اگر V یک فضای برداری روی میدان k باشد، مجموعه همه تابعیهای خطی از V به k خودش یک فضای برداری با صورت جمع و ضرب نردهای نقطهبهنقطه تعریف شده، روی k است. این فضا را فضای دوگانV مینامند، همچنین موقعی که فضای دوگان توپولوژیکی هم در نظر گرفته شود، آن را فضای دوگان جبری مینامند. این فضا را معمولاً توسط Hom(V, k) نمایش میدهند،[۲] یا وقتیکه میدان k را میشناسیم، به صورت نشان داده میشود؛[۳] نمادگذاریهای دیگری هم استفاده میشود مثل ,[۴][۵] یا یا .[۲] وقتیکه بردارها توسط بردارهای ستونی نمایش یابند (که این موضوع موقعی که پایه ثابت است رواج دارد)، آنوقت تابعیهای خطی به صورت بردارهای سطری نمایش مییابند، و مقادیر آنها در بردارهای خاص توسط ضرب ماتریسی (با بردار سطری در سمت چپ) به دست میآید.
«تابع صفر ثابت» که هر بردار را به صفر نگاشت میدهد، به صورت بدیهی یک تابعی خطی است. هر تابعی خطی دیگر (مثل موارد ذکر شده در زیر) پوشا است (یعنی، برد آن همه k است).
اثر از یک ماتریس مربعی برابر مجموع همه عناصر در قطر اصلی آن است. ماتریسها را میتوان در نردهایها ضرب کرد همچنین دو ماتریس که ابعاد مشابهی دارند را میتوان با هم جمع نمود؛ این عملیات یک فضای برداری از مجموعه همه ماتریسهای میسازد. اثر یک تابعی خطی در این فضا است زیرا و برای همه نردهایهای و همه ماتریسهای برقرار است.
فرض کنید که به فضای برداری توابع چندجملهای مقدار-حقیقی از درجه اشاره کند، که روی یک بازه تعریف شدهاست. اگر باشد آنوقت فرض کیند یک تابعی ارزیابی باشد.
نگاشت به این دلیل خطی است که
اگر برابر تا نقطه متمایز در باشد، آنوقت تابعی ارزیابی یک پایه برای فضای دوگان تشکیل میدهد ((Lax 1996) این واقعیت آخری را به کمک درونیابی لاگرانژ اثبات کردهاست).
در ابعاد متناهی، یک تابعی خطی توسط مجموعههای هممرحله تجسم پیدا میکند، یعنی مجموعه بردارهایی که به یک مقدار معین نگاشت دارند. در سه بعد، مجموعههای هممرحله از یک تابعی خطی یک خانواده از صفحههای دوبهدو موازی اند؛ در ابعاد بالاتر، آنها ابرصفحههای موازی اند. این روش تجسم تابعیهای خطی گاهی در متون نسبیت عام، مثل کتاب گرانش از (Misner، Thorne و Wheeler 1973) معرفی شدهاست.
اگر برابر تا نقطه متمایز در [a, b] باشد، آنوقت تابعی خطی که در بالا تعریف شدهاست، یک پایه از فضای دوگان Pn میسازد، که فضای چندجملهایهای درجه است. تابعی انتگرال I هم یک تابعی خطی روی Pn است، و بنابراین میتواند به صورت یک ترکیب خطی از این عناصر پایه بیان شود. در نمادها، ضرایب موجود است که برای آن
تابعیهای خطی مخصوصاً در مکانیک کوانتمی مهم هستند. سامانههای مکانیکی کوانتمی توسط فضاهای هیلبرت نمایش مییابد، که برای فضاهای دوگان خودشان پادیکریخت اند. یک تعریف از سامانه مکانیکی کوانتمی را میتوان توسط یک تابعی خطی شناسایی نمود. برای اطلاعات بیشار نشانگذاری برا-کت را ببنید.
فرض کنید که فضای برداری V یک پایه داشته باشد که الزاماً متعامد نباشد. آنوقت فضای دوگان یک پایه به صورت دارد که به آن پایه دوگان گفته میشود، که توسط این ویژگی خاص تعریف میشود که
یا به صورت کوتاهتر
که در آن δ همان دلتای کرونکر است. در اینجا بالانویس تابعیهای پایه معنی «نما» نمیدهد، بلکه برابر اندیسهای کوتراواریانس است.
یک تابعی خطی که به یک فضای دوگان تعلق دارد را میتوان به صورت یک ترکیب خطی از تابعیهای پایه بیان کرد، که در آن ضرایب («مولفهها») ui به اینصورت هستند
آنوقت، با اعمال تابعی به یک بردار پایه به این نتیجه میرسیم
این موضوع به دلیل خطیبودن مضربهای نردهای تابعیها و خطیبودن نقطهبهنقطه مجموع تابعیها رخ میدهد. آنوقت
بنابراین هر مولفه یک تابعی خطی را میتوان توسط اعمال تابعی به بردار پایه متناظر استخراج نمود.
وقتیکه فضای V یک ضرب داخلی را حمل میکند، آنوقت نوشتن صریح یم فرمول برای پایه دوگان یک پایه معین امکانپذیر میشود. فرض کنید V یک پایه داشته باشد (که الزاماً متعامد نباشد). در سه بعد (n = ۳)، پایه دوگان را میتوان به صورت صریح به این شیوه نوشت