نظریه اندازه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

اندازه در ریاضیات، به تابعی گفته می‌شود، که یک عدد یا مقدار را (به عنوان مثال اندازه، حجم یا احتمال) به هر زیرمجموعه از یک مجموعه خاص، نسبت می‌دهد. این نظریه به منظور، محاسبه انتگرالها بر روی مجموعه‌ها به جای برروی فاصله‌ها (یا همان بازه‌ها) که در معمول انجام می‌پذیرد، گسترش پیدا کرد و از این رو در آنالیز ریاضی و در نظریه احتمالات، بسیار دارای اهمیت می‌باشد.

نظریه اندازه، قسمت مهمی از آنالیز حقیقی است، به طوری که جبرهای سیگما، قیاس‌ها توابع قیاس‌پذیر و انتگرالها را مورد تحقیق، قرار می‌دهد و در نظریه احتمالات و آمار از اهمیت زیادی برخوردار است.

تعریف[ویرایش]

برطبق تعریف، اندازه \mu تابعی است (یا به عبارتی نگاشتی است)، که برروی سیگما جبر \Sigma بر مجموعه X، تعریف می‌شود و مقادیر بین [0,\infty[، می‌پذیرد و دارای خصوصیت‌های زیر است:


\mu(\varnothing) := 0


\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)

در اینجا \varnothing مجموعه تهی و E_1,E_2,E_3\cdots تعداد شمارایی از مجموعه‌هایی در \Sigma هستند، که اشتراک هرکدام از آنها با دیگری تهی است (مجموعه‌ها مجزا هستند). در این حالت به (X,\Sigma,\mu) فضای اندازه‌ای و به اعضای \Sigma، مجموعه‌های اندازه‌پذیر گفته می‌شود.

خاصیت‌ها[ویرایش]

از تعریفهای بالا، عبارت‌های زیر به دست می‌آیند:

جستار وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
  • Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8