معادله شرودینگر

معادلهٔ شرودینگر، اساسی‌ترین معادله غیر نسبیتی در مکانیک کوانتومی برای توصیف تحول حالت یک ذره است. معادله شرودینگر سال ۱۹۲۶ توسط اروین شرودینگر به ثبت رسید و پس از او نیز هایزنبرگ معادله برابری را به صورت عملگرهای خطی و عملگرهای جابجایی به وجود آورد. معادله شرودینگر در حالت ساده به صورت زیر است:

$H(t) \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle$

در اینجا H یک عملگر خطی در فضای (اصولاً بینهایت بعدی) هیلبرت است و عملگر همیلتونی نام دارد. ویژه‌مقدارهای این نگاشت اصولاً مقادیر کوانتومی انرژی هستند. ‎ |ψ>‎، یک بردار در فضایِ هیلبرت است، که حالت ذره را توصیف می‌کند. اگر این بردار را به صورت یک تابع زمان و مکان بنویسیم، معادله شرودینگر چنین حالتی پیدا می‌کند:

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t) \;=\; - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r},t) + V(\mathbf{r},t)\psi(\mathbf{r},t)$

البته اگر ما ‎|ψ_n>‎ را به عنوان ویژه‌بردار H انتخاب کنیم، آن وقت این معادله دیگر متغیر زمانی نخواهد داشت:

$H |\psi_n(x)\rang = E_n |\psi_n(x)\rang$

با در نظر گرفتن نظریهٔ نسبیت خاص، معادلهٔ شرودینگر دیگر صادق نیست و در این حالت از معادله دیراک که کلی‌تر است استفاده می‌شود.

منابع

• David J. Griffiths (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Shankar, R., Principles of Quantum Mechanics, 2nd edition (Plenum, 1994)

جستارهای وابسته

• معادله غیر خطی شرودینگر