... + ۴ + ۳ + ۲ + ۱

در ریاضیات، ۱ + ۲ + ۳ + ۴ + … یک سری نامتناهی واگرا از اعداد طبیعی متوالی است . مجموع عبارت‌های این سری تا عبارت nام (جمع ناقص) عدد مثلثی نام دارد و با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$\Sigma _{k=1}^{n}k={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$

که با میل کردن n به بی‌نهایت، بدون حد بزرگ می‌شود. از آنجا که که دنباله بی‌حد است، این سری حاصل‌جمعی ندارد.

فرمول جمع ناقص

فرمول ساده و کاربردی‌ای که برای محاسبهٔ n عدد اول وجود دارد را می‌توان با استقرای ریاضی ثابت کرد. بنابر این فرمول: $1+2+3+...+n={\frac {n(n+1)}{2}}$ . برای اثبات این فرمول، نخست باید توجه کرد که فرمول برای ۱ صادق است ( ${\frac {1(1+1)}{2}}=1$ ). سپس فرض می‌شود که فرمول برای k عدد طبیعی اول صادق باشد:^[۱] $1+2+3+...+k={\frac {k(k+1)}{2}}.$
آن‌گاه:
$1+2+3+...+k+(k+1)={\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1),$
$={\frac {k(k+1)+2(k+1)}{2}},$
$={\frac {k^{2}+3k+2}{2}},$
$={\frac {(k+1)(k+2)}{2}},$ (تجزیهٔ دوجمله‌ای صورت)
بنابراین فرمول برای $k+1$ صدق می‌کند. بنابر استقرای ریاضی این امر نشان‌دهندهٔ این است که فرمول فوق برای هر کدام از اعداد طبیعی صادق است.^[۲]