فرمول هرون

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

فرمول هرون (به انگلیسی: Heron's formula) فرمولی است که با استفاده از آن می توان مساحت یک مثلث را بدون داشتن ارتفاع آن به دست آورد. نام آن از نام هرون اسکندرانی گرفته شده است.

این فرمول به صورت زیر بیان شده است:

A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

در اینجا،p برابر نصف محیط مثلث، و a و b و c برابر اضلاع مثلث می باشند.

اثبات[ویرایش]

با استفاده از جبر و قوانین نسیت های مثلثاتی می توان این فرمول را اثبات کرد. این اثبات از اثباتی که هرون در کتابش (متریکا) در سال 60 ق. م. منتشر کرده بود، متفاوت است. مثلثی با اضلاع a و b و c در نظر می گیریم که در آن زاویه مقابل ضلع به ترتیب A و B و C است. طبق قانون کسینوس‌ها از قانونی از کسینوس ها استفاده میکنیم که به اضلاع مثلث مرتبط باشد و متغیر های اضلاع ان مثلث دران حضور داشته باشد زیرا میخواهیم با استدلال استنتاجی از اضلاع مثلث ، مساحت آن را نتیجه بگیریم و کسینوس هر زاویه برابر است با : مجموع مربعات دو ضعلی که زاویه بین ان است منهای مربع ضلع دیگر تقسیم بر ؛ 2 برابر ضرب دو ضلعی که زاویه مورد نظر بین ان دو میباشد و به بیان ریاضی داریم: ضمنا مجموع مربع سینوس یک زاویه با مربع کسینوس همان زاویه برابر است با یک و از طریق همین رابطه سینوس بر حسب مربع کسینوس بدست می آید (رابطه دومی که در زیر ملاحظه میکنید)

\cos \widehat C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
\sin \widehat C = \sqrt{1-\cos^2 \widehat C} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}}{2ab}.
مساحت مثلث را با T نشان می دهیم.این اثبات در ریاضیات دوم دبیرستان انجام شده است یعنی باید از طریق رابطه سینوس و کشیدن یک مثلث با یک ارتفاع و نوشتن رابطه مساحت مثلث یعنی قائده ضربدر ارتفاع تقسیم بر 2 و ادغام این ها باهم رابطه را نتیجه گرفت که همان رابطه زیر است:

\begin{align}
&T = \frac{1}{2} ab\sin \widehat C \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)} \\
& = \sqrt{\frac{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)}{16}} \\
& = \sqrt{\frac{(c -(a -b))}{2}\frac{(c +(a -b))}{2}\frac{((a +b) -c)}{2}\frac{((a +b) +c)}{2}} \\
& = \sqrt{\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}\frac{(a + b + c)}{2}} \\
& = \sqrt{\frac{(a + b + c)}{2}\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}} \\
& = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}.
\end{align}

pیک نماد قرار دادی است که همان نصف محیط مثلث است و قرار داد میشود که نصف محیط مثلث را p بنامیم پس اگر این حرف را عوض کنیم اشکال ندارد فقط باید بدانیم منظور همان نصف محیط مثلث است. ضمنا از روش های مربع کامل سازی و اتحاد مزدوج استفاده شده است . همانطور که گفته شد ما میخواستیم مساحت را با استفاده از اضلاع بدست آوریم (بدون داشتن ارتفاع) پس از قوانینی و روابطی استفاده کردیم که در بر دارنده متغیر های اضلاع باشد یعنی در ان روبط، اضلاع مثلث وجود داشته باشد بنابراین به سراغ نسبت های مثلثاتی و اتحاد های آن ها رفتیم که به خوبی پاسخگوی نیاز های ما در قبال سوالات ریاضی در مبحث مثلثات باشد . حال شاید پرسش شما این باشد که چرا از آن اتحاد مجموع مربع سینوس و مربع کسینوس استفاده شده، در پاسخ به این سوال باید بگویم این تنها اتحاد ساده و خوبی است که مارا در حل مسئله و ادغام روابط بالا کمک میکند و البته میشود از اتحاد های دیگه هم کمک گرفت. این اتحاد به خوبی دو نسبت مهم و اساسی در این فرمول را پوشش میدهد و ساده تر میتوان به نتیجه رسید یعنی بدون سر در گمی و زیاد شدن محاسبات. توضیحات از مجتبی اخباری

منابع[ویرایش]

Heron's Formula-English Wikipedia

Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics (Vol II). Oxford University Press. pp. 321–323

ریاضیات دوم دبیرستان رشته ریاضی تجربی چاپ 93-94 - ریاضیات دوم دبیرستان انتشارات الگو چاپ 93 نوشته علیرضا رفیعی.