اثر (ماتریس)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در جبر خطی اثر یک ماتریس مربعی nدرn برابر است با حاصلجمع درایه‌های قطر اصلی آن یا به عبارت دیگر:

\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} \,

که aii درایه واقع بر سطر iم و ستون iم ماتریس A است. به بیان دیگر اثر یک ماتریس برابر مجموع ویژه‌مقادیر آن است. قابل ذکر است که اثر فقط برای ماتریس مربعی تعریف می‌شود.

قضیه کیلی-همیلتون نیز بیان می‌دارد که هر ماتریس در معادله سرشتنمایی خود صدق می‌کند.

مثال[ویرایش]

اگر ماتریس T یک ماتریس مربعی باشد

\begin{bmatrix}-2&2&-3\\
-1& 1& 3\\
2 &0 &-1\end{bmatrix}.

آنگاه tr(T) = −2 + 1 − 1 = −2.

ویژگی‌ها[ویرایش]

ویژگی‌های بنیادی[ویرایش]

اثر یک عملگر خطی است:

\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B),
\mathrm{tr}(cA) = c\cdot \mathrm{tr}(A).

برای هر ماتریس مربعی A و B و هر کمیت نرده‌ای c.

یک ماتریس و ترانهاده آن یک اثر دارند:

 \mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(A^T).

اثر حاصلضرب[ویرایش]

اگر A یک ماتریس m×n و B یک ماتریس n×mباشد آنگاه:

\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA).[۱]

ویژگی‌های دیگر[ویرایش]

اگر A یک ماتریس متقارن و B یک ماتریس پادمتقارن باشد

\mathrm{tr}(AB) = 0.

منابع[ویرایش]

  1. This is immediate from the definition of matrix multiplication.
    \mathrm{tr}(AB) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} = \mathrm{tr}(BA).