ماتریس جایگشت

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
جدول چند مهره در جایگشت بر اساس مختصات طی شده

در ریاضیات، بخصوص در نظریه ماتریس‌ها، یک ماتریس جایگشت (به انگلیسی: Permutation Matrix)، ماتریسی مربعی مبنای دویی است که در هر سطر و ستون آن دقیقاً یک درایه 1 داشته و بقیه درایه ها 0 باشند. هر ماتریس با این خصوصیت چون ، نماینده جایگشت عنصر است و زمانی که در ماتریسی چون ضرب شد، باعث جایگشت سطور (اگر ضرب به صورت باشد) یا ستون ها (اگر ضرب به صورت باشد) ی ماتریس می شود.

تعریف[ویرایش]

فرض کنید جایگشت دلخواه از عنصر داده شده باشد:

که می توان آن را به صورت زیر نمایش داد:

دو راه برای نظیر کردن یک ماتریس به چنین جایگشتی وجود دارد؛ از یک ماتریس همانی شروع کرده و بر اساس سطر ها یا ستون های آن را جایگشت دهیم. هردو روش به عنوان تعریف ماتریس جایگشت در متون ظاهر شده اند و خواص بیان شده در یک نمایش را می توان به راحتی تبدیل به نمایش های دیگر کرد. در این مقاله تنها با یکی از این نمایش ها سروکار خواهیم داشت و تنها زمانی که نیاز باشد به تفاوت دو نمایش اشاره می شود.

ماتریس جایگشت با جایگشت ستون های ماتریس همانی بدست می آید، یعنی برای هر اگر آنگاه در غیر این صورت . در این مقاله از چنین جایگشتی به نمایش ستونی یاد می شود.[۱] از آنجایی که درایه های سطر ام همگی 0 هستند به جز یک درایه 1 در ستون ، می توان نوشت:

که در آن ، بردار پایه استاندارد است که نشانگر بردار سطری به طول با موقعت ام 1 است که درایه های دیگر آن 0 اند.[۲]

به عنوان مثال، ماتریس جایگشت متناظر با جایگشت به این صورت است:

همانگونه که مشاهده می کنید، ستون ام ماتریس همانی ، اکنون به صورت ستون ام ظاهر شده است.

نمایش های دیگر از جایگشت سطر های ماتریس بدست می آیند، یعنی برای هر ، اگر آنگاه و در غیر این صورت . به نمایش اخیر نمایش سطری می گویند.

پانویس[ویرایش]

  1. این عبارت استاندارد نیست. بسیاری از مؤلفان یک نمایش را جوری انتخاب می کنند که با بقیه نمادگذاری های معرفی شده از سوی آن ها سازگاری داشته باشد، بنابر این در حالت کلی نیازی به ارائه اسم برای چنین نمایشی وجود ندارد.
  2. Brualdi (2006) p.2

منابع[ویرایش]

  • Brualdi, Richard A. (2006). Combinatorial matrix classes. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 108. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86565-4. Zbl 1106.05001.
  • Joseph, Najnudel; Ashkan, Nikeghbali (2010), The Distribution of Eigenvalues of Randomized Permutation Matrices, arXiv:1005.0402, Bibcode:2010arXiv1005.0402N