix}

آنگاه تانسور سختی (\mathsf{c}) را می‌توان چنین نوشت:


   [\mathsf{C}] = \begin{bmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1131} & c_{1112} \\
      c_{2211} & c_{2222} & c_{2233} & c_{2223} & c_{2231} & c_{2212} \\
c_{3311} & c_{3322} & c_{3333} & c_{3323} & c_{3331} & c_{3312} \\
c_{2311} & c_{2322} & c_{2333} & c_{2323} & c_{2331} & c_{2312} \\
c_{3111} & c_{3122} & c_{3133} & c_{3123} & c_{3131} & c_{3112} \\
c_{1211} & c_{1222} & c_{1233} & c_{1223} & c_{1231} & c_{1212} 
     \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix}
  C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\
C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66} \end{bmatrix}

قانون هوک به گونهٔ زیر نوشته می‌شود:


   [\boldsymbol{\sigma}] = [\mathsf{C}][\boldsymbol{\epsilon}] \qquad \text{or} \qquad \sigma_i = C_{ij} \epsilon_j ~.

به روش مشابه تانسور (\mathsf{s}) انطباق را چنین می‌توان نوشت:


   [\mathsf{S}] = \begin{bmatrix}
s_{1111} & s_{1122} & s_{1133} & 2s_{1123} & 2s_{1131} & 2s_{1112} \\
s_{2211} & s_{2222} & s_{2233} & 2s_{2223} & 2s_{2231} & 2s_{2212} \\
s_{3311} & s_{3322} & s_{3333} & 2s_{3323} & 2s_{3331} & 2s_{3312} \\
2s_{2311} & 2s_{2322} & 2s_{2333} & 4s_{2323} & 4s_{2331} & 4s_{2312} \\
2s_{3111} & 2s_{3122} & 2s_{3133} & 4s_{3123} & 4s_{3131} & 4s_{3112} \\
2s_{1211} & 2s_{1222} & 2s_{1233} & 4s_{1223} & 4s_{1231} & 4s_{1212} 
 \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 
S_{11} & S_{12} & S_{13} & S_{14} & S_{15} & S_{16} \\
S_{12} & S_{22} & S_{23} & S_{24} & S_{25} & S_{26} \\
S_{13} & S_{23} & S_{33} & S_{34} & S_{35} & S_{36} \\
S_{14} & S_{24} & S_{34} & S_{44} & S_{45} & S_{46} \\
S_{15} & S_{25} & S_{35} & S_{45} & S_{55} & S_{56} \\
S_{16} & S_{26} & S_{36} & S_{46} & S_{56} & S_{66} \end{bmatrix}

تغییر دستگاه مختصات[ویرایش]

اگر یک مادهٔ کشسان خطی (الاستکیک خطی) را از حالت مرجع به حالتی دیگر دوران دهیم، آن ماده در برابر دوران متقارن باقی می‌ماند اگر اجزای تانسور سختی را نیز باید با توجه به حالت جدید دوران داد[۱۰]


   c_{pqrs} = l_{pi}~l_{qj}~l_{rk}~l_{s\ell}~c_{ijk\ell}

که در آن l_{ab} اجزای یک ماتریس متعامد دوران به نام [L] است. رابطهٔ مشابه برای وارون‌ها نیز وجود دارد.

در جبر ماتریس‌ها داریم که اگر ماتریس تغییر یافته (به صورت وارون یا دوران) خود وابسته به ماتریس‌های دیگر باشد، اجزای آن خود دچار تغییر شکل می‌شوند. برای نمونه اگر:


   [\mathbf{e}_i'] = [L][\mathbf{e}_i]

آنگاه


   C_{ij}~\epsilon_i~\epsilon_j = C_{ij}'~\epsilon'_i~\epsilon'_j ~.

همچنین اگر ماده نسبت به ماتریس تغییر شکل [L] متقارن باشد، آنگاه:


   C_{ij} = C'_{ij} \quad \implies \quad C_{ij}~(\epsilon_i~\epsilon_j - \epsilon'_i~\epsilon'_j) = 0 ~.

مواد راست‌محور[ویرایش]

نوشتار اصلی: مواد راست‌محور

مواد راست‌محور (به انگلیسی: Orthotropic materials) دارای سه صفحهٔ راست تقارن اند. اگر بردارهای پایهٔ (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3) بردارهای نرمال صفحهٔ تقارن باشند، بنابراین رابطه‌های تغییر دستگاه مختصات به صورت زیر وارد می‌شوند:


\begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
  C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0 \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3 \\ \epsilon_4 \\ \epsilon_5 \\ \epsilon_6 \end{bmatrix}

وارون رابطهٔ بالا چنین نوشته می‌شود:[۱۱]


  \begin{bmatrix}
    \epsilon_{{\rm xx}} \\ \epsilon_{\rm yy} \\ \epsilon_{\rm zz} \\ 2\epsilon_{\rm yz} \\ 2\epsilon_{\rm zx} \\ 2\epsilon_{\rm xy}
  \end{bmatrix}
  = \begin{bmatrix}
    \tfrac{1}{E_{\rm x}} & - \tfrac{\nu_{\rm xy}}{E_{\rm x}} & - \tfrac{\nu_{\rm xz}}{E_{\rm x}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm yx}}{E_{\rm y}} & \tfrac{1}{E_{\rm y}} & - \tfrac{\nu_{\rm yz}}{E_{\rm y}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm zx}}{E_{\rm z}} & - \tfrac{\nu_{\rm zy}}{E_{\rm z}} & \tfrac{1}{E_{\rm z}} & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm yz}} & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm zx}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm xy}} \\
    \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    \sigma_{\rm xx} \\ \sigma_{\rm yy} \\ \sigma_{\rm zz} \\ \sigma_{\rm yz} \\ \sigma_{\rm zx} \\ \sigma_{\rm xy}
  \end{bmatrix}

که در آن:

{E}_{\rm i}\, مدول یانگ در طول محور i است.
G_{\rm ij}\, مدول برشی در راستای j در صفحه‌ای که بردار عمود بر سطحش در راستای i است.
\nu_{\rm ij}\, ضریب پواسون است که برای فشردگی در راستای j هنگامی که در راستای i کشیدگی داشته باشیم.

در صفحهٔ تنش \sigma_{zz} = \sigma_{zx} = \sigma_{yz} = 0 است. قانون هوک برای یک مادهٔ راست‌محور به صورت زیر در می‌آید:


   \begin{bmatrix}\varepsilon_{\rm xx} \\ \varepsilon_{\rm yy} \\ 2\varepsilon_{\rm xy} \end{bmatrix} = 
   \begin{bmatrix} \frac{1}{E_{\rm x}} & -\frac{\nu_{\rm xy}}{E_{\rm x}} & 0 \\
                   -\frac{\nu_{\rm yx}}{E_{\rm y}} & \frac{1}{E_{\rm y}} & 0 \\
                    0 & 0 & \frac{1}{G_{\rm xy}} \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\sigma_{\rm xx} \\ \sigma_{\rm yy} \\ \sigma_{\rm xy} \end{bmatrix} \,.

وارون رابطه خواهد بود:


   \begin{bmatrix}\sigma_{\rm xx} \\ \sigma_{\rm yy} \\ \sigma_{\rm xy} \end{bmatrix}
   = \cfrac{1}{1-\nu_{\rm xy}\nu_{\rm yx}}
   \begin{bmatrix} E_{\rm x} & \nu_{\rm xy}E_{\rm y} & 0 \\
                   \nu_{\rm yx}E_{\rm x} & E_y & 0 \\
                   0 & 0 & G_{\rm xy}(1-\nu_{\rm xy}\nu_{\rm yx}) \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\varepsilon_{\rm xx} \\ \varepsilon_{\rm yy} \\ 2\varepsilon_{\rm xy} \end{bmatrix} \,.

مواد همسان جانبی[ویرایش]

یک مادهٔ همسان جانبی با چرخش نسبت به یک محور تقارن همسان باقی می‌ماند. برای چنین ماده‌ای اگر \mathbf{e}_3 محور تقارن باشد، قانون هوک چنین نوشته می‌شود:


\begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
  C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{11} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{13} & C_{13} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2}(C_{11}-C_{12}) \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3 \\ \epsilon_4 \\ \epsilon_5 \\ \epsilon_6 \end{bmatrix}

معمول است که x \equiv \mathbf{e}_1 را محور تقارن در نظر بگیرند، حال وارون رابطه چنین خواهد بود:[۱۲]


  \begin{bmatrix}
    \epsilon_{{\rm xx}} \\ \epsilon_{\rm yy} \\ \epsilon_{\rm zz} \\ 2\epsilon_{\rm yz} \\ 2\epsilon_{\rm zx} \\ 2\epsilon_{\rm xy}
  \end{bmatrix}
  = \begin{bmatrix}
    \tfrac{1}{E_{\rm x}} & - \tfrac{\nu_{\rm xy}}{E_{\rm x}} & - \tfrac{\nu_{\rm xy}}{E_{\rm x}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm yx}}{E_{\rm y}} & \tfrac{1}{E_{\rm y}} & - \tfrac{\nu_{\rm yz}}{E_{\rm y}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm yx}}{E_{\rm y}} & - \tfrac{\nu_{\rm zy}}{E_{\rm y}} & \tfrac{1}{E_{\rm y}} & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & \tfrac{2(1+\nu_{\rm yz})}{E_{\rm y}} & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm xy}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm xy}} \\
    \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    \sigma_{\rm xx} \\ \sigma_{\rm yy} \\ \sigma_{\rm zz} \\ \sigma_{\rm yz} \\ \sigma_{\rm zx} \\ \sigma_{\rm xy}
  \end{bmatrix}

پایهٔ ترمودینامیکی قانون هوک[ویرایش]

تغییر شکل‌های خطی مواد کشسان را می‌توان به مفهوم فرایند بی‌دررو نزدیک دانست. با فرض این وضعیت و برای فرایندهای شِبهِ ایستا، قانون اول ترمودینامیک برای یک حجم تغییر شکل یافته به صورت زیر گفته می‌شود:


   \delta W = \delta U\,

که در آن \delta U انرژی درونی افزایش یافته و \delta W کار انجام شده بوسیلهٔ نیروی خارجی است. اجزای کار را می‌توان به صورت زیر از هم جدا کرد:


   \delta W = \delta W_s + \delta W_b\,

که در آن \delta W_s کار انجام شده بوسیلهٔ نیروی سطحی است و \delta W_b کار انجام شده بوسیلهٔ نیروی حجمی است. اگر \delta\mathbf{u} تغییرات میدان جابجایی \mathbf{u} در حجم باشد؛ درنتیجه دو بخش کار خارجی به صورت زیر توضیح داده می‌شود:


   \delta W_s = \int_{\partial\Omega} \mathbf{t}\cdot\delta\mathbf{u}~{\rm dS} ~;~~
   \delta W_b = \int_{\Omega} \mathbf{b}\cdot\delta\mathbf{u}~{\rm dV}

که در آن \mathbf{t} بردار نیروی سطحی و \mathbf{b} بردار نیروی حجمی و \Omega\, نشان دهندهٔ یک حجم و \partial\Omega نشانهٔ سطح آن است. حال از رابطهٔ تنش \mathbf{t} = \mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma} (که در آن \mathbf{n} بردار عمود بر سطح رو به بیرون \partial\Omega است) استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:


   \delta W = \delta U = \int_{\partial\Omega} (\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\cdot\delta\mathbf{u}~{\rm dS} + \int_{\Omega} \mathbf{b}\cdot\delta\mathbf{u}~{\rm dV}

با تبدیل انتگرال سطحی به انتگرال حجمی با استفاده از نظریهٔ دیورژانس خواهیم داشت:


   \delta U = \int_{\Omega} [\boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\delta\mathbf{u}) + \mathbf{b}\cdot\delta\mathbf{u}]~ {\rm dV} ~.

با کاربرد تنش کوشی:


\boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{A}\cdot\mathbf{b}) = (\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A})\cdot\mathbf{b}+
\tfrac{1}{2}[\boldsymbol{A}^T:\boldsymbol{\nabla}\mathbf{b}+
             \boldsymbol{A}:(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{b})^T]

داریم:


   \delta U = \int_{\Omega} [\boldsymbol{\sigma}:
\tfrac{1}{2}\{\boldsymbol{\nabla}\delta\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\delta\mathbf{u})^T\} + \{\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{b}\}\cdot\delta\mathbf{u}]~{\rm dV} ~.

از تعریف کرنش و معادلات تعادل بدست می‌آید که:


   \delta\boldsymbol{\epsilon} = \tfrac{1}{2}[\boldsymbol{\nabla}\delta\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\delta\mathbf{u})^T] ~;~~
\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{b}=\mathbf{0} ~.

بنابراین می‌توان نوشت:


   \delta U = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{\epsilon}~{\rm dV}

پس برای تغییرات چگالی انرژی درونی داریم:


   \delta U_0 = \boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{\epsilon} ~.

یک مادهٔ کشسان ماده‌ای است که در آن تمامی انرژی درونی برابر است با انرژی پتانسیل نیروهای درونی (همچنین آن را انرژی تغییر شکل‌های کشسان نیز می‌نامند.) بنابراین چگالی انرژی درونی تابعی از تغییر شکل‌ها U_0 = U_0(\boldsymbol{\epsilon}) می‌باشد. تغییرات انرژی درونی را به صورت زیر می‌توان نوشت:


   \delta U_0 = \cfrac{\partial U_0}{\partial\boldsymbol{\epsilon}}:\delta\boldsymbol{\epsilon} ~.

از آن جایی که تغییرات کرنش دلخواه است، رابطهٔ تنش - کرنش یک مادهٔ کشسان به صورت زیر داده می‌شود:


   \boldsymbol{\sigma} = \cfrac{\partial U_0}{\partial\boldsymbol{\epsilon}}~.

برای یک مادهٔ کشسان خطی، کمیت \partial U_0/\partial\boldsymbol{\epsilon} یک تابع خطی از \boldsymbol{\epsilon} است پس می‌توان آن را به شکل زیر نوشت:


   \boldsymbol{\sigma} = \mathsf{c}:\boldsymbol{\epsilon}

که در آن \mathsf{c} یک تانسور مرتبه چهارم از ثابت‌های ماده‌است که آن را تانسور سختی نیز می‌نامند.

یادداشت و منبع[ویرایش]

  1. والتر لوین (October 1, 1999) (in English) (ogg). Hook's Law, Simple Harmonic Oscillator. MIT Course 8.01: Classical Mechanics, Lecture 10. (videotape). Cambridge, MA USA: MIT OCW. Event occurs at 1:21-10:10. Retrieved December 23, 2010. "...arguably the most important equation in all of Physics." 
  2. والتر لوین (October 1, 1999) (in English) (ogg). Hook's Law, Simple Harmonic Oscillator. MIT Course 8.01: Classical Mechanics, Lecture 10. (videotape). Cambridge, MA USA: MIT OCW. Event occurs at 10:10-16:33. Retrieved December 23, 2010. 
  3. The anagram was "ceiiinosssttuv", [۱]; cf. the anagram for the Catenary, which appeared in the preceding paragraph.
  4. Symon, Keith (1971). Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA. ISBN 0-201-07392-7. 
  5. Simo, J. C. and Hughes, T. J. R., 1998, Computational Inelasticity, Springer.
  6. Milton, G. W., 2002, Theory of Composites, Cambridge University Press.
  7. minor symmetries
  8. major symmetries
  9. دستگاهی با بردارهای یکه و دو به دو متعامد
  10. Slaughter, W. S., 2002, The Linearized Theory of Elasticity, Birkhauser
  11. Boresi, A. P, Schmidt, R. J. and Sidebottom, O. M., 1993, Advanced Mechanics of Materials, Wiley.
  12. Tan, S. C., 1994, Stress Concentrations in Laminated Composites, Technomic Publishing Company, Lancaster, PA.
  • A.C. Ugural, S.K. Fenster, Advanced Strength and Applied Elasticity, 4th ed

جستارهای وابسته[ویرایش]

پپوند به بیرون[ویرایش]

رابطه‌های تبدیل مدول‌ها به یکدیگر
خواص کشسانی مواد کشسان خطی همگن و همسانگرد را می‌توان با داشتن دو مدول دلخواه به طور کامل و منحصر به فردی تعیین کرد. بنابراین با در دست داشتن دو مدول و با استفاده از فرمول‌های زیر می‌توان سایر مدول‌ها را محاسبه کرد.
(\lambda,\,G) (E,\,G) (K,\,\lambda) (K,\,G) (\lambda,\,\nu) (G,\,\nu) (E,\,\nu) (K,\, \nu) (K,\,E) (M,\,G)
K=\, \lambda+ \tfrac{2G}{3} \tfrac{EG}{3(3G-E)} \tfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu} \tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)} \tfrac{E}{3(1-2\nu)} M - \tfrac{4G}{3}
E=\, \tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G} \tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda} \tfrac{9KG}{3K+G} \tfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu} 2G(1+\nu)\, 3K(1-2\nu)\, \tfrac{G(3M-4G)}{M-G}
\lambda=\, \tfrac{G(E-2G)}{3G-E} K-\tfrac{2G}{3} \tfrac{2 G \nu}{1-2\nu} \tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} \tfrac{3K\nu}{1+\nu} \tfrac{3K(3K-E)}{9K-E} M - 2G\,
G=\, \tfrac{3(K-\lambda)}{2} \tfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu} \tfrac{E}{2(1+\nu)} \tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)} \tfrac{3KE}{9K-E}
\nu=\, \tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)} \tfrac{E}{2G}-1 \tfrac{\lambda}{3K-\lambda} \tfrac{3K-2G}{2(3K+G)} \tfrac{3K-E}{6K} \tfrac{M - 2G}{2M - 2G}
M=\, \lambda+2G\, \tfrac{G(4G-E)}{3G-E} 3K-2\lambda\, K+\tfrac{4G}{3} \tfrac{\lambda(1-\nu)}{\nu} \tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu} \tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)} \tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu} \tfrac{3K(3K+E)}{9K-E}