فضای متری

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

فضای متری یا فضای متریک یکی از مفاهیم مهم توپولوژی و آنالیز ریاضی است.

زوج مرتب $(X,d) \,$ را که در آن X مجموعه ای از نقاط و d یک تابع حقیقی $d\colon \mathbb{X} \times \mathbb{X} \to \mathbb{R}$ می باشد یک فضای متریک گویند هرگاه :

۱. $d(p,q) \geq 0$ ( فاصله هیچ گاه منفی نمی تواند باشد )

۲. $d(p,q) = 0 \iff p=q$ ( فاصله صفر است اگر و تنها اگر هر دو شیء یکی باشند )

۳. $d(q,p) = d(p,q) \,$ ( بدون بستگی داشتن به مقادیر p,q همواره دارای خاصیت تقارنی است )

۴. $d(p,q) + d(q,r) \geq d(p,r)$ (نامساوی مثلث یا قضیه ی حمار)

این خاصیت‌ها به طور شهودی مفهوم فاصله را بیان می‌کند. مثلاً فاصله بین دو نقطه همیشه مقداری مثبت است و یا فاصله بین دو نقطه p و q برابر با فاصله q تا p است. همچنین بر اساس نامساوی مثلث، مسیر مستقیم p تا q کوتاهتر از مسیری است که از p به r و سپس از r به q طی می‌کنیم.

توجه کنید که هر فضای متری یک فضای توپولوژیک نیز هست.

[ویرایش] توپولوژی یک فضای متری

فرض کنیم $(X,d) \,$ یک فضای متری باشد. یک زیر مجموعه ی $V \subset X$ را باز گوییم هرگاه به ازای هر نقطه $x \in X$ عددی مانند $\varepsilon > 0$ وجود داشته باشد به گونه ای که گوی به مرکز x و شعاع $\varepsilon$ ، یعنی : $K_{\varepsilon}(X) := \{y \in X\; | \; d(x,y) < \varepsilon \}$ نیز مشمول V باشد. مجموعه ی توپولوژیک d متشکل از همه ی مجموعه های باز X را توپولوژی فضای متری $(X,d) \,$ می نامند.

[ویرایش] مثال

روی یک فضا مترهای مختلفی می‌توان تعریف کرد مثلاً $\mathbb{R}$ (مجموعه اعداد حقیقی) با تابع فاصله $d(x,y)=|x-y| \,$ (به طوریکه $x$ و $y$ عضو $X$ ) یک فضای متری ست. به طور کلی فضای اقلیدسی $\mathbb{R}^n$ با متر $d(x,y)=\Vert x-y \Vert$ فضای متری ست. این متر را متر معمولی روی $\mathbb{R}^n$ می‌‌نامیم.