مقدارویژه و بردارویژه

ویژبردارِ یک ترادیسش خطی، برداری است ناصفر که راستایش با ترادیسش خطی نمی‌دِگَرد. اگر T یک ترادیسش یا نگاشت خطی در فضای بردای V باشد و v برداری باشد ناصفر در این فضای برداری. v ویژبردار این ترادیسش خطی است اگر ترادیسش بردار v برابر باشد با خود بردار v ضرب در یک عددی، که این عدد را ویژمقدار می‌نامند. به بیان ریاضی:

$T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v}$

اگر فضای برداری دارای بُعد بی‌کران نباشد، می‌شود ترادیسش خطی را با یک ماتریس مربعی و ویژبردار را با یک ماتریس ستونی بازنمود. و معادله ویژمقداری بالا به ضرب ماتریسی تبدیل می‌شود.

$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .$

مسئله ویژمقدار از جمله پرکاربردترین ابزارها در بسیاری از زمینه‌های دانش مانند فیزیک‌ می‌باشد.

فضای برداری با بعد حدمند

در فضاهای برداری حدمند، می‌توانیم مسئله ویژمقداری را به شیوه‌ی ضرب ماتریسی بنویسیم. ماتریس مربعی $A\!$ ترادیسش خطی است. بردار ناصفر $x\!$ را ویژبردار $A\!$ و عدد $\lambda \!$ را ویژمقدار آن می‌گوییم، چنانچه معادله ماتریسی زیر بین آنها برقرار باشد:

$Ax=\lambda x\!$

در معادله ماتریسی حاضر دو مجهول وجود دارد: ویژبردار $x\!$ و ویژمقدار $\lambda \!$. پس حل یکتایی برای آن وجود ندارد.

برای نمونه:

ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:

$A={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\\end{bmatrix}}$

معادله ماتریسی بالا خواهد شد:

${\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}}$

ابتدا معادله را به صورت همگن درآورده و بردار ${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}}$ را که قرار است بردار ویژه ما باشد در فاکتور قرار می‌دهیم:

${\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\end{pmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}}=0$

در واقع ما از ماتریس همانی (یکه) دوبعدی به‌خاطر حفظ طبیعت ماتریسی جمله‌ها استفاده کرده‌ایم. پس از ضرب $\lambda$ در ماتریس همانی و تفریق دو ماتریس داریم:

${\begin{bmatrix}1-\lambda &2\\2&1-\lambda \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}}=0$

معادله ماتریسی حاصل حالتی خاص دارد. به منظور مقایسه و جهت وضوح در ادامه، معادله اسکالر بسیار ساده زیر را در نظر می‌گیریم:

$ay=0\!$

که در اینجا $a\!$ عددی ثابت است. متغیر مجهول $y\!$، تنها و تنها، زمانی جواب غیر از صفر اختیار می‌کند که داشته باشیم:

$a=0\!$

که در این صورت، هر عددی جواب این معادله است.

برای معادله ماتریسی هم درست همین حالات را داریم. یعنی، برای وجود جواب‌های غیر صفر به بردار ویژه $x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}}$ لازم است که دترمینان ماتریس ضرایب صفر شود، و اقناع همین شرط است که به شکل‌یابی معادله مشخصه ماتریس $A\!$ می‌انجامد. پس، داریم:

$\det {\begin{bmatrix}1-\lambda &2\\2&1-\lambda \end{bmatrix}}=(1-\lambda )^{2}-4=0.$

با حل این معادله درجه دوم دو جواب زیر برای دو مقدار ویژه ماتریس مفروض به‌دست می‌آیند:

$\lambda _{1}=3,\lambda _{2}=-1\!$

نکات و اشارات

تجزیه مقادیر ویژه را می‌توان تکنیکی بسیار مؤثر و قوی در تبدیل پیچیدگی به سادگی دانست. با نگاهی دقیق به این معادله می‌شود رمز این توانائی را تا حدودی دید:

ضرب ماتریس $A\!$ در بردار $x\!$ در سمت چپ (عملی سنگین) به ضرب تنها و تنها یک اسکالر ساده در همان بردار (عملی سبک و سریع) در سمت راست تقلیل یافته است.

فضاهای بی‌نهایت بعدی

توابع پیوسته ریاضی را می‌توان بردارهایی با تعداد بی‌نهایت مؤلفه در نظر گرفت، که در فضایی بی‌نهایت بعدی جای گرفته باشد. عمل‌گرهای قابل اعمال بر این‌گونه بردارها هم بی‌نهایت بعدی بوده و استفاده از مقدار ویژه‌های آن‌ها نقشی کارسازتر و پراهمیت‌تر به خود می‌گیرد.

عمل‌گر مشتق‌گیری

به عنوان یک مثال ساده و بسیار پر استفاده، عمل‌گر مشتق‌گیری از توابع مشتق‌پذیر ریاضی را در نظر می‌گیریم:

${\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)\!$

در این جا عمل‌گر ${\frac {d}{dx}}\!$ بر روی تابع مشتق‌پذیر $f(x)\!$ عمل نموده و تابع $g(x)\!$ را به دست داده است.

مقدارهای ویژه مرتبط با آن به همان صورتی که در مورد ماتریس‌ها دیدیم معرفی می‌شوند:

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lambda f(x)\!$

در این‌جا به سبب بی‌نهایت بودن بعد فضا، به جای بردار ویژه، عبارت تابع ویژه را داریم. در واقع در جستجوی توابعی هستیم که مشتق مرتبه اول آن‌ها مضربی از خودشان است. با اندکی توجه در می‌یابیم که عمومی‌ترین پاسخ در این‌جا عبارت است از:

$f(x)=e^{i\omega x},\lambda ={i\omega }\!$

چرا که داریم:

${\frac {d}{dx}}e^{i\omega x}={i\omega }e^{i\omega x}\!$

از همین نقطه است که مهم‌ترین و فراگیرترین تبدیل فیزیک ریاضی -تبدیل فوریه- تولد می‌یابد.

جستارهای وابسته

• نظریه طیفی
• تبدیلات فوریه
• آنالیز مودی با استفاده از اف‌ای‌ام
• روش‌های طیفی فوریه
• نظریه طیفی گراف‌ها
• مکانیک کوانتومی

منابع

• جبر خطّی عددی (انگلیسی)
• مقدمه‌ای بر ریاضیات کاربردی (انگلیسی)
• فضای برداری

• Strang, Gilbert (۱۹ ژوئیه ۲۰۰۵), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

پیوند به بیرون

• مقایسهٔ روش‌های پایدارسازی مستقیم و تکراری در پایدارسازی مسئلهٔ انتقال به سمت پایین تعیین ژئوئید، عبدالرضا صفری، و یحیی الله توکلی، مجلهٔ فیزیک زمین و فضا، دورهٔ ۳۴، شمارهٔ ۱، ۱۳۸۷، صفحهٔ ۱۰۸–۸۹