سیستم یوتکتیک

یک نمودار فازی برای یک مخلوط شیمیایی دوتایی فرضی (با دو جزء که با A و B نشان داده شده‌اند) که برای نمایش ترکیب، دما و نقطه یوتکتیک استفاده می‌شود. (L نشان‌دهنده حالت مایع است.)

یک سامانه یوتکتیک یا مخلوط یوتکتیک (به انگلیسی: Eutectic system) نوعی مخلوط همگن است که نقطه ذوب آن از نقطه ذوب هر یک از اجزای سازنده‌اش پایین‌تر است. پایین‌ترین نقطه ذوب ممکن در بین تمام نسبت‌های اختلاط اجزای سازنده، دمای یوتکتیک نامیده می‌شود. در یک نمودار فازی، دمای یوتکتیک به صورت نقطه یوتکتیک دیده می‌شود (به نمودار مراجعه کنید).

نسبت‌های مخلوط غیریوتکتیک دارای دماهای ذوب متفاوتی برای اجزای مختلف خود هستند، زیرا شبکه یکی از اجزا در دمایی پایین‌تر از دیگری ذوب می‌شود. برعکس، هنگامی که یک مخلوط غیریوتکتیک سرد می‌شود، هر یک از اجزای آن در دمای متفاوتی به صورت شبکه منجمد می‌شود، تا زمانی که کل توده جامد شود. بنابراین یک مخلوط غیریوتکتیک دارای یک نقطه ذوب/انجماد واحد که در آن تغییر فاز دهد نیست، بلکه دارای دمایی است که در آن بین مایع و خمیره (معروف به لیکوئیدوس) تغییر می‌کند و دمای پایین‌تری که در آن بین خمیره و جامد تغییر می‌کند (سالیدوس).

در دنیای واقعی، خواص یوتکتیک در فرایندهایی مانند پیوند یوتکتیک قابل استفاده است، جایی که تراشه‌های سیلیکونی با فراصوت به زیرلایه‌های با روکش طلا پیوند داده می‌شوند. همچنین آلیاژهای یوتکتیک در کاربردهای متنوعی مانند لحیم‌کاری نرم، لحیم‌کاری سخت، ریخته‌گری فلزات، حفاظت الکتریکی، سیستم‌های آب‌پاش آتش‌نشانی و جایگزین‌های غیرسمی جیوه ارزشمند هستند.

اصطلاح eutectic (یوتکتیک) در سال ۱۸۸۴ توسط فیزیکدان و شیمیدان بریتانیایی فردریک گاتری (۱۸۳۳–۱۸۸۶) ابداع شد. این واژه از واژگان یونانی εὐ (eû) به معنای «خوب» و τῆξῐς (têxis) به معنای «ذوب» گرفته شده است. پیش از مطالعات او، شیمیدانان فرض می‌کردند «آلیاژی که کمترین نقطه ذوب را دارد باید اجزای سازنده‌اش دارای نسبت‌های اتمی ساده‌ای باشند»، اما او نشان داد که این موضوع همیشه صادق نیست.

گذار فاز یوتکتیک

چهار ساختار یوتکتیک: A) لایه‌ای B) میله‌ای C) کروی D) سوزنی.

انجماد یوتکتیک به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\text{Liquid}}\quad {\xrightarrow[{\text{cooling}}]{{\text{eutectic}} \atop {\text{temperature}}}}\quad \alpha {\text{ solid solution}}\ +\ \beta {\text{ solid solution}}$

این نوع واکنش یک واکنش ناوردا است، زیرا در تعادل گرمایی قرار دارد؛ راه دیگر برای تعریف آن این است که تغییر در انرژی آزاد گیبس برابر با صفر است. به‌طور ملموس، این بدان معناست که مایع و دو محلول جامد همگی به‌طور هم‌زمان وجود دارند و در تعادل شیمیایی هستند. همچنین یک توقف حرارتی در طول مدت تغییر فاز وجود دارد که طی آن دمای سیستم تغییر نمی‌کند.

درشت‌ساختار جامد حاصل از یک واکنش یوتکتیک به چند عامل بستگی دارد، که مهم‌ترین عامل آن چگونگی جوانه‌زنی و رشد دو محلول جامد است. رایج‌ترین ساختار، ساختار لایه‌ای است، اما ساختارهای ممکن دیگر شامل میله‌ای، کروی و سوزنی هستند. علاوه بر این، ریزساختار کرمی‌شکل (vermicular) در یک آلیاژ با آنتروپی بالا مشاهده شده است.

ترکیب‌های غیریوتکتیک

ترکیب‌های سامانه‌های یوتکتیک که در نقطه یوتکتیک نیستند، می‌توانند به عنوان هیپویوتکتیک (Hypoeutectic) یا هایپریوتکتیک (Hypereutectic) طبقه‌بندی شوند:

• ترکیب‌های هیپویوتکتیک آنهایی هستند که دارای درصد بیشتری از گونه α و درصد کمتری از گونه β نسبت به ترکیب یوتکتیک (E) هستند.

• ترکیب‌های هایپریوتکتیک به عنوان آنهایی مشخص می‌شوند که دارای ترکیب بالاتری از گونه β و ترکیب کمتری از گونه α نسبت به ترکیب یوتکتیک هستند.

با کاهش دمای یک ترکیب غیریوتکتیک، مخلوط مایع یکی از اجزای مخلوط را پیش از دیگری رسوب می‌دهد. در یک محلول هایپریوتکتیک، یک فاز پرویوتکتوید از گونه β وجود خواهد داشت، در حالی که یک محلول هیپویوتکتیک دارای یک فاز پرویوتکتیک α خواهد بود.

انواع

آلیاژها

آلیاژهای یوتکتیک دارای دو یا چند ماده هستند و دارای ترکیب یوتکتیک می‌باشند. هنگامی که یک آلیاژ غیریوتکتیک منجمد می‌شود، اجزای آن در دماهای متفاوتی منجمد می‌شوند و یک دامنه ذوب خمیری از خود نشان می‌دهند. برعکس، هنگامی که یک آلیاژ یوتکتیکِ خوب مخلوط شده ذوب می‌شود، این کار را در یک دمای واحد و مشخص انجام می‌دهد. استحاله‌های فازی مختلفی که در طول انجماد یک ترکیب آلیاژی خاص رخ می‌دهد، با رسم یک خط عمودی از فاز مایع به فاز جامد روی نمودار فازی آن آلیاژ قابل درک است.

برخی از کاربردهای آلیاژهای یوتکتیک عبارتند از:

• رله‌های اضافه بار آلیاژ یوتکتیک NEMA برای حفاظت الکتریکی موتورهای سه فاز پمپ‌ها، فن‌ها، نوار نقاله‌ها و سایر تجهیزات فرایند کارخانه‌ای.
• آلیاژهای یوتکتیک برای لحیم‌کاری، هم آلیاژهای سنتی متشکل از سرب (Pb) و قلع (Sn)، گاهی با نقره (Ag) یا طلا (Au) اضافی — به‌ویژه فرمول آلیاژ Sn₆₃Pb₃₇ و Sn₆₂Pb₃₆Ag₂ برای الکترونیک - و آلیاژهای لحیم‌کاری جدیدتر بدون سرب، به‌ویژه آنهایی که از قلع، نقره و مس (Cu) تشکیل شده‌اند مانند Sn_96.5Ag_3.5.
• آلیاژهای ریخته‌گری، مانند آلومینیوم-سیلسیم و چدن (در ترکیب ۴٫۳٪ کربن در آهن که یک یوتکتیک آستنیت-سمنتیت تولید می‌کند).
• تراشه‌های سیلیکونی از طریق یک یوتکتیک سیلیکون-طلا با اعمال انرژی اولتراسونیک به تراشه، به زیرلایه‌های با روکش طلا پیوند یوتکتیک داده می‌شوند.
• لحیم‌کاری سخت، جایی که نفوذ می‌تواند عناصر آلیاژی را از اتصال حذف کند، به‌طوری که ذوب یوتکتیک فقط در اوایل فرایند لحیم‌کاری امکان‌پذیر است.
• پاسخ دمایی، به‌عنوان مثال، فلز وود و فلز فیلد برای آب‌پاش‌های آتش‌نشانی.
• جایگزین‌های غیرسمی جیوه، مانند گالینستان.
• فلزات شیشه‌ای آزمایشگاهی، با استحکام بسیار بالا و مقاومت در برابر خوردگی.
• آلیاژهای یوتکتیک سدیم و پتاسیم (NaK) که در دمای اتاق مایع هستند و به عنوان خنک‌کننده در رآکتورهای هسته‌ای نوترون سریع آزمایشی استفاده می‌شوند.

سایر

تغییر فاز جامد–مایع مخلوط‌های اتانول–آب

• نمک‌ها و آب سیستم‌های یوتکتیک تشکیل می‌دهند. منیزیم پرکلرات دارای نقطه یوتکتیک −۶۴ درجه سلسیوس (−۸۳ درجه فارنهایت) است. سدیم کلرید و آب یک مخلوط یوتکتیک تشکیل می‌دهند که نقطه یوتکتیک آن ۲۱٫۲- درجه سانتی‌گراد و ۲۳٫۳٪ جرمی نمک است. ماهیت یوتکتیک نمک و آب زمانی مورد استفاده قرار می‌گیرد که نمک برای کمک به برف‌روبی روی جاده‌ها پاشیده می‌شود، یا با یخ مخلوط می‌شود تا دماهای پایین تولید کند (برای مثال، در ساخت سنتی بستنی).
• اتانول–آب دارای یک نقطه یوتکتیک نامتعارف است، یعنی نزدیک به اتانول خالص است، که حداکثر درجه خلوص قابل دستیابی توسط انجماد جزء به جزء را تعیین می‌کند.
• «نمک خورشیدی»، ۶۰٪ NaNO₃ و ۴۰٪ KNO₃، یک مخلوط نمک مذاب یوتکتیک تشکیل می‌دهد که برای ذخیره انرژی حرارتی در نیروگاه‌های انرژی خورشیدی متمرکز استفاده می‌شود. برای کاهش نقطه ذوب یوتکتیک در نمک‌های مذاب خورشیدی، از کلسیم نیترات به نسبت زیر استفاده می‌شود: ۴۲٪ Ca(NO₃)₂، ۴۳٪ KNO₃ و ۱۵٪ NaNO₃.
• لیدوکائین و پریلوکائین—هر دو در دمای اتاق جامد هستند—یک یوتکتیک تشکیل می‌دهند که روغنی با نقطه ذوب ۱۶ درجه سلسیوس (۶۱ درجه فارنهایت) است که در آماده‌سازی‌های مخلوط یوتکتیک بی‌حس‌کننده موضعی (EMLA) استفاده می‌شود.
• منتول و کافور، هر دو جامد در دمای اتاق، یوتکتیکی تشکیل می‌دهند که در دمای اتاق مایع است و در نسبت‌های زیر موجود است: ۸:۲، ۷:۳، ۶:۴ و ۵:۵. هر دو ماده از اجزای رایج در آماده‌سازی‌های دارویی فوری هستند.
• کانیها ممکن است در سنگ‌های آذرین مخلوط‌های یوتکتیک تشکیل دهند که منجر به ایجاد بافت‌های رشد درهم مشخص می‌شود که برای مثال توسط گرانوفیر نشان داده می‌شود.
• برخی از جوهرها مخلوط‌های یوتکتیک هستند که به چاپگرهای جوهرافشان اجازه می‌دهند در دماهای پایین‌تری کار کنند.
• کولین کلرید با بسیاری از محصولات طبیعی مانند اسید سیتریک، اسید مالیک و قندها مخلوط‌های یوتکتیک تولید می‌کند. این مخلوط‌های مایع می‌توانند برای مثال برای به دست آوردن عصاره‌های آنتی‌اکسیدان و ضد دیابت از فراورده‌های طبیعی استفاده شوند.

سازوکارهای استحکام‌بخشی

آلیاژها

سازوکار اصلی استحکام‌بخشی ساختار یوتکتیک در فلزات، استحکام‌بخشی کامپوزیتی است. این سازوکار تغییر شکل از طریق انتقال بار بین دو فاز سازنده عمل می‌کند، جایی که فاز انعطاف‌پذیرتر تنش را به فاز سخت‌تر منتقل می‌کند. با بهره‌گیری از استحکام فاز سخت و شکل‌پذیری فاز انعطاف‌پذیر، چقرمگی کلی ماده افزایش می‌یابد. با تغییر ترکیب به سمت تشکیلات هیپویوتکتیک یا هایپریوتکتیک، سازوکار انتقال بار پیچیده‌تر می‌شود زیرا انتقال بار بین فاز یوتکتیک و فاز ثانویه و همچنین انتقال بار در درون خود فاز یوتکتیک وجود دارد.

دومین سازوکار قابل تنظیم استحکام‌بخشی ساختارهای یوتکتیک، فاصله‌گذاری فاز ثانویه است. با تغییر فاصله فاز ثانویه، کسر تماس بین دو فاز از طریق مرزهای فازی مشترک نیز تغییر می‌کند. با کاهش فاصله فاز یوتکتیک و ایجاد یک ساختار یوتکتیک ریز، سطح تماس بیشتری بین دو فاز سازنده به اشتراک گذاشته می‌شود که منجر به انتقال بار مؤثرتر می‌شود. در مقیاس میکرو، سطح مرزی اضافی به عنوان مانعی در برابر نابجایی‌ها عمل کرده و ماده را بیشتر تقویت می‌کند. در نتیجه این سازوکار استحکام‌بخشی، ساختارهای یوتکتیک درشت تمایل دارند کمتر سخت ولی شکل‌پذیرتر باشند، در حالی که ساختارهای یوتکتیک ریز سخت‌تر اما شکننده‌تر هستند. فاصله فاز یوتکتیک را می‌توان در حین فراوری کنترل کرد زیرا مستقیماً با نرخ سرمایش در حین انجماد ساختار یوتکتیک مرتبط است. برای مثال، برای یک ساختار یوتکتیک لایه‌ای ساده، حداقل فاصله لایه‌ها عبارت است از:

$\lambda ^{*}={\frac {2\gamma V_{m}T_{E}}{\Delta H\times \Delta T_{0}}}$

که در آن $\gamma$ انرژی سطح مرز دوفازی، $V_{m}$ حجم مولی فاز یوتکتیک، $T_{E}$ دمای انجماد فاز یوتکتیک، $\Delta H$ آنتالپی تشکیل فاز یوتکتیک، و $\Delta T_{0}$ میزان مادون انجماد (undercooling) ماده است. بنابراین، با تغییر مادون انجماد، و به تبع آن نرخ سرمایش، حداقل فاصله قابل دستیابی فاز ثانویه کنترل می‌شود.

استحکام‌بخشی فازهای یوتکتیک فلزی برای مقاومت در برابر تغییر شکل در دماهای بالا (به خزش مراجعه کنید) پیچیده‌تر است زیرا سازوکار اصلی تغییر شکل بسته به سطح تنش اعمال شده تغییر می‌کند. در دماهای بالا که تغییر شکل تحت سلطه حرکت نابجایی است، استحکام ناشی از انتقال بار و فاصله فاز ثانویه باقی می‌ماند زیرا آنها به مقاومت در برابر حرکت نابجایی ادامه می‌دهند. در کرنش‌های پایین‌تر که خزش نابارو-هرینگ غالب است، شکل و اندازه ساختار فاز یوتکتیک نقش مهمی در تغییر شکل ماده ایفا می‌کند زیرا بر سطح مرزی موجود برای وقوع نفوذ جای‌خالی تأثیر می‌گذارد.

سایر نقاط بحرانی

نمودار فازی آهن–کربن، که نشان‌دهنده استحاله یوتکتوید بین آستنیت (γ) و پرلیت است.

یوتکتوید

هنگامی که محلول بالای نقطه استحاله به جای مایع، جامد باشد، یک استحاله مشابه به نام یوتکتوید می‌تواند رخ دهد. برای مثال، در سیستم آهن-کربن، فاز آستنیت می‌تواند دچار استحاله یوتکتوید شود تا فریت و سمنتیت تولید کند، که اغلب در ساختارهای لایه‌ای مانند پرلیت و بینیت قرار دارند. این نقطه یوتکتوید در دمای ۷۲۳ درجه سلسیوس (۱٬۳۳۳ درجه فارنهایت) و ۰٫۷۶ درصد وزنی کربن رخ می‌دهد.

پریتکتوید

استحاله پریتکتوید نوعی واکنش برگشت‌پذیر هم‌دما است که در آن دو فاز جامد با سرمایش یک آلیاژ دوتایی، سه‌تایی، ...، n-تایی با یکدیگر واکنش می‌دهند تا یک فاز جامد کاملاً متفاوت و واحد ایجاد کنند. این واکنش نقش کلیدی در نظم و تجزیه فازهای شبه‌کریستالی در چندین نوع آلیاژ ایفا می‌کند. یک گذار ساختاری مشابه نیز برای کریستال‌های ستونی چرخان پیش‌بینی شده است.

پریتکتیک

نمودار فازی طلا–آلومینیوم

استحاله‌های پریتکتیک نیز شبیه به واکنش‌های یوتکتیک هستند. در اینجا، یک فاز مایع و جامد با نسبت‌های ثابت در یک دمای ثابت واکنش می‌دهند تا یک فاز جامد واحد تولید کنند. از آنجا که محصول جامد در فصل مشترک بین دو واکنش‌دهنده تشکیل می‌شود، می‌تواند یک سد نفوذی ایجاد کند و عموماً باعث می‌شود چنین واکنش‌هایی بسیار کندتر از استحاله‌های یوتکتیک یا یوتکتوید پیش بروند. به همین دلیل، هنگامی که یک ترکیب پریتکتیک منجمد می‌شود، ساختار لایه‌ای که در انجماد یوتکتیک یافت می‌شود را نشان نمی‌دهد.

چنین استحاله‌ای در سیستم آهن-کربن وجود دارد، همان‌طور که در گوشه سمت چپ بالای شکل دیده می‌شود. این شبیه به یک یوتکتیک وارونه است، که در آن فاز δ با مایع ترکیب می‌شود تا آستنیت خالص را در ۱٬۴۹۵ درجه سلسیوس (۲٬۷۲۳ درجه فارنهایت) و ۰٫۱۷٪ کربن تولید کند.

در دمای تجزیه پریتکتیک، ترکیب به جای ذوب شدن، به یک ترکیب جامد دیگر و یک مایع تجزیه می‌شود. نسبت هر کدام توسط قانون اهرم تعیین می‌شود. برای مثال، در نمودار فازی اینترمتالیک طلا-آلومینیوم (Al-Au)، دیده می‌شود که تنها دو فاز به‌طور همگن ذوب می‌شوند، AuAl₂ و Au₂Al، در حالی که بقیه به صورت پریتکتیک تجزیه می‌شوند.

«محلول جامد ضعیف»

همه سیستم‌های دارای حداقل نقطه ذوب، لزوماً «یوتکتیک» نیستند. اصطلاح «محلول جامد ضعیف» (Poor Solid Solution) برای توصیف این حالت استفاده می‌شود که می‌توان آن را با مقایسه سیستم‌های فلزات گران‌بهای رایج مس-نقره (Cu-Ag) و مس-طلا (Cu-Au) نشان داد.

سیستم مس-نقره یک سیستم یوتکتیک واقعی است. نقطه ذوب یوتکتیک در ۷۸۰ درجه سانتی‌گراد است و انحلال‌پذیری در حالت جامد محدود می‌باشد. در این سیستم، آلیاژ یوتکتیک در یک دمای واحد ذوب یا منجمد می‌شود، اما هر ترکیب دیگری با رسیدن به خط سالیدوس، وارد ناحیه دوفازی شده و ذوب جزئی را تجربه می‌کند تا زمانی که به دمای لیکوئیدوس برسد. نکته کلیدی این است که در هنگام انجماد، دو فاز جامد مجزا (یکی غنی از مس و دیگری غنی از نقره) تشکیل می‌شوند.

در مقابل، سیستم مس-طلا دارای یک نقطه ذوب کمینه در دمای ۹۱۰ درجه سانتی‌گراد و ۴۴ درصد اتمی مس است (حدود ۲۰ درصد وزنی مس). اما این یک یوتکتیک واقعی نیست، زیرا اجزا در تمام نسبت‌ها در هر دو حالت جامد و مایع کاملاً قابل اختلاط هستند. برخلاف سیستم یوتکتیک، در اینجا انجماد منجر به جدایش به دو فاز کریستالی متفاوت نمی‌شود، بلکه یک فاز محلول جامد واحد تشکیل می‌گردد. در هر ترکیبی به جز نقطه کمینه، ذوب و انجماد در یک بازه دمایی رخ می‌دهد (فاصله بین سالیدوس و لیکوئیدوس) و ترکیب فاز جامد و مایع در حال تعادل پیوسته تغییر می‌کند.

دلیل این رفتار در سیستم‌هایی مانند مس-طلا این است که اگرچه انحلال‌پذیری کامل وجود دارد، اما این محلول جامد به دلیل عدم تطابق اندازه اتمی در شبکه بلوری، «ضعیف» محسوب می‌شود. این عدم تطابق باعث ناپایداری نسبی فاز جامد نسبت به فاز مایع (که در آن اتم‌ها آزادی حرکت بیشتری دارند) می‌شود و در نتیجه نقطه ذوب آلیاژ به زیر نقطه ذوب هر یک از اجزای خالص کاهش می‌یابد.

محاسبه یوتکتیک

ترکیب و دمای یک یوتکتیک را می‌توان از آنتالپی و آنتروپی ذوب هر یک از اجزا محاسبه کرد.

انرژی آزاد گیبس G به دیفرانسیل خودش بستگی دارد:

$G=H-TS\Rightarrow {\begin{cases}H=G+TS\\\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{P}=-S\end{cases}}\Rightarrow H=G-T\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{P}.$

بنابراین، مشتق G/T در فشار ثابت توسط معادله زیر محاسبه می‌شود:

$\left({\frac {\partial G/T}{\partial T}}\right)_{P}={\frac {1}{T}}\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{P}-{\frac {1}{T^{2}}}G=-{\frac {1}{T^{2}}}\left(G-T\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{P}\right)=-{\frac {H}{T^{2}}}.$

پتانسیل شیمیایی $\mu _{i}$ محاسبه می‌شود اگر فرض کنیم که فعالیت برابر با غلظت است:

$\mu _{i}=\mu _{i}^{\circ }+RT\ln {\frac {a_{i}}{a}}\approx \mu _{i}^{\circ }+RT\ln x_{i}.$

در تعادل، $\mu _{i}=0$ است، بنابراین $\mu _{i}^{\circ }$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$\mu _{i}=\mu _{i}^{\circ }+RT\ln x_{i}=0\Rightarrow \mu _{i}^{\circ }=-RT\ln x_{i}.$

استفاده از این و انتگرال‌گیری نتیجه می‌دهد:

$\left({\frac {\partial \mu _{i}/T}{\partial T}}\right)_{P}={\frac {\partial }{\partial T}}\left(R\ln x_{i}\right)\Rightarrow R\ln x_{i}=-{\frac {H_{i}^{\circ }}{T}}+K.$

ثابت انتگرال‌گیری K ممکن است برای یک جزء خالص با دمای ذوب $T^{\circ }$ و آنتالپی ذوب $H^{\circ }$ تعیین شود:

$x_{i}=1\Rightarrow T=T_{i}^{\circ }\Rightarrow K={\frac {H_{i}^{\circ }}{T_{i}^{\circ }}}.$

ما رابطه‌ای به دست می‌آوریم که کسر مولی را به عنوان تابعی از دما برای هر جزء تعیین می‌کند:

$R\ln x_{i}=-{\frac {H_{i}^{\circ }}{T}}+{\frac {H_{i}^{\circ }}{T_{i}^{\circ }}}.$

مخلوط n جزء توسط سیستم زیر توصیف می‌شود:

${\begin{cases}\ln x_{i}+{\frac {H_{i}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{i}^{\circ }}{RT_{i}^{\circ }}}=0,\\\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}=1.\end{cases}}$ ${\begin{cases}\forall i<n\Rightarrow \ln x_{i}+{\frac {H_{i}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{i}^{\circ }}{RT_{i}^{\circ }}}=0,\\\ln \left(1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}x_{i}\right)+{\frac {H_{n}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{n}^{\circ }}{RT_{n}^{\circ }}}=0,\end{cases}}$

که می‌توان آن را توسط معادله ماتریسی زیر حل کرد:

${\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\\\vdots \\\Delta x_{n-1}\\\Delta T\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1/x_{1}&0&\cdots &0&-{\frac {H_{1}^{\circ }}{RT^{2}}}\\0&1/x_{2}&\cdots &0&-{\frac {H_{2}^{\circ }}{RT^{2}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1/x_{n-1}&-{\frac {H_{n-1}^{\circ }}{RT^{2}}}\\{\frac {-1}{1-\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}}}&{\frac {-1}{1-\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}}}&\cdots &{\frac {-1}{1-\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}}}&-{\frac {H_{n}^{\circ }}{RT^{2}}}\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}\ln x_{1}+{\frac {H_{1}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{1}^{\circ }}{RT_{1}^{\circ }}}\\\ln x_{2}+{\frac {H_{2}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{2}^{\circ }}{RT_{2}^{\circ }}}\\\vdots \\\ln x_{n-1}+{\frac {H_{n-1}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{n-1}^{\circ }}{RT_{n-1}^{\circ }}}\\\ln \left(1-\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}\right)+{\frac {H_{n}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{n}^{\circ }}{RT_{n}^{\circ }}}\end{bmatrix}}$

جستارهای وابسته

• آزئوتروپ
• کاهش نقطه انجماد
• محلول جامد
• انرژی آزاد گیبس

منابع

کتاب‌شناسی

• Smith, William F.; Hashemi, Javad (2006), Foundations of Materials Science and Engineering (4th ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-295358-9.

برای مطالعه بیشتر

• Askeland, Donald R.; Pradeep P. Phule (2005). The Science and Engineering of Materials. Thomson-Engineering. ISBN 978-0-534-55396-8.
• Easterling, Edward (1992). Phase Transformations in Metals and Alloys. CRC. ISBN 978-0-7487-5741-1.
• Mortimer, Robert G. (2000). Physical Chemistry. Academic Press. ISBN 978-0-12-508345-4.
• Reed-Hill, R. E.; Reza Abbaschian (1992). Physical Metallurgy Principles. Thomson-Engineering. ISBN 978-0-534-92173-6.
• Sadoway, Donald (2004). "Phase Equilibria and Phase Diagrams" (PDF). 3.091 Introduction to Solid State Chemistry, Fall 2004. MIT Open Courseware. Archived from the original (PDF) on 2005-10-20. Retrieved 2006-04-12.