قانون سینوس‌ها

در مثلثات، قانون سینوس‌ها معادله‌ای است که میان طول ضلع هر مثلث دلخواه و زاویهٔ مقابل آن ضلع رابطه برقرار می‌کند؛ این قانون عبارت است از:

{\frac {a}{\sin(\alpha )}}={\frac {b}{\sin(\beta )}}={\frac {c}{\sin(\gamma )}}

که a و b و c به ترتیب ضلع‌های مثلث و $\alpha$ و $\beta$ و $\gamma$ به ترتیب زاویه‌های مقابل به هر ضلع‌اند. هنگامی که دو زاویه و یک ضلع مثلث را داشته باشیم از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا طول ضلع‌های دیگر مثلث را بدست آوریم.

پیشینه[ویرایش]

قانون کروی سینوس‌ها در قرن ۱۰ میلادی کشف شد. این قانون را بیشتر به ابومحمود حامدبن خضر خجندی، ابوالوفای بوزجانی، خواجه نصیر طوسی و ابونصر منصور^[۱] نسبت می‌دهند.

الجیانی در قرن ۱۱ میلادی کتابی نوشت با عنوان «کتاب کمان‌های ناشناخته در کره» (به انگلیسی: The book of unknown arcs of a sphere) و در آن به معرفی کلی قانون سینوس‌ها پرداخت.^[۲] پس از او در قرن ۱۳ میلادی خواجه نصیر الدین طوسی به بیان این قانون میان صفحه‌ها پرداخت. او در کتابی با عنوان انگلیسی On the Sector Figure قانون سینوس‌ها را برای صفحه‌ها و مثلث‌های کروی بیان کرد و برای قانونش اثبات‌هایی را ارائه کرد.^[۳]

نمونه[ویرایش]

در ادامه روش استفاده از قانون سینوس‌ها برای حل یک مسئله گفته شده‌است.

نمونه

اگر فرض کنیم: ضلع‌های a = 20 و c = 24 و زاویهٔ C = 40° باشد، با استفاده از قانون سینوس‌ها می‌توان نتیجه گرفت که:

{\frac {\sin A}{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}.

A=\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\cong 32.39^{\circ }.

رابطه با دایرهٔ محیطی مثلث[ویرایش]

اگر داشته باشیم:

\,{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R

،

مقدار تک تک کسرهایی که در قانون سینوس‌ها نوشته می‌شود برابر است با قطر دایرهٔ محیطی مثلث می‌توان نشان داد که این مقدار خود برابر است با:

{\begin{aligned}{\frac {abc}{2S}}&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}\\[6pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}

که در آن S مساحت مثلث است و p برابر با نصف محیط $p={\frac {a+b+c}{2}}$ می‌باشد. همچنین رابطهٔ $S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ فرمول هرون بود که از آن در بالا استفاده شد.

حالت مبهم برای مثلث[ویرایش]

وقتی از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا زاویه‌های یک مثلث را بدست آوریم، حالت‌هایی وجود دارند که ابهام برانگیزند و ما به جای یک جواب به دو جواب (دو مثلث) می‌رسیم.

اگر ABC یک مثلث دلخواه باشد اگر شرایط زیر اتفاق افتد:

اطلاعات ما دربارهٔ مثلث تنها زاویهٔ A و ضلع‌های a و b باشد.
زاویهٔ A یک زاویهٔ تند باشد (کوچکتر از ۹۰ درجه).
ضلع a کوچکتر از ضلع b باشد (a <b).
ضلع a بزرگتر از ارتفاع مثلث راست‌گوشه با زاویهٔ A و وتر b باشد (a> b sin A).

اگر تمام شرط‌های بالا برقرار باشد، بسته به اینکه زاویهٔ B تند است یا باز، یکی از جواب‌های بدست آمده درست خواهد بود.

B=\arcsin {b\sin A \over a}

یا

B=180^{\circ }-\arcsin {b\sin A \over a}

اثبات[ویرایش]

بنابر شکل بالا و با استفاده از قانون مساحت مثلثات، داریم:

حالت کلی در فضای اقلیدوسی[ویرایش]

چهاروجهی A_۱A_۲A_۳A_۴ را در فضای اقلیدوسی در نظر بگیرید. در شکل مقابل اطلاعات مربوط به زاویه‌ها و ضلع مقابل به هر گوشه نشان داده شده‌است:

$\,\mathrm {S} _{k}$ ضلع مقابل به گوشهٔ $\,\mathrm {A} _{k}$ .
$\,\Delta _{k}$ صفحه‌ای که $\,\mathrm {S} _{k}$ بر روی آن قرار دارد.
$\,\theta _{ij}$ زاویهٔ میان دو سطح ${\widehat {(\Delta _{i},\Delta _{j})}}$ .

سینوس زاویهٔ دو سطحی که بوسیلهٔ گوشهٔ A_۱ به وجود آمده به روش زیر بدست می‌آید:

$\sin A_{1}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{23}-\cos ^{2}\theta _{24}-\cos ^{2}\theta _{34}-2\cos \theta _{23}\cos \theta _{24}\cos \theta _{34}}}{\sin \theta _{23}\sin \theta _{24}\sin \theta _{34}}}$ ;