مثلث خیام

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
۱
۱   ۱
۱   ۲   ۱
۱   ۳   ۳   ۱
۱   ۴   ۶   ۴   ۱
۱   ۵  ۱۰  ۱۰   ۵   ۱
شش سطر نخست از مثلث خیام[۱]

مثلّث خیام، مثلّت پاسکال، مثلّث تارتالیا یا مثلّث خیام-پاسکال به آرایش مثلث‌شکل ضرایب بسط دوجمله‌ای گویند.

نام‌گذاری و پیشینه[ویرایش]

مثلث خیام را در برخی منابع به ندرت «مثلث خیام-پاسکال-نیوتن» نیز می‌گویند. این مثلث در زبان‌های گوناگون نام‌های دیگری نیز دارد در زبان انگلیسی «مثلث پاسکال»، ایتالیایی «مثلث تارتالیا» و در زبان چینی «مثلث یانگ هویی» نام گرفته‌است. در آثار متون سانسکریتِ پینگالا ریاضی‌دان هندی نشانه‌هایی از استفاده از این بسط دیده می‌شود. در همان دوران عمر خیام ریاضی‌دان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به دست آوردن ضرایب بسط دوجمله‌ای می‌کند. کتاب «مشکلات الحساب»، کتابی که اثبات‌های این ادعا در آن آمده هنوز کشف نشده ولی در آثار طوسی تأثیر گرفته از او ضرایب را تا توان ۱۲ می‌توان دید[۲]. بعد از او در قرن ۱۲ میلادی در آثار یانگ هویی ریاضی‌دان چینی، شکل مثلث به چشم می‌خورد. در قرن ۱۶ میلادی ریاضی‌دان ایتالیایی تارتالیا هم از خود این مثلث را به جا گذاشته و پس از یک قرن پاسکال ریاضی‌دان فرانسوی هم دوره با نیوتون روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد.

توضیح[ویرایش]

مثلث خیام، مثلث پاسکال، مثلث تارتالیا یا مثلث خیام - پاسکال به آرایش مثلثی شکل ضرایب بسط دو جمله ای گفته می شود.

\binom{n}{k}

خواص مثلث خیام-پاسکال[ویرایش]

برای مطالعه ی خواص جمله های مثلث کافی هست از تعریف استفاده کنیم

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}

(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+...+\binom{n}{n}b^n

دنباله‌های ویژه در داخل مثلث خیام-پاسکال[ویرایش]

  1. دنباته توان 2:

دنباله توان 2 به صورت زیر می باشد

 Merrytahoorasf2.jpg

الگوی جالبی در داخل مثلث پاسکال برای محاسبه توان 2 وجود دارد:

 Merrytahoorasf3.jpg

جمع عناصر هر سطر به ترتیب توان 2 ایجاد میکند با توجه به رابطه (3.3)اگر

 Merrytahoorasf4.jpg

اگر a=1وb=-1به رابطه ی زیر میرسیم

 Merrytahoorasf5.jpg

در رابطه اخیر اگر n=0قرارداد 1=00 با مشتق گیری از طرفین از طرفین رابطه ی (3.3)برای a=xوb=1داریم

 Merrytahoorasf6.jpg

حال اگر x=1یا x=-1باشد

  Merrytahoorasf7.jpg

با مشتق گرفتن از مراتب بالاتر از رابطه ی (4.3)به روابط دیگری دست می یابیم با تعویض عمل مشتق گیری با روابط دیگری به دست می اید.

##دنباله ی توان های عدد 11:
  Merrytahoorasf8.jpg

در حالت کلی اگر جمله های سطر nام مثلث را از راست به چپ از دیدگاه تعداد یکان دهگان ...نگاهکنیم وبدین طریق عدد Nnرابسازیم طبق اتحاد دو جمله ای خیام عدد Nnتوانی از 11 است

  Merrytahoorasf9.jpg

مثلاً:

  Merrytahoorasf10.jpg

در مورد سطر 7ام دقت کنید .الگوی زیر رعایت شده.

  Merrytahoorasf11.jpg

دنبالهٔ اعداد مصور[ویرایش]

در مثلث پاسکال قطر از اعداد طبیعی، قطر 2 از اعداد مثلثی وقطر3 از اعداد 4وجهی تشکیل شده اند.

   Merrytahoorasf12.jpg

با نگاه به قطرهای مثلث ملاحظه می شود که هر عدد مثلثی مجموع چند عدد طبیعی وهر عدد 4 وجهی مجموع چند عدد مثلثی است.به طور کلی می توان گفت که قطر kام از اعداد مصور kبعدی تشکیل شده اند که به صورت (c(n,kمی باشد.در ضمن داریم:

   Merrytahoorasf33.jpg

دنبالهٔ فیبوناتچی[ویرایش]

اگر قطرها را با شیب بیشتر انتخاب کنیم.داریم:

 Merrytahoorasf34.jpg

مجموعه اعداد روی قطر ها دنباله ی :

   ...و13و8و5و3و1و1

تشکیل می دهد.در این دنباله جمله اول ودوم 1 است بقیه جملات جمع دو جمله قبلی اش می شوند

F1=F2=1    Fn+2=Fn+1+Fn                                                                              

اثبات این خاصیت به وسیله مثلث به راحتی قابل مشاهده است. اگرشیب قطر های فیبوناچی را بیشتر کنیم.به تعمیمی از این دنباله دست خواهیم یافت

   Merrytahoorasf13.jpg

اگر ان را با Gn نمایش دهیم داریم

 G1=G2=G3=1  Gn+2=Gn+1+Gn-1                                                                                                              

تعمیم های مختلف از دنباله فیبوناچی داریم.

دنبالهٔ (c(2n,n[ویرایش]

دنباله واقع بر عمود منصف مثلث را به صورت زیر در نظر می گیریم....و252و70و20و6و2و1

 Merrytahoorasf14.jpg

تعمیم دنباله بالا به صورت زیر است

  Merrytahoorasf15.jpg

به عبارت دیگر مجموع مربعات جمله های سطر nام برابر است با رآس تحتانی یک لوزی که این لوزی که این سطر یکی از قطرهای ان می باشد.

  Merrytahoorasf16.jpg

ویژگی هندسی فانگ[ویرایش]

ایا دو عدددر مثلث پاسکال می توان یافت که مجموع یا تفاضلشان مربع کامل باشد؟ عناصر واقع در قطر 3، اعداد مثلثی هستندو نیز مجموع 2 عدد مثلثی متوالی یک مربع کامل است.اگر Tnنشان دهنده nامین عدد مثلثی باشد.داریم:

Tn+Tn+1=n2                                         

واین نتیجه می دهد.


   Merrytahoorasf17.jpg

برای تفریق داریم


   Merrytahoorasf18.jpg
   Merrytahoorasf19.jpg

ویژگی چوب چوگان[ویرایش]

تساوی زیر را در نظر بگیرید.

  Merrytahoorasf20.jpg

اگر هر کدام از عناصر دو طرف تساوی را به صورت نقاط هندسی در نظر بگیرید

  Merrytahoorasf21.jpg

اگر طول چوب چوگان را kدر نظر بگیریم(رابطه بالا را تعمیم دهید)

   Merrytahoorasf22.jpg

ضرب صلیبی[ویرایش]

در اینجا مستطیل هایی را به صورت قائم الزاویه و افقی در داخل مثلث خیام در نظر می گیریم.رئوس این مستطیل ها که بر روی درایه های این مثلث واقع شده اند در اینجا رابطه ای بر حسب درایه های واقع بر رئوس این مستطیل به دست می اوریم. نکته جالب این است که با لغزاندن مستطیل به نحوی که نقطه ی cدر طول قطر (در امتداد پیکان)جا به جا شود

 همواره نسبت (a*d)/(c*b)یک مقدار ثابت خواهد بوذ
     Merrytahoorasf23.jpg
     Merrytahoorasf24.jpg

ستارهٔ داود[ویرایش]

در خاصیت ضرب صلیبی اگر به جای مسطتیل ها یک ستاره به صورت زیر در نظر بگیریم به قسمتی که رئوس ان بر درایه های مثلث خیام قرار گیرند.به تساوی زیر میرسیم.

       Merrytahoorasf25.jpg
در مرکز این ستاره عنصر
       Merrytahoorasf26.jpg

قرار دارد


مثلث خیام–پاسکال و مثلث سرپینسکی[ویرایش]

حال با این توضیح مختصر در مورد برخال‌ها برمی‌گردیم به «مثلث خیام – پاسکال». در مورد این مثلث زیاد شنیده‌ایم از جمله در مورد کاربرد فراوانش در نظریه‌ی اعداد و ترکیبیات. حال می‌خواهم یکبرخال ساده را در این مثلث به شما نشان دهم. موضوعی که باعث می‌شود این مثلث جایی را نیز در دنیای برخال‌ها یعنی سیستم‌های دینامیکی پیدا کند. مسأله خیلی ساده است، تمام اعداد زوج را در «مثلث خیام – پاسکال» پاک کنید، آن‌چه باقی می‌ماند برخالی معروف است با نام «مثلث سرپینسکی»:

         Merrytahoorasf30.jpg

پانویس[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • محمودیان، حسن. شگفتی‌های مثلث خیام: گذری بر آنالیز ترکیبی. سمنان: امید کومش، ۱۳۸۶. ISBN 978-964-90712-6-8. 
  • جعفری، سیامک. مثلث خیام - هندسه فرکتال. تهران: جهاد دانشگاهی، واحد صنعتی امیرکبیر، ۱۳۸۶. ISBN 978-964-8737-96-7. 
  • ب‍ه‍ب‍ودی‍ان، ج‍واد. م‍ث‍ل‍ث خ‍ی‍ام - پ‍اس‍ک‍ال. تهران: دان‍ش‍گ‍اه ص‍ن‍ع‍ت‍ی ش‍ری‍ف، م‍وس‍س‍ه ان‍ت‍ش‍ارات ع‍ل‍م‍ی، ۱۳۸۴. ISBN 964-7982-94-6. 

پیوند به بیرون[ویرایش]

جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ مثلث خیام موجود است.