چندضلعی منتظم

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
مجموعه n-ضلعی‌های منتظم کوژ

Regular polygon 3 annotated.svgRegular polygon 4 annotated.svgRegular polygon 5 annotated.svgRegular polygon 6 annotated.svg
Regular polygon 7 annotated.svgRegular polygon 8 annotated.svgRegular polygon 9 annotated.svgRegular polygon 10 annotated.svg
Regular polygon 11 annotated.svgRegular polygon 12 annotated.svgRegular polygon 13 annotated.svgRegular polygon 14 annotated.svg
Regular polygon 15 annotated.svgRegular polygon 16 annotated.svgRegular polygon 17 annotated.svgRegular polygon 18 annotated.svg
چندضلعی‌های منتظم

ضلع و رأس n
نماد {n}
گروه تقارن Dn, order 2n
چندضلعی همزاد خود همزاد
مساحت
(با s=طول ضلع)
A = \tfrac14ns^2 \cot \frac{\pi}{n}
زاویه داخلی (n-2)\times \frac{180^\circ}{n}
مجموع زوایای داخلی \left(n-2\right)\times 180^\circ
ویژگی‌ها کوژ، سیکلیک، متساوی‌الاضلاع، Isogonal، Isotoxal

در هندسه اقلیدسی، یک چندضلعی منتظم، چندضلعی است که همه زوایا و اضلاع آن هم‌اندازه‌اند.

چندضلعی‌های منتظم، می‌توانند کوژ و یا به شکل ستاره باشند. در حالت حدی، یک دنباله از چندضلعی‌های منتظم با افزایش تعداد اضلاع، در صورت ثابت ماندن محیط به دایره تبدیل می‌شود و در صورت ثابت ماندن طول ضلع، به apeirogon تبدیل می‌شود.

ویژگی‌ها[ویرایش]

ویژگی‌های بیان‌شده در ادامه، برای همهٔ چندضلعی‌های منتظم (اعم از کوژ و ستاره‌ای) برقرار است.

یک چندضلعی منتظم n-ضلعی، تقارن چرخشی از مرتبهٔ n دارد.

همهٔ رأس‌های یک چندضلعی منتظم بر روی یک دایره (دایره محیطی) قرار می‌گیرند. به‌عبارت دیگر، رأس‌ها نقاطی هم‌دایره هستند. یعنی یک چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی دایره‌ای هم هست.

هر چندضلعی منتظم، یک دایره محاطی دارد که به همه اضلاع در نقطهٔ وسط آنها مماس است. بنابراین هر چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی مماسی هم هست.

یک n-ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار قابل ترسیم است؛ اگر و تنها اگر فاکتورهای اول فرد n، اعداد اول فرمای متفاوتی باشند.

چندضلعی‌های منتظم کوژ[ویرایش]

همهٔ چندضلعی‌های سادهٔ منتظم، کوژ هستند. چندضلعی‌های منتظم باتعداد اضلاع یکسان، متشابه هستند. یک n-ضلعی منتظم کوژ، با نماد شلفلی {n} نشان داده می‌شود.

Regular polygon 3.svg
مثلث
متساوی‌الاضلاع

{۳}
Regular polygon 4.svg
مربع
{۴}
Regular polygon 5.svg
پنج‌ضلعی
{۵}
Regular polygon 6.svg
شش‌ضلعی
{۶}
Regular polygon 7.svg
هفت‌ضلعی
{۷}
Regular polygon 8.svg
هشت‌ضلعی
{۸}
Regular polygon 9.svg
نه‌ضلعی
{۹}
Regular polygon 10.svg
ده‌ضلعی
{۱۰}
Regular polygon 11.svg
یازده‌ضلعی
{۱۱}
Regular polygon 12.svg
دوازده‌ضلعی
{۱۲}
Regular polygon 13.svg
سیزده‌ضلعی
{۱۳}
Regular polygon 14.svg
چهارده‌ضلعی
{۱۴}
Regular polygon 15.svg
پانزده‌ضلعی
{۱۵}
Regular polygon 16.svg
شانزده‌ضلعی
{۱۶}
Regular polygon 17.svg
هفده‌ضلعی
{۱۷}
Regular polygon 18.svg
هجده‌ضلعی
{۱۸}
Regular polygon 19.svg
نوزده‌ضلعی
{۱۹}
Regular polygon 20.svg
بیست‌ضلعی
{۲۰}
Regular polygon 30.svg
سی‌ضلعی
{۳۰}
Regular polygon 40.svg
چهل‌ضلعی
{۴۰}
Regular polygon 50.svg
پنجاه‌ضلعی
{۵۰}
Regular polygon 60.svg
شصت‌ضلعی
{۶۰}
Regular polygon 70.svg
هفتادضلعی
{۷۰}
Regular polygon 80.svg
هشتادضلعی
{۸۰}
Regular polygon 90.svg
نودضلعی
{۹۰}
Regular polygon 100.svg
صدضلعی
{۱۰۰}

زاویه‌ها[ویرایش]

برای یک n-ضلعی منتظم کوژ، اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی برابر است با:

\left(1-\frac{2}{n}\right)\times 180 یا (n-2)\times \frac{180}{n} درجه

یا \frac{(n-2)\pi}{n} رادیان

و اندازهٔ هر زاویه خارجی آن برابر است با \tfrac{360}{n} درجه.

قطرها[ویرایش]

برای n > ۲، تعداد قطرهای n-ضلعی، برابر است با \tfrac{n (n-3)}{2}، به‌عنوان مثال برای مثلث، چهارضلعی، پنج‌ضلعی و شش‌ضلعی، تعداد قطرها به‌ترتیب، ۰، ۲، ۵ و ۹ است.

برای یک n-ضلعی منتظم محاط‌شده در یک دایره به شعاع واحد، حاصل‌ضرب فاصلهٔ هر رأس تا همهٔ رأس‌های دیگر، برابر است با n.

مساحت[ویرایش]

پنج‌ضلعی منتظم با طول ضلع s، شعاع دایره محیطی r و شعاع دایره محاطی a

مساحت یک n-ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع s، شعاع دایره محیطی r، شعاع دایره محاطی a و محیط p با استفاده از روابط زیر بدست می‌آید:[۱][۲]

A= \tfrac{1}{2}nsa = \tfrac{1}{2}pa = \tfrac{1}{4}ns^2\cot{\tfrac{\pi}{n}} = na^2\tan{\tfrac{\pi}{n}} = \tfrac{1}{2}nr^2\sin{\tfrac{2\pi}{n}}

مساحت یک چندضلعی منتظم با طول ضلع s=۱، شعاع دایره محیطی r =۱ و شعاع دایره محاطی a =۱ در جدول زیر ارائه شده است:

در بین همهٔ n-ضلعی‌ها با محیط داده‌شده، بیشترین مساحت مربوط به n-ضلعی منتظم است.[۳]

چندضلعی‌های منتظم ستاره‌ای[ویرایش]

یک ستاره پنج‌پر {5/2}

یک چندضلعی منتظم غیرکوژ، یک چندضلعی منتظم ستاره‌ای است. متداول‌ترین نمونه، ستاره پنج‌پر است که رأس‌های آن دقیقاً مشابه پنج‌ضلعی منتظم هستند، ولی هر رأس به دو رأس متفاوت با پنج‌ضلعی متصل شده است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

  1. "Math Open Reference". Retrieved 4-Feb-2014. 
  2. "Mathwords". 
  3. Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.