میدان (ریاضیات)

در ریاضیات و جبر مجرد، میدان به معنای ساختاری جبری است که در آن چهار عمل جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم (بجز تقسیم بر صفر) تعریف شده باشد و رفتار-عملکرد آنها مانند عملکرد آنها بر روی اعداد حقیقی هستند. این مفهوم در جبر و نظریه اعداد بسیار پرکاربرد است.

اعداد حقیقی و اعداد گویا از معروفترین میدان‌ها هستند. اعداد مختلط هم جزو میدان‌هایی است که نه تنها در ریاضیات بلکه در علم و مهندسی هم کاربرد بسیاری دارد.

در دنیای ریاضی میدان‌ها نقش بسیار پایه‌ای ایفا می‌کنند. مهمترین کاربرد آنها در جبر است که در آن هر میدان می‌تواند کمیت نرده‌ای یا فضای برداری باشد. (موضوع مورد مطالعه ‌جبر خطی است.))

تعریف

به صورت کلی، میدان مجموعه‌ ای است همراه با دو تابع تعریف شده بر روی آن مجموعه: تابع جمع که بدین گونه نشان داده می‌شود a + b و تابع ضرب که اینگونه نمایش داده می شود a ⋅ b و هر دوی آنها مشابه آنگونه که در اعداد اعداد گویا و اعداد حقیقی رفتار می‌کنند. همچنین وجود وارون جمعی −a برای هر a و وارون ضربی b^-1 برای هر b غیر صفر ما را قادر می‌سازد تا مفاهیمی چون تفریق a − b و تقسیم a / b را تعریف کنیم:

a − b = a + (−b),

a / b = a · b⁻¹.

تعریف کلاسیک

بر اساس تعریف کلاسیک میدان مجموعه‌ است همراه با دو عملگر. عمل دوتایی یک پوشش است که هر دو عضو مجموعه را با یک عضو مجموعه مرتبط میسازد. خروجی جمع دو عضو a و b را به صورت a + b نشان می‌دهند و مجموع می‌نامند و نتیجه‌ی ضرب را به صورت ab یا a⋅b نشان می‌دهند. با توجه به تعریفات مطرح شده می‌توان شروط میدان‌ها را ذکر کرد. در شروط زیر a و b و c همگی اعضای مجموعه هستند:

• شرکت پذیری در جمع و ضرب a + (b + c) = (a + b) + c و a · (b · c) = (a · b) · c.
• خاصیت جابه‌جایی در جمع و ضرب: a + b = b + a and a · b = b · a.
• ۰ و ۱: دو عضو از مجموعه وجود داشته باشند بطوریکه به ازای هر a در عضو مجموعه داشته باشیم a + 0 = a and a · 1 = a.
• وارون جمعی: به ازای هر عضو a وجود دارد −a در مجموعه به طوریکه a + (−a) = 0 و به آن وارون جمعی گفته می‌شود.
• وارون ضربی: به ازای هر a ≠ 0 در مجموعه وجود داشته باشد a⁻¹, 1/a, یا 1/a بطوریکه که a · a⁻¹ = 1 و به آن وارون ضربی گفته می‌شود.
• توزیع‌پذیری ضرب بر روی جمع: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

منابع

• Adamson, I. T. (2007), Introduction to Field Theory, Dover Publications, ISBN 978-0-486-46266-0
• Allenby, R. B. J. T. (1991), Rings, Fields and Groups, Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2
• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2, especially Chapter 13
• Artin, Emil; Schreier, Otto (1927), "Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (به آلمانی), 5: 225–231, doi:10.1007/BF02952522, ISSN 0025-5858, JFM 53.0144.01
• Ax, James (1968), "The elementary theory of finite fields", Ann. of Math., 2, 88: 239–271, doi:10.2307/1970573
• Baez, John C. (2002), "The octonions", Bulletin of the American Mathematical Society, 39: 145–205, arXiv:math/0105155, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X
• Banaschewski, Bernhard (1992), "Algebraic closure without choice.", Z. Math. Logik Grundlagen Math., 38 (4): 383–385, Zbl 0739.03027
• Beachy, John. A; Blair, William D. (2006), Abstract Algebra (3 ed.), Waveland Press, ISBN 1-57766-443-4
• Blyth, T. S.; Robertson, E. F. (1985), Groups, rings and fields: Algebra through practice, Cambridge University Press. See especially Book 3 (شابک ‎۰−۵۲۱−۲۷۲۸۸−۲) and Book 6 (شابک ‎۰−۵۲۱−۲۷۲۹۱−۲).
• Borceux, Francis; Janelidze, George (2001), Galois theories, Cambridge University Press, ISBN 0-521-80309-8, Zbl 0978.12004
• Bourbaki, Nicolas (1994), Elements of the history of mathematics, Springer, doi:10.1007/978-3-642-61693-8, ISBN 3-540-19376-6, MR 1290116
• Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra II. Chapters 4–7, Springer, ISBN 0-387-19375-8
• Cassels, J. W. S. (1986), Local fields, London Mathematical Society Student Texts, vol. 3, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139171885, ISBN 0-521-30484-9, MR 0861410
• Clark, A. (1984), Elements of Abstract Algebra, Dover Books on Mathematics Series, Dover, ISBN 978-0-486-64725-8
• Conway, John Horton (1976), On Numbers and Games, Academic Press
• Corry, Leo (2004), Modern algebra and the rise of mathematical structures (2nd ed.), Birkhäuser, ISBN 3-7643-7002-5, Zbl 1044.01008
• Dirichlet, Peter Gustav Lejeune (1871), Dedekind, Richard (ed.), Vorlesungen über Zahlentheorie (Lectures on Number Theory) (به آلمانی), vol. 1 (2nd ed.), Braunschweig, Germany: Friedrich Vieweg und Sohn
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 0-387-94268-8, MR 1322960
• Escofier, J. P. (2012), Galois Theory, Springer, ISBN 978-1-4613-0191-2
• Fricke, Robert; Weber, Heinrich Martin (1924), Lehrbuch der Algebra (به آلمانی), Vieweg, JFM 50.0042.03
• Gouvêa, Fernando Q. (1997), p-adic numbers, Universitext (2nd ed.), Springer
• Gouvêa, Fernando Q. (2012), A Guide to Groups, Rings, and Fields, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-355-9
• "Field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Hensel, Kurt (1904), "Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (به آلمانی), 128: 1–32, ISSN 0075-4102, JFM 35.0227.01
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, vol. 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
• Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), "Die Struktur der absoluten Galoisgruppe 𝔭-adischer Zahlkörper. [The structure of the absolute Galois group of 𝔭-adic number fields]", Invent. Math., 70 (1): 71–98, Bibcode:1982InMat..70...71J, doi:10.1007/bf01393199, MR 0679774
• Kleiner, Israel (2007), A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309
• Kiernan, B. Melvin (1971), "The development of Galois theory from Lagrange to Artin", Archive for History of Exact Sciences, 8 (1–2): 40–154, doi:10.1007/BF00327219, MR 1554154
• Kuhlmann, Salma (2000), Ordered exponential fields, Fields Institute Monographs, vol. 12, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0943-1, MR 1760173
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (3rd ed.), Springer, doi:10.1007/978-1-4613-0041-0, ISBN 0-387-95385-X
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (2008), Finite fields (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06567-2, Zbl 1139.11053
• Lorenz, Falko (2008), Algebra, Volume II: Fields with Structures, Algebras and Advanced Topics, Springer, ISBN 978-0-387-72487-4
• Marker, David; Messmer, Margit; Pillay, Anand (2006), Model theory of fields, Lecture Notes in Logic, vol. 5 (2nd ed.), Association for Symbolic Logic, CiteSeerX 10.1.1.36.8448, ISBN 978-1-56881-282-3, MR 2215060
• Mines, Ray; Richman, Fred; Ruitenburg, Wim (1988), A course in constructive algebra, Universitext, Springer, doi:10.1007/978-1-4419-8640-5, ISBN 0-387-96640-4, MR 0919949
• Moore, E. Hastings (1893), "A doubly-infinite system of simple groups", Bulletin of the American Mathematical Society, 3 (3): 73–78, doi:10.1090/S0002-9904-1893-00178-X, MR 1557275
• Prestel, Alexander (1984), Lectures on formally real fields, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1093, Springer, doi:10.1007/BFb0101548, ISBN 3-540-13885-4, MR 0769847{{citation}}: نگهداری CS1: نقطه‌گذاری اضافه (link)
• Ribenboim, Paulo (1999), The theory of classical valuations, Springer Monographs in Mathematics, Springer, doi:10.1007/978-1-4612-0551-7, ISBN 0-387-98525-5, MR 1677964
• Scholze, Peter (2014), "Perfectoid spaces and their Applications" (PDF), Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2014, ISBN 978-89-6105-804-9
• Schoutens, Hans (2002), The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1999, Springer, ISBN 978-3-642-13367-1
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1978], A course in arithmetic. Translation of Cours d'arithmetique, Graduate Text in Mathematics, vol. 7 (2nd ed.), Springer, ISBN 9780387900407, Zbl 0432.10001
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, Springer, ISBN 0-387-90424-7, MR 0554237
• Serre, Jean-Pierre (1992), Topics in Galois theory, Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-86720-210-6, Zbl 0746.12001
• Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Translated from the French by Patrick Ion, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42192-4, MR 1867431, Zbl 1004.12003
• Sharpe, David (1987), Rings and factorization, Cambridge University Press, ISBN 0-521-33718-6, Zbl 0674.13008
• Steinitz, Ernst (1910), "Algebraische Theorie der Körper" [Algebraic Theory of Fields], Journal für die reine und angewandte Mathematik, 137: 167–309, doi:10.1515/crll.1910.137.167, ISSN 0075-4102, JFM 41.0445.03
• Tits, Jacques (1957), "Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes", Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain, Paris: Librairie Gauthier-Villars, pp. 261–289
• van der Put, M.; Singer, M. F. (2003), Galois Theory of Linear Differential Equations, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 328, Springer
• von Staudt, Karl Georg Christian (1857), Beiträge zur Geometrie der Lage (Contributions to the Geometry of Position), vol. 2, Nürnberg (Germany): Bauer and Raspe
• Wallace, D. A. R. (1998), Groups, Rings, and Fields, SUMS, vol. 151, Springer
• Warner, Seth (1989), Topological fields, North-Holland, ISBN 0-444-87429-1, Zbl 0683.12014
• Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 83 (2nd ed.), Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0, MR 1421575
• Weber, Heinrich (1893), "Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie", Mathematische Annalen (به آلمانی), 43: 521–549, doi:10.1007/BF01446451, ISSN 0025-5831, JFM 25.0137.01