عدد مختلط

نمایش یک عدد مختلط در صفحه مختلط. در این شکل، $a$، قسمت حقیقی و $b$، قسمت موهومی است.

عدد مختلط (به انگلیسی: Complex number) یا عدد هم‌تافت عددی به شکل $a+ib\,$ است که $a$ و $b$ اعداد حقیقی‌اند و $i$ ،یکهٔ موهومی با خصوصیت $i$² = -1 که ریشه x^2+1=0 است. عدد $a$ قسمت حقیقی و عدد $b$ قسمت موهومی نامیده و نوشته می‌شود:

• $I_{m}z=b$
• $R_{e}z=a$

اعداد حقیقی را می‌توان به عنوان اعداد مختلط با قسمت موهومی صفر در نظر گرفت، یعنی عدد حقیقی $a$ معادل است با عدد مختلط $a+0i$.

مجموعهٔ اعداد مختلط را به‌صورت $C=\left\{a+ib|a,b\in R,i^{2}=-1\right\}$ تعریف می‌کنیم.

تعاریف

طبقه‌بندی اعداد مختلط $:\;\mathbb {C}$ حقیقی $:\;\mathbb {R}$ گویا $:\;\mathbb {Q}$ صحیح $:\;\mathbb {Z}$ حسابی طبیعی $:\;\mathbb {N}$ یک: 1 اعداد اول اعداد مرکب صفر: 0 اعداد صحیح منفی کسری مختوم متناوب ساده مرکب گنگ اعداد گنگ جبری ترافرازنده موهومی

برابری

دو عدد مختلط برابرند اگر و تنها اگر بخش‌های حقیقی و موهومی آن‌ها دو به دو با یکدیگر برابر باشند؛ یعنی $a+bi=c+di$ اگر و تنها اگر a = c و b = d. به عبارت دیگر دو عدد مختلط فقط زمانی برابرند که نمایش هندسی آن‌ها یک نقطه باشد.

نمادگذاری و اعمال جبری

مجموعه اعداد مختلط معمولاً با $\mathbb {C}$ نشان داده می‌شود. اعداد مختلط نیز می‌توانند جمع، تفریق، و ضرب شوند با در نظر گرفتن معادلهٔ $i^{2}=-1$

$$\,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$

$$\,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

$$\,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i$$

تقسیم اعداد مختلط را نیز می‌توان تعریف کرد (پایین را ببینید). بنابراین مجموعه اعداد مختلط یک میدان تشکیل می‌دهد که، در مقایسه با اعداد حقیقی، به‌طور جبری بسته‌است.

میدان مختلط

اعداد مختلط را می‌توان به صورت زوج‌های مرتب (a, b) از اعداد حقیقی نیز تعریف کرد. با اعمال:

$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,$$

$$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad).\,$$

بنابراین اعداد مختلط تشکیل یک میدان می‌دهند، میدان مختلط، که با C نشان داده می‌شود. از آنجایی که عدد مختلط a + bi به‌طور منحصربه‌فرد با یک زوج مرتب (a, b) نمایش داده می‌شود، پس اعداد مختلط یک تناظر یک به یک با نقاط در صفحه دارند. به آن صفحه مختلط گفته می‌شود. عدد حقیقی a را با عدد مختلط (a, 0) نشان می‌دهیم و در این حالت میدان اعداد حقیقی R یک زیر میدان از C می‌شود. واحد موهومی i عدد مختلط (0, 1) است.

منظور از تقسیم دو عدد مختلط یعنی ${\frac {a+ib}{c+id}}$ یافتن عددی است مثل ${\textstyle x+iy}$ که در تساوی ${\textstyle a+ib=(c+id).(x+iy)}$ صدق‌نماید، پس از محاسبه رابطه بالا داریم:

$$a+ib=(cx-dy)+i(dx+cy)$$

پس کافی است اعداد x و y را چنان پیدا کنیم که در روابط $dx+cy=b,cx-dy=a$ صدق کنند.

این دستگاه معادلات یک جواب یکتای زیر را دارد:

$$x={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}$$

$$y={\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}$$

مگر آنکه

$c=d=0$

بنابراین

$${\frac {a+ib}{c+id}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+i{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}$$

البته همین نتیجه را می‌توانستیم از ضرب صورت و مخرج کسر ${\frac {a+ib}{c+id}}$ در $c-id$ نیز بدست آوریم.

نمایش قطبی

مقدار φ و قدر مطلق r نقطه‌ای را در نمودار ارگان نشان می‌دهند؛ $r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ یا $re^{i\varphi }$ که نمایش قطبی همان نقطه است .

روش دیگر برای نمایش عدد مختلط استفاده از دستگاه مختصات قطبی است؛ در این روش به جای استفاده از x و y از فاصله نقطه P تا مبدأ و زاویه بردار OP با جهت مثبت محور حقیقی بهره می‌بریم. به این ترتیب قدر مطلق (یا اندازه عدد مختلط z = x + yi) مساوی‌ست با:

$$\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$$

اگر z عدد حقیقی باشد (یعنی اگر y = ۰) آنگاه r = | x | و در این صورت عدد مختلط برابر شکل حقیقی خود می‌شود.

آرگومان z (که با «فاز» هم شناخته می‌شود) زاویهٔ شعاع OP با جهت مثبت محور حقیقی است و به صورت $\arg(z)$نوشته می‌شود:

$$\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}$$

ضرب و تقسیم در شکل قطبی

ضرب 2 + i(مثلث آبی) در 3 + i (مثلث قرمز). مثلث قرمز دوران می‌یابد تا در محل راس مثلث آبی قرار گیرد سپس به اندازه √5 یعنی طول وتر مثلث آبی کشیده می‌شود

به‌طور معمول روابط ضرب، تقسیم و توان رسانی به شکل قطبی ساده‌تر از نمایش دکارتی آن است. دو عدد مختلط z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) و z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂) را در نظر بگیرید؛ با توجه به روابط مثلثاتی زیر:

$$\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)$$

$$\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)$$

می‌توان نوشت:

$$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,$$

به بیان دیگر قدر مطلق‌ها در هم ضرب و آرگومان‌ها با هم جمع می‌شوند.

$$(2+i)(3+i)=5+5i.\,$$

از آنجا که دو بخش حقیقی و موهومی 5 + 5i با هم برابرند آرگومان برابر ۴۵ درجه یا π/۴ رادیان است. از سوی دیگر مجموع زوایای رئوس منطبق بر مبدأ مثلث‌های قرمز و آبی به ترتیب برابر تانژانت معکوس ${\textstyle \arctan(1/3)}$ و $\arctan(1/2)$ است؛ بنابراین خواهیم داشت:

$${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$$

به همین ترتیب می‌توان تقسیم را هم به صورت زیر نوشت:

$${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).$$

ریشه nام اعداد مختلط

فرض کنید n یک عدد طبیعی باشد، عدد مختلط Z را ریشهٔ n ام عدد مختلط داده شدهٔ Z₀ می‌خوانند، هرگاه

$z=z_{0}^{1/n}$

کاربرد

یکی از مهم‌ترین کاربردهای این اعداد در حل معادلات درجه دوم و سوم است. به عنوان مثال در زمانی که معادله مشخصهٔ یک معادله درجه دوم منفی می‌شود:

$\delta =(-x)^{1/2}=(i^{2}x)^{1/2}$

در مهندسی برق، تبدیل انتگرال فوریه برای تجزیه و تحلیل سیگنال‌ها به‌کار می‌رود. رفتار مقاومتها، خازنها، و القاگرها می‌تواند با استفاده از این راه و با تصور مقاومت‌هایی که مقدارشان به بسامد وابسته باشد (که امپدانس خوانده می‌شوند) یک‌پارچه منظور شود.

صفحه مختلط

مقالهٔ اصلی: صفحه مختلط

جستارهای وابسته

• مزدوج مختلط
• کره ریمان

منابع

• لیانگ، شین هان، اعداد مختلط و هندسه، ترجمه محمد بهفروزی، چاپ اول ۱۳۷۶، تهران :مرکز نشر دانشگاهی، شابک :۳-۰۸۷۲-۰۱-۹۶۴
• لدرمان، والتر، اعداد مختلط، ترجمه علی اکبر مهرورز، چاپ اول ۱۳۶۴، تهران :مرکز نشر دانشگاهی، شابک :ندارد
• جرج توماس، راس فینی، حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسهٔ تحلیلی، ترجمه مهدی بهزاد، سیامک کاظمی، علی کافی، چاپ اول ۱۳۷۰، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، شابک: ۷-۰۵۹۱-۰۱-۹۶۴-۹۷۸