فضای هیلبرت

حالات ریسمان در حال ارتعاش را می‌توان به صورت نقطه ای در فضای هیلبرت مدل کرد. در اینجا تجزیهٔ ریسمان مرتعش به نوسانات فرعی متمایز نشان داده شده که در حقیقت تصویر نقطه بر روی محورهای مختصات در فضای هیلبرت است.

مفهوم ریاضیاتی فضای هیلبرت، که به افتخار دیوید هیلبرت نامگذاری شده، مفهوم فضای اقلیدسی را تعمیم می‌دهد. این فضا، روش‌های جبر برداری و حسابان را از صفحه اقلیدسی دو بعدی و فضای اقلیدسی سه بعدی، به فضاهایی با هر تعداد متناهی یا نامتناهی بعدی توسعه می‌دهد. یک فضای هیلبرت فضای برداری مجردی است که دارای ساختار ضرب داخلی بوده و امکان اندازه‌گیری شدن طول و زاویه را می‌دهد. به علاوه، فضای هیلبرت کامل است: یعنی در این فضا به میزان کافی حد وجود داشته لذا می‌توان از تکنیک‌های حسابان استفاده کرد.

فضاهای هیلبرت به صورت طبیعی و مکرر، به شکل فضای بی‌نهایت بعدی توابع در ریاضیات و فیزیک ظاهر می‌شوند. اولین فضاهای هیلبرت ازین نقطه نظر در دههٔ اول قرن بیستم توسط دیوید هیلبرت، ارهارد اشمیت و فریگیس ریسز مورد مطالعه قرار گرفتند. این فضاها ابزارهای اجتناب ناپذیری در نظریات معادلات مشتقات جزئی، مکانیک کوانتومی، تحلیل فوریه (که شامل کاربردهای آن در پردازش سیگنال و انتقال حرارت می‌شود) و نظریه ارگودیک می‌باشد (که ریاضیات زیربنایی ترمودینامیک را ارائه می‌دهد). جان فون نویمن عبارت «فضای هیلبرت» را برای مفهوم مجردی که کاربردهای گسترده‌ای داشت ایجاد نمود. موفقیت فضاهای هیلبرت راه را برای عصر ثمربخش آنالیز تابعی هموار نمود. جدا از فضاهای اقلیدسی کلاسیک، مثال‌هایی از فضاهای هیلبرت شامل فضاهای توابع مربع-انتگرال پذیر، فضاهای دنباله ای، فضاهای سوبولف شامل توابع تعمیم یافته و فضاهای هاردی از توابع هولومورفیک می‌شود.

شهود هندسی نقش مهمی را در بسیاری از جنبه‌های نظریه فضای هیلبرت بازی می‌کند. موجودات دقیقاً مشابهی از قضیه فیثاغورث و قانون متوازی‌الأضلاع در فضای هیلبرت نیز حضور دارند. در سطوح عمیق‌تر، تصویر عمودی بر روی زیر فضاها (مشابه ارتفاع مثلث‌ها) نقش مهمی در مسائل بهینه‌سازی و دیگر جنبه‌های این نظریه بازی می‌کند. در مقایسه با مختصات کارتزین در صفحه، یک عنصر از یک فضای هیلبرت را می‌توان به صورت منحصر به فردی توسط مختصات و با توجه به مجموعه ای از محورهای مختصات (یک پایه متعامد نرمال) مشخص کرد. زمانی که مجموعه محورها نامتناهی شمارا باشند، فضای هیلبرت را می‌توان به صورت دنباله نامتناهی که مربع-جمع پذیر هستند تصور نمود. در متون قدیمی اینگونه فضاهای اخیر را به عنوان فضای هیلبرت در نظر می‌گیرند. به‌طور مشابه عملگرهای خطی روی یک فضای هیلبرت نیز اشیاء نسبتاً ملموسی هستند: در موارد خوبی، این عملگرها تبدیلات ساده ای هستند که فضا را در جهت‌های دو به دو متعامد با ضریب‌های متفاوت می‌کشند به گونه ای که با مطالعه طیفشان می‌توان آن‌ها را دقیق تر شناخت.

تاریخچه

دیوید هیلبرت

قبل از توسعهٔ فضاهای هیلبرت، تعمیم‌های دیگری از فضاهای اقلیدسی وجود داشت و ریاضیدانان و فیزیکدانان با آن آشنا بودند. بخصوص ایدهٔ فضای خطی مجرد کشش‌هایی را تا پایان قرن نوزدهم ایجاد کرد: این‌ها فضاهایی هستند که عناصرشان را می‌توان با هم جمع کرده و اسکالرها را در آن ضرب کرد (اسکالرهایی چون اعداد حقیقی یا مختلط) بدون این که لزوماً این عناصر مفهومی بیرونی چون بردارهای «هندسی» مکان و گشتاور در دستگاه‌های فیزیکی داشته باشند. دیگر اشیاء مطالعه شده توسط ریاضیدانان در ابتدای قرن بیستم، بخصوص فضای دنباله ای (شامل سری‌ها) و فضای توابع را می‌توان به‌طور طبیعی به عنوان فضاهای خطی در نظر گرفت. به عنوان مثال می‌توان توابع را با هم جمع کرده یا در اسکالر ضرب کرد، و این عملیات از قوانین جبری جمع و ضرب اسکالر بردارها تبعیت می‌کنند.

در دهه اول قرن بیستم میلادی، پیشرفت‌های موازی منجر به معرفی فضاهای هیلبرت شدند. اولین این پیشرفت‌ها مشاهده ای بود که در حین مطالعات دیوید هیلبرت و ارهارد اشمیت بر روی معادلات انتگرالی رخ داد، این مشاهده بدین صورت بود: دو تابع حقیقی مقدار $\mathrm {f}$ و $\mathrm {g}$ روی بازه $[a,b]$ ضرب داخلی دارند که به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x$

این ضرب داخلی بسیاری از خواص آشنای ضرب داخلی در فضای اقلیدسی را داراس. بخصوص ایدهٔ خانواده توابع معامد نیز درینجا معنا پیدا می‌کند. اشمیت شباهت این ضرب داخلی با ضرب داخلی معمولی را به کار گرفت تا مشابه تجزیه طیفی یک عملگر به فرم:

$f(x)\mapsto \int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y$

که در آن $\mathrm {K}$ یک تابع پیوسته و متقارن با متغیرهای $\mathrm {x}$ و $\mathrm {y}$ هست را اثبات کند. نتیجهٔ کار او بسط توابع ویژه است که تابع $\mathrm {K}$ را به صورت یک سری به شکل زیر درمی‌آورد:

$K(x,y)=\sum _{n}\lambda _{n}\varphi _{n}(x)\varphi _{n}(y)$

که در آن $\varphi _{n}$ ها متعامد هستند یعنی $\langle \varphi _{n},\varphi _{n}\rangle =0$ برای تمام $n\neq m$ ها. برخی مواقع هر کدام از جملات این سری را جواب‌های ضرب ابتدایی گویند. با این حال، بسط توابع ویژه ای وجود دارند که به شکل مناسبی به تابع مربع-انتگرال پذیری همگرا نباشند؛ لذا عنصر مفقوده ای که از وجود شرط همگرایی اطمینان حاصل می‌کند همان خاصیت کامل بودن فضاست.

جستارهای وابسته

• آنالیز تابعی
• فضای باناخ

منابع

• Bachman, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2000), Fourier and wavelet analysis, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98899-3, MR 1729490.
• Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1981), Partial differential equations, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0049-2.
• Bourbaki, Nicolas (1986), Spectral theories, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-201-00767-1.
• Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
• Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C (1991), A History of Mathematics (2nd ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
• Brenner, S.; Scott, R. L. (2005), The Mathematical Theory of Finite Element Methods (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-95451-6.
• Buttazzo, Giuseppe; Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1998), One-dimensional variational problems, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, vol. 15, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850465-8, MR 1694383.
• Clarkson, J. A. (1936), "Uniformly convex spaces", Trans. Amer. Math. Soc., 40 (3): 396–414, doi:10.2307/1989630, JSTOR 1989630.
• Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Vol. I, Interscience.
• Dieudonné, Jean (1960), Foundations of Modern Analysis, Academic Press.
• Dirac, P.A.M. (1930), Principles of Quantum Mechanics, Oxford: Clarendon Press.
• Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Parts I and II, Wiley-Interscience.
• Duren, P. (1970), Theory of H^p-Spaces, New York: Academic Press.
• Folland, Gerald B. (2009), Fourier analysis and its application (Reprint of Wadsworth and Brooks/Cole 1992 ed.), American Mathematical Society Bookstore, ISBN 978-0-8218-4790-9.
• Folland, Gerald B. (1989), Harmonic analysis in phase space, Annals of Mathematics Studies, vol. 122, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08527-2.
• Fréchet, Maurice (1907), "Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires", C. R. Acad. Sci. Paris, 144: 1414–1416.
• Fréchet, Maurice (1904–1907), Sur les opérations linéaires.
• Giusti, Enrico (2003), Direct Methods in the Calculus of Variations, World Scientific, ISBN 978-981-238-043-2.
• Grattan-Guinness, Ivor (2000), The search for mathematical roots, 1870–1940, Princeton Paperbacks, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05858-0, MR 1807717.
• Halmos, Paul (1957), Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity, Chelsea Pub. Co
• Halmos, Paul (1982), A Hilbert Space Problem Book, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis, New York: Springer-Verlag.
• Hilbert, David; Nordheim, Lothar (Wolfgang); von Neumann, John (1927), "Über die Grundlagen der Quantenmechanik", Mathematische Annalen, 98: 1–30, doi:10.1007/BF01451579.
• Kac, Mark (1966), "Can one hear the shape of a drum?", American Mathematical Monthly, 73 (4, part 2): 1–23, doi:10.2307/2313748, JSTOR 2313748.
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997), Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I, Graduate Studies in Mathematics, vol. 15, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0819-1, MR 1468229.
• Kakutani, Shizuo (1939), "Some characterizations of Euclidean space", Japanese Journal of Mathematics, 16: 93–97, MR 0000895.
• Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 3 (3rd ed.), Oxford University Press (published 1990), ISBN 978-0-19-506137-6.
• Kolmogorov, Andrey; Fomin, Sergei V. (1970), Introductory Real Analysis (Revised English edition, trans. by Richard A. Silverman (1975) ed.), Dover Press, ISBN 978-0-486-61226-3.
• Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of Several Complex Variables, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2724-6.
• Lanczos, Cornelius (1988), Applied analysis (Reprint of 1956 Prentice-Hall ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-65656-4.
• Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L. (1971), "On the complemented subspaces problem", Israel Journal of Mathematics, 9 (2): 263–269, doi:10.1007/BF02771592, ISSN 0021-2172, MR 0276734.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1996), "Abstract linear spaces", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
• Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier-Villars.
• B.M. Levitan (2001) [1994], "Hilbert space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Marsden, Jerrold E. (1974), Elementary classical analysis, W. H. Freeman and Co., MR 0357693.
• von Neumann, John (1929), "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren", Mathematische Annalen, 102: 49–131, doi:10.1007/BF01782338.
• von Neumann, John (1932), "Physical Applications of the Ergodic Hypothesis", Proc Natl Acad Sci USA, 18 (3): 263–266, Bibcode:1932PNAS...18..263N, doi:10.1073/pnas.18.3.263, JSTOR 86260, PMC 1076204, PMID 16587674.
• von Neumann, John (1932), Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press (published 1996), ISBN 978-0-691-02893-4, MR 1435976.
• Prugovečki, Eduard (1981), Quantum mechanics in Hilbert space (2nd ed.), Dover (published 2006), ISBN 978-0-486-45327-9.
• Reed, Michael; Simon, Barry (1980), Functional Analysis, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, ISBN 978-0-12-585050-6.
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Fourier Analysis, Self-Adjointness, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, ISBN 978-0-12-585002-5.
• Riesz, Frigyes (1907), "Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables", C. R. Acad. Sci. Paris, 144: 1409–1411.
• Riesz, Frigyes (1934), "Zur Theorie des Hilbertschen Raumes", Acta Sci. Math. Szeged, 7: 34–38.
• Riesz, Frigyes; Sz. -Nagy, Béla (1990), Functional analysis, Dover, ISBN 978-0-486-66289-3.
• Rudin, Walter (1973), Functional analysis, Tata MacGraw-Hill.
• Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9.
• Saks, Stanisław (2005), Theory of the integral (2nd Dover ed.), Dover, ISBN 978-0-486-44648-6; originally published Monografje Matematyczne, vol. 7, Warszawa, 1937.
• Schmidt, Erhard (1908), "Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten", Rend. Circ. Mat. Palermo, 25: 63–77, doi:10.1007/BF03029116.
• Shubin, M. A. (1987), Pseudodifferential operators and spectral theory, Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13621-7, MR 0883081.
• Sobrino, Luis (1996), Elements of non-relativistic quantum mechanics, River Edge, New Jersey: World Scientific Publishing Co. Inc., Bibcode:1996lnrq.book.....S, doi:10.1142/2865, ISBN 978-981-02-2386-1, MR 1626401.
• Stewart, James (2006), Calculus: Concepts and Contexts (3rd ed.), Thomson/Brooks/Cole.
• Stein, E (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton Univ. Press, ISBN 978-0-691-08079-6.
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Streater, Ray; Wightman, Arthur (1964), PCT, Spin and Statistics and All That, W. A. Benjamin, Inc.
• Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5..
• Titchmarsh, Edward Charles (1946), Eigenfunction expansions, part 1, Oxford University: Clarendon Press.
• Trèves, François (1967), Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press.
• Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6.
• Weidmann, Joachim (1980), Linear operators in Hilbert spaces, Graduate Texts in Mathematics, vol. 68, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90427-6, MR 0566954.
• Weyl, Hermann (1931), The Theory of Groups and Quantum Mechanics (English 1950 ed.), Dover Press, ISBN 978-0-486-60269-1.
• Young, Nicholas (1988), An introduction to Hilbert space, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33071-8, Zbl 0645.46024.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Hilbert Space». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.