اعداد فرما

عدد فرما عدد صحیح و مثبتی است بصورت $F_{n} = 2^{2^n} + 1$ که در آن $n$ عددی صحیح و غیر منفی است.

اگر چنین عددی اول هم باشد آنرا «عدد اول فرما» می نامند.

این اعداد را بنام پییر دو فرما نام‌گذاری کرده‌اند.

اگر $2^m+1$ اول باشد، می‌توان نشان داد $m=2^n$.

اثبات (با عکس نقیض): فرض کنید $m$ توانی از ۲ نباشد، بنابراین $m$ دارای یک شمارنده فرد مانند $2k+1$ (بزرگ‌تر از یک) است. بنابراین

$m=(2k+1)r$

حال خواهیم داشت که $2^m+1$ با استفاده از اتحاد دارای تجزیهٔ غیر بدیهی می‌شود. که این خلاف اول بودن این عدد است، پس این عدد به صورت $2^{2^n}$ است. بنابراین هر عدد اولی که بصورت $2^m+1$ باشد، عدد فرما است.

فرما که اغلب حدس‌هایش برای ریاضیدانان در خور توجه و قابل اعتماد بود مشاهده کرد که با گذاشتن چند عدد ۰ و ۱ و ۲ و ۳ و ۴ به جای $n$ در فرمول بالا $F$ اول است.

در سال ۱۷۳۲ اویلر نشان داد که $F(5)$ مرکب است. تاکنون فقط به ازای $n=0,...,4$ عدد اول فرما یافت شده است.

جستارهای وابسته

• اعداد مرسن

منابع

Wikipedia contributors، "Fermat number،" Wikipedia، The Free Encyclopedia، http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fermat_number&oldid=211537779