معادله دیراک

معادله دیراک، معادله‌ای است در مکانیک کوانتومی و تعمیم‌یافته معادله شرودینگر برای محاسبه تابع موجی ذرّات، با این تفاوت که این معادله نظریه نسبیت خاص را نیزدر نظر می‌گیرد. این معادله توسط فیزیکدان بریتانیایی پل دیراک پدید آمد که خود دیراک این معادله را بر مبنای معادله کلاین-گوردون گسترش داد.

مقدمه

معادله شرودینگر در فرم غیر نسبیتی آن به صورت زیر است

$[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2+V]\psi=i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi$

این معادله بر پایه فرضیات غیر نسبیتی بدست آمده است. وابستگی به زمان در این معادله به صورت خطی است در حالی که وابستگی به مکان در آن به صورت غیر خطی می‌باشد. این معادله نسبت به تبدیلات گالیله ناورداست اما نسبت به تبدیلات لورنتز ناوردا باقی نمی‌ماند. علاوه براین معادله شرودینگر نمی تواند اسپین ذرات را پیش بینی کند و باید به صورت دستی در جوابهای آن وارد شود. این دلایل ما را بر آن می‌دارد که به دنبال معادله ای باشیم که این نقایص را نداشته باشند. زیرا در فیزیک با مواردی روبرو می‌شویم که در نظر گرفتن تصحیحات نسبیتی گریز ناپذیر می‌گردد. معادله ای که باید بدنبال آن باشیم باید نسبت به تبدیلات لورنتز که تبدیلاتی فراگیرتر و عامتر نسبت به تبدیلات گالیله هستند ناوردا باشد.

معادله دیراک

در پی یافتن معادله ای که نرم مثبت داشته باشد و هامیلتونی ظاهر شده در معادله موج هرمیتی باشد به معادله دیراک دست می یابیم که نسبت به مکان و زمان، هر دو، مرتبه یک می باشد.

معادله دیراک، تابع موجی ذرّات با اسپین نیمه یعنی فرمیون‌ها را (مانند الکترون‌ها) توجیه می‌کند، در حالی که معادله کلاین-گوردون برای ذرّات با اسپین صفر (مانند بعضی مزون‌ها) در نظر گرفته می‌شود. دیراک همچنین توانست با معادله‌اش، موجودیت ضدماده به خصوص پوزیترون را سه سال قبل از کشف آنها توسط آزمایش نشان دهد. معادله دیراک در صورتی که هیچ نیروی خارجی وجود نداشته باشد به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\left( i \gamma ^\mu \partial _\mu - \frac{mc}{\hbar}\right) \psi = \left( i \partial\!\!\!/ - \frac{mc}{\hbar} \right) \psi = 0$

در اینجا $\partial\!\!\!/ = \gamma ^\mu \partial _\mu$ توسط قاعده جمع‌زنی اینشتین جمع‌بندی می‌شود و $\gamma^\mu$ ماتریس‌های ۴×۴ هستند که به ماتریس‌های دیراک مشهور هستند.

$\gamma _0 = \beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ;\; \gamma _k = \beta \alpha _k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma _n \\ -\sigma _n & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_{n}$ نیز ماتریس‌های پاولی نام دارند.

جستارهای وابسته

معادله کلاین-گوردون

معادله شرودینگر

منابع

• Dirac, P.A.M., Principles of Quantum Mechanics, 4th edition (Clarendon, 1982)
• Shankar, R., Principles of Quantum Mechanics, 2nd edition (Plenum, 1994)
• Bjorken, J D & Drell, S, Relativistic Quantum mechanics
• Thaller, B., The Dirac Equation, Texts and Monographs in Physics (Springer, 1992)
• Sakurai, J. J. (1967). Advanced Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-06710-2.