تابع هارمونیک

تابع هارمونیک در ریاضی، فیزیک ریاضی و نظریهٔ فرایندهای تصادفی به توابع حقیقی گفته می‌شود که دارای مشتقات جزئی مرتبه دوم پیوسته بوده و در معادلهٔ لاپلاس صدق کنند. به عبارت دیگر:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0$

که می‌توان آن را به‌صورت

$\nabla ^{2}f=0$

یا

$\textstyle \Delta f=0$

نشان داد.

همساز-بودگی ضعیف

قصد داریم مفهوم همسازی تابع را به رده‌ای موسّع‌تر از توابع دو مرتبه مشتق-پذیر گسترش دهیم. از $\nabla ^{2}f=0$ نتیجه می‌گیریم که به ازای هر تابع هموار فشرده-محمل، برای مثال $g$، داریم $g\nabla ^{2}f=0$. در نتیجه، با انتگرال‌گیری جزء به جزء، در این حالت قضیّه گاوس-گرین-استروگرودسکیی، و از آن‌جا که جملات ِ مرزی به سبب ِ فشرده-محمل بودن ِ $g$ صفر خواهند بود، خواهیم داشت:

$\int g\nabla ^{2}f=-\int \nabla g\nabla f=0$

در این تعریف کفایت می‌کند که تابع $g$ یک مرتبه مشتق‌پذیر ضعیف با مشتق در فضای $L^{2}$ باشد، به بیان فنّی‌تر، در فضای سُبُلف $H^{1}$. هر تابع با چنین شرایطی ضعیفاً همساز نامیده می‌شود.

منابع

• K.A. Stroud, Dexter J. Booth, Advanced Engineering Mathematics, 4th ed. Plagrave Macmillan, New York, 2003. ISBN 1-4039-0312-3
• Landis, Second Order Equations of Elliptic and Parabolic Type.