تابع بیضوی

تابع بیضوی

در آنالیز ترکیبی، تابع بیضوی، یک تابع مرومورفیک است که در دو مسیر تناوبی است. در یک تابع متناوب، تابع فقط در یک تناوب تعریف می‌شود (این تناوب پیوسته تکرار می‌شود)، اما تابع بیضوی در یک متوازی‌الأضلاع پایه تعریف می‌شود، که این متوازی‌الأضلاع به صورت شبکه‌ای تکرار می‌شود. چون یک تابع متناوب دوقلو نمی‌تواند هام دیس (دارای دو انتهای متقارن) باشد، بر اساس قضیهٔ لیویل باید ثابت باشد. یک تابع بیضوی باید حداقل دو قطب در متوازی‌الأضلاع پایه داشته باشد.

تاریخچه

تابع بیضوی اولین بار توسط نیلس هنریک آبل به عنوان معکوس انتگرال بیضوی مطرح شد و توسط ژاکوبی گسترش یافت. از این تابع در مطالعات مربوط به محاسبهٔ طول قوس بیضی استفاده شده و به همین اساس نامگذاری شده است. توابع بیضوی ژاکوبی کاربردهای فراوانی در فیزیک یافت و خودش هم در اثبات بعضی مسائل در نظریه اعداد مقدماتی از آن استفاده کرد. کارل وایرشتراس مطالعات کامل تری راجع به این تابع انجام داد و تابع بیضوی ساده‌ای پیدا کرد که دیگر توابع را پوشش می‌داد.

تعریف

یک تابع بیضوی تابعی $f$ است که روی $\mathbb {C}$ تابع مرومورفیک است و برای آن دو عدد مختلط غیر صفر $\omega _{1}$ و $\omega _{2}$ که ${\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}\notin \mathbb {R}$ (به عبارت دیگر، این دو عدد غیر موازی اند) است وجود دارد، به طوری که $f(z)=f(z+\omega _{1})$ و $f(z)=f(z+\omega _{2})$ برای هر $z\in \mathbb {C}$.

«شبکهٔ تناوب ها» با $\Lambda =\left\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}$ نمایش داده می‌شود، در نتیجه $f(z)=f(z+\omega )$ برای هر $\omega \in \Lambda$. دو دسته تابع بیضوی کانونی داریم:ژاکوبی و وایرشتراس. گرچه تابع بیضوی ژاکوبی قدیمی تر و مستقیماً مرتبط با کاربردهاست ولی نویسندگان جدید نظریهٔ مقدماتی را با تابع وایرشتراس دنبال می‌کنند چون ساده‌تر است. اگر یک سلول را متوازی‌الأضلاع پایه‌ای که در آن تابع چند مقداری (چندگانه) نباشد، تعریف کنیم، خواص زیر را خواهیم داشت: ̈# تعداد قطب‌ها در هر سلول محدود است.

1. تعداد ریشه‌ها در ر سلول محدود است.
2. مجموع باقیمانده‌ها در هر سلول صفر است.
3. قضیه لیویل برای تابع بیضوی: تابع بیضوی که در یک سلول قطب نداشته باشد، ثابت است.
4. تعداد صفرهای $f(z)-c$ (درجه) برابر تعداد قطب‌های $f(z)$ است.
5. ساده‌ترین تابع بیضوی درجه ۲ است. چون یک تابع درجه اول که قطب تحویل ناپذیر و باقیمانده غیر صفر داشته باشد، غیرممکن است.
6. تابع بیضوی که یک قطب درجه دو با باقیمانده صفر دارد را تابع بیضوی وایرشتراس گویند.

تابع بیضوی با دوقطب ساده با باقیمانده و را تابع بیضوی ژاکوبی گویند.

1. مجموع ریشه‌ها با مجموع قطب‌ها برابر است.
2. بین هر دو تابع بیضوی با دوره تناوب یکسان یک رابطه جبری برقرار است.تابع بیضوی

تابع بیضوی وایرشتراس

تابع بیضوی وایرشتراس $\wp \left(z\right)$ به راحتی با انتخاب $\Lambda$ بر اساس تعریف قابل ساختن است:

$\wp \left(z\right)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\omega \in \Lambda \smallsetminus \left\{0\right\}}\left({\frac {1}{\left(z-\omega \right)^{2}}}-{\frac {1}{\omega ^{2}}}\right)$

این تابع با تبدیل $z\mapsto z+\omega$ و برای هر $\omega \in \Lambda$ ثابت است و فقط دو قطب در $z=0$ و $z=\omega$ دارد.