ماتریس مثبت معین

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

در بحث تعیین علامت عبارت‌های ریاضی، برخی توابع به ازای تمام مقادیر متغیرهایشان، مثبت و برخی توابع، به ازای تمام مقادیر متغیرهایشان منفی هستند که به ترتیب، توابع با علامت معین (یا به اختصار معین) نامیده می شوند و به توابعی که گاهی مثبت و گاهی منفی هستند توابع نامعین می گویند. بحث تعیین علامت در کتاب‌های ریاضی دبیرستان در سطحی مقدماتی ارائه می شود. برای تعیین علامت عبارت‌های درجه ۲ همگن شامل متغیر به طور کلی به صورت

که در آن ضرایب ثابت را در یک ماتریس مانند می‌نویسیم و مجهولات را در قالب بردار مجهولات نشان می‌دهیم. حال اگر برای همه مقادیر مختلف بردار

گوییم عبارت داده شده (و همچنین ماتریس نمایش ) معین مثبت است.[۱]

ثابت می‌شود در ماتریس‌های هرمیتی:

اگر همه مقادیر ویژه ماتریس مثبت باشند، معین مثبت است.[۲]

اگر همه مینورهای ماتریس (دترمینان ماتریس‌های پیشرو)، مثبت باشند ماتریس معین مثبت است.

منابع[ویرایش]

  1. Numerical mathematics, A. Quarteroni, R. Saleri, Springer, 2000
  2. جبر خطی عددی، بیسوا داتا، ترجمه فائزه توتونیان، دانشگاه فردوسی مشهد