فرمول اویلر

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از فرمول اولر)
پرش به: ناوبری، جستجو


فرمول اویلر (Euler's formula)، منتسب به لئونارد اویلر، اتحادی است در آنالیز مختلط که رابطهٔ مابین تابع نمایی مختلط و توابع مثلثاتی را به صورت زیر بیان می‌دارد:

e^{ix} = \cos x + i\sin x \!

که در اینجا e \! پایه لگاریتم طبیعی، i = \sqrt{-1} \! واحد موهومی، و متغیر x \! عددی دلخواه و حقیقی بر حسب واحد رادیان است.

اثبات[ویرایش]

می دانیم:

\begin{align}
i^0 &{}= 1, \quad &
i^1 &{}= i, \quad &
i^2 &{}= -1, \quad &
i^3 &{}= -i, \\
i^4 &={} 1, \quad &
i^5 &={} i, \quad &
i^6 &{}= -1, \quad &
i^7 &{}= -i,
\end{align}

و الی آخر. با استفاده از بسط تیلور e^{ix} برای هر x حقیقی داریم:

\begin{align}
 e^{ix} &{}= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots \\[8pt]
        &{}= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \\[8pt]
        &{}= \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) \\[8pt]
        &{}= \cos x + i\sin x \ .
\end{align}

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • Strang G (1998). "Introduction to Linear Algebra", 3rd ed.، Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-5-5.
  • Henry J. Ricardo (2009). "A Modern Introduction to Differential Equations", 2nd ed.، Academic Press. ISBN 978-0-12-374746-4.