معادله پائولی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

معادله پائولی که با نام معادله شرودینگر-پائولی نیز شناخته شده است٬ فرمول‌بندی معادله شرودینگر برای ذرات اسپین-۱⁄۲ است که برهمکنش اسپین ذرات با میدان الکترومغناطیسی را در نظر می‌گیرد.این معادله در حقیقت ٬حد غیرنسبیتی معادله دیراک است و در سرعت‌هایی که اثرات نسبیتی قابل چشم‌پوشی هستند کاربرد دارد.

این معادله در سال ۱۹۲۷ توسط ولفگانگ پائولی به دست‌آمد.

جزئیات[ویرایش]

برای یک ذره با جرم m و بار الکتریکی q در میدان الکترومغناطیسی توصیف‌شده با پتانسیل برداری

 \bold{A} = (A_x,A_y,A_z) \ \

و پتانسیل اسکالر الکتریکی ϕ ٬ این معادله می‌شود:

معادله پائولی (حالت کلی)

\left[ \frac{1}{2m}(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\bold{p} - q \bold{A}))^2 + q \phi \right] |\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle

که در آن

 \boldsymbol{\sigma} = (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z) \ \

یک بردار سه‌مولفه‌ای از ماتریس‌های پاولی است ٬ یعنی هر مولفه آن یک ماتریس پاولی است٬

 \bold{p} = -i\hbar\nabla = -i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\ \

بردار سه‌مولفه‌ای عملگر تکانه است و ∇ عملگر گرادیان گرادیان است و

 |\psi\rangle = \begin{pmatrix} 
\psi_0 \\
\psi_1
\end{pmatrix}

اسپینور دومولفه‌ای تابع موج است ٬ یک بردار ستونی که با نمادگذاری دیراک نوشته شده است. به طور صریح‌تر می‌توان معادله پاولی را چنین نوشت:

\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 \left(\sigma_n \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - q A_n\right)\right) \right) ^2 + q \phi \right] 
\begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix} 
= i \hbar \begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial \psi_0 }{\displaystyle \partial t} \\[6pt]  \frac{\displaystyle \partial \psi_1 }{\displaystyle \partial t}     
\end{pmatrix}.

که هامیلتونی در آن٬ به خاطر وجود ماتریس‌های  \sigma پاولی٬ یک عملگر ماتریسی ۲ در ۲ است .

رابطه با معادله شرودینگر و معادله دیراک[ویرایش]

معادله پائولی غیرنسبیتی است ٬ اما وجود اسپین را پیش‌بینی می‌کند.بنابراین جایگاهی بین معادله شرودینگر و معادله دیراک دارد:

  • معادله شرودینگر غیرنسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی نمی‌کند.
  • معادله دیراک کاملا نسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی می‌کند.

توجه کنید که به خاطر خواص ماتریس‌های پاولی ٬ اگر بردار  \bold{A} صفر گردد٬ معادله به همان معادله شرودینگر برای ذره در پتانسیل اسکالر ϕ تبدیل می‌شود.

حالات خاص[ویرایش]

در حضور میدان مغناطیسی خارجی معادله پاولی می‌شود:

معادله پاولی (میدان مغناطیسی)


\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\varphi_\pm\rangle = \left( \frac{( \bold{p} -q \bold A)^2}{2 m} + q \phi \right) \hat 1 \bold |\varphi_\pm\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{q \hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma} \cdot \bold B \bold |\varphi_\pm\rangle }_\text{Stern Gerlach term}

که در آن

 |\varphi_\pm\rangle = \begin{pmatrix} 
|\varphi_+\rangle \\
|\varphi_-\rangle 
\end{pmatrix},

مولفه‌های اسپینور پاولی هستند.B میدان مغناطیسی خارجی است و

 \hat 1 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}

ماتریس همانی است که به عنوان عملگر همانی عمل می‌کند.

منابع[ویرایش]