مدول یانگ

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

ضریب یانگ یا مدول کشسانی به نسبت تنش به کرنش مواد جامد خطی در پایین‌تر از استحکام تسلیم گفته می‌شود که در این حالت قانون هوک صادق بوده و ضریب کشسان ثابت است. باید دانست که ضریب یانگ با ثابت فنر رابطه مستقیم و با کشسانی رابطه معکوس دارد. ضریب یانگ سنگ همانند مقاومت با توجه به نرخ بار وارده می‌تواند از نوع ایستا یا پویا باشد. ضریب کشسانی پویا بیشتر از ایستا است ولی هرچه سنگ مقاومت بیشتری داشته باشد این دو مقدار به هم نزدیکترند. ضریب کشسانی پویا به سرعت انتشار امواج و در نتیجه به نوع سنگ، بافت، چگالی، روزنه‌داری، میزان تنش وارده و مقدار آب و غیره بستگی دارد. ضریب یانگ به عواملی چون دما، سرعت بارگذاری بسامد، نوع آزمون و … نیز وابسته می‌باشد.

لاستیک ماده ای با ضریب یانگ بسیار اندک

یکاها[ویرایش]

ضریب یانگ عبارتست از نسبت تنش به کرنش. از آنجا که تنش از جنس فشار است و کرنش کمیتی بی‌بعد می‌باشد، ضریب یانگ نیز از جنس فشار بوده و واحد آن در سیستم SI، پاسکال می‌باشد.

محاسبه[ویرایش]

ضریب یانگ (E) برابر است با نسبت تنش بر کرنش ایجاد شده به واسطهٔ تنش وارده بر جسم در حالتی که جسم در ناحیه کشسان قرار گرفته باشد. واحد ضریب یانگ در SI، پاسکال (هم واحد با تنش) می‌باشد.

ضریب یانگ را به پیروی از توماس یانگ، دانشمند قرن نوزدهم میلادی بریتانیایی نام نهادند.

که در آن:

  • E ضریب یانگ است
  • F نیروی وارد بر یک شیء داری تنش است
  • A0 ناحیه واقعی مقطعی که از طریق آن نیرو اعمال شده‌است
  • ΔL مقدار متوسط طول تغییرات شی است
  • L0 طول ابتدائی جسم است

روش‌های به دست آوردن مدول یانگ[ویرایش]

مدول یانگ را می‌توان براساس‌ اصول استاتیک و دینامیک به دست آورد. روش‌های استاتیکی برای تعیین خواص کشسانی معمولا براساس‌ اندازه‌گیری تنش‌ها و کرنش‌ها در حین بارگذاری مکانیکی است و مدول یانگ از شیب ناحيه‌ی خطی منحنی تنش-کرنش تعیین می‌شود.

مدول یانگ شیب ناحیه‌ی خطی نمودار تنش-کرنش برای ماده‌ی در حال کشش یا فشار می‌باشد.

معايب بزرگ روش‌های استاتیکی، مخرب بودن آن‌ها است و همچنین تجهيزات این روش ها معمولا بزرگ و سنگین هستند. بنابراین اندازه‌گیری‌ها فقط در آزمایشگاه قابل انجام است. در بین روش‌های دینامیکی، تست فرکانس تشدید و تست التراسونیک محبوب هستند. از مزایای روش‌های دینامیکی نسبت به روش‌های استاتیکی می‌توان به ویژگی غیرمخرب بودن آن‌ها، تنوع زیاد نمونه‌ها، تجهيزات اندازه‌گیری قابل حمل و ارزان بودن اندازه‌گیری اشاره کرد.

الاستیسیته(کشسانی) خطی[ویرایش]

هنگامی که یک ماده جامد تحت یک نیروی کوچک فشاری یا کششی قرار می‌گیرد، دچار تغییر شکل الاستیک می‌شود. تغییر شکل الاستیک برگشت پذیر است، به این معنی که پس از برداشتن نیرو، ماده به شکل اولیه خود باز می‌گردد.[۱]

در تنش و کرنش نزدیک به صفر، منحنی تنش-کرنش خطی است،[۲] و رابطه‌ی بین تنش و کرنش با قانون هوک توضیح داده شده است که تنش را متناسب با کرنش بیان می‌کند.این ضریب تناسب همان مدول الاستیسیته (یانگ) می‌باشد. هرچه مقدار مدول بیش‌تر باشد، برای ایجاد یک مقدار کرنش یکسان به تنش بیش‌تری نیاز است. یک جسم صلب ایده‌آل مدول یانگ بی‌نهایت خواهد داشت، اما مدول یانگ یک ماده خیلی نرم مانند مایعات، که بدون نیرو تغییر شکل می‌دهند، صفر خواهد بود.

کاربرد[ویرایش]

مدول یانگ محاسبه‌ی تغییر ابعاد یک میله ساخته‌ شده از مواد الاستیک همسانگرد، تحت بارهای کششی یا فشاری را ممکن می‌کند. برای مثال پیش‌بینی می‌کند که یک نمونه ماده تحت کشش چقدر امتداد می‌یابد و یا تحت فشار چقدر کوتاه می‌شود. مدول یانگ مستقیما برای موارد تنش تک محوری اعمال می‌شود. یعنی در مواردی که تنش کششی یا فشاری فقط در یک جهت باشند بدون وجود تنش در جهت‌های دیگر. مدول یانگ همچنین برای پیش‌بینی انحراف در تیری که از نظر استاتیکی معین است و اعمال بار در نقطه‌ای بین تکیه‌گاه‌های آن می‌باشد، استفاده می‌شود. سایر محاسبات الاستیک معمولا به استفاده از یک خاصیت الاستیک اضافی مانند مدول برشی[۳]، مدول حجمی و نسبت پواسون نیاز دارند. هر دو مورد از این پارامترها برای توصیف کامل الاستیسیته در یک ماده همسانگرد کافی است. برای مواد همگن، روابط ساده‌ای میان ثابت‌های الاستیک وجود دارد که امکان محاسبه همه آن‌ها را زمانی که دو مورد مشخص باشد می‌دهد :

E = 2G(1+ν) = 3K(1-2ν)

مدول یانگ برای پزشکان و مهندسان و کسانی که در حوزه‌ی ساخت تجهيزات پزشکی هستند نیز مهم است. زیرا می‌تواند به آن‌ها بگوید چه زمانی یک ایمپلنت ساختاری تغییر شکل می‌دهد و به آن‌ها این امکان را می‌دهد که بدانند چگونه یک قطعه را به صورت مکانیکی برای استفاده در بدن طراحی کنند.

خطی در مقابل غیرخطی[ویرایش]

مدول یانگ نشان دهنده‌ی عامل تناسب در قانون هوک است که تنش و کرنش را به هم مرتبط می‌کند. اما قانون هوک فقط با فرض الاستیک و عکس‌العمل خطی ماده معتبر است. هر ماده‌ای زمانی که در یک فاصله بسیار زیاد و یا با نیروی زیادی کشیده شود، در نهایت دچار شکست می‌شود و می‌شکند. با این حال همه‌ی مواد جامد رفتاری خطی و متناسب با قانون هوک را در حدوده‌ی تنش و کرنش‌های کوچک نشان می‌دهند. اگر محدوده‌ای که قانون هوک در ماده معتبر است در مقایسه با تنش معمولی‌ای که انتظار می‌رود روی آن اعمال شود به اندازه کافی بزرگ باشد، به آن ماده خطی گفته‌ می‌شود. در غیر این صورت اگر تنش معمولی‌ای که اعمال می‌شود خارج از محدوده‌ی خطی باشد، ماده غیرخطی تلقی می‌شود. فولاد، فیبر کربن و شیشه مواد با رفتار خطی هستند و موادی مانند لاستیک رفتار غیرخطی دارند. با این حال، این یک طبقه‌بندی مطلق نیست. اگر تنش‌های بسیار کوچک به یک ماده غیرخطی اعمال شود، عکس‌العمل ماده خطی خواهد بود و یا اگر تنش بسیار زیادی به یک ماده خطی اعمال شود، نظریه خطی کافی نخواهد بود. به عنوان مثال، اگرچه فولاد برای اکثر کاربردها، یک ماده با رفتار خطی است، اما از آنجایی که نظریه خطی بر برگشت‌پذیری دلالت دارد، استفاده از این نظریه برای توصیف شکست یک پل فولادی تحت بار زیاد بیهوده است.

مواد جهت دار[ویرایش]

تاثیر افزودن اجزای منتخب شیشه بر مدول یانگ شیشه پایه

مدول یانگ همیشه در همه‌ی جهت‌های یک ماده یکسان نیست. بیش‌تر فلزات و سرامیک‌ها، به همراه بسیاری از مواد دیگر همسانگرد هستند و خواص مکانیکی آن‌ها در همه‌ی جهت‌ها یکسان است. با این حال با افزودن ناخالصی به فلزات و سرامیک‌هاو یا با انجام کارهای مکانیکی روی فلزات، می‌توان ساختار آن‌ها را جهت‌دار کرد. سپس این مواد ناهمسانگرد می‌شوند و مدول یانگ آن‌ها با توجه به جهت بردار نیرو تغییر می‌کند.[۴]

ناهمسانگردی را می‌توان در بسیاری از کامپوزیت‌ها نیز مشاهده کرد. برای مثال، فیبر کربن دارای مدول یانگ بسیار بالاتری است (بسیار سفت‌تر است) زمانی که نیرو موازی با الیاف (در امتداد دانه) بارگذاری می‌شود. از نمونه‌های دیگر این دسته از مواد می‌توان به چوب و بتن مسلح اشاره کرد. مهندسان نیز می‌توانند از این خاصیت و پدیده در ایجاد سازه‌های گوناگون استفاده کنند.


وابستگی به دما[ویرایش]

مدول یانگ فلزات با تغییر دما تغییر می‌کند و می‌تواند از طریق تغییر در پیوند بین اتمی اتم‌ها محقق شود. و از این‌رو تغییر آن وابسته به تغییر در عملکرد کاری فلز است. اگرچه به طور کلاسیک این تغییر از طریق برازش و بدون مکانیزم زیربنایی واضح (به عنوان مثال، فرمول واچمن) پیش‌بینی می‌شود، مدل Rahemi-Li [۵] نشان می‌دهد که چگونه تغییر در تابع کار الکترون منجر به تغییر در مدول یانگ فلزات می‌شود و با استفاده از تعمیم پتانسیل لنارد-جونز به جامدات، این تغییر را با پارامترهای قابل محاسبه پیش‌بینی می‌کند. به طور کلی، با افزایش دما مدول یانگ با توجه به فرمول زیر کاهش می‌یابد.

تابع کار الکترون در این فرمول با تغییر دما، تغییر می‌کند:

یک ویژگی قابل محاسبه‌ی ماده است که به ساختار کریستالی وابسته است.(به عنوان مثال BCC,FCC)

تابع کار الکترون در T = 0 است و در طول تغییر ثابت است.

تقریب ضریب یانگ برای مواد مختلف[ویرایش]

ضریب یانگ می‌تواند تا حدودی در نوع نمونه و روش آزمون متفاوت باشد. نرخ تغییر شکل بیشترین تأثیر را در داده‌های جمع‌آوری، به ویژه در پلیمرها دارد. ارزش در اینجا تقریبی و فقط به معنای مقایسه نسبی هستند.

مقدار تقریبی ضریب یانگ برای مواد مختلف
ماده GPa Mpsi
فوم لاتکس، چگالی کم، فشرده سازی ۱۰٪ 0.00000059[۶] ۸×۱۰−۸
کائوچو (small strain) 0.01–0.1[۷] 1.45–۱۴٫۵×۱۰−۳
Low density polyethylene[۸] ۰٫۱۱–۰٫۸۶ 1.6-۶٫۵×۱۰−۲
دیاتوم frustules (largely silicic acid)[۹] ۰٫۳۵–۲٫۷۷ ۰٫۰۵–۰٫۴
پلی تترافلوئورواتیلن (Teflon) 0.5[۷] ۰٫۰۷۵
HDPE ۰٫۸ ۰٫۱۱۶
Bacteriophage capsids[۱۰] ۱–۳ ۰٫۱۵–۰٫۴۳۵
پلی‌پروپیلن 1.5–2[۷] ۰٫۲۲–۰٫۲۹
پلی‌اتیلن ترفتالات (PET) 2–2.7[۷] ۰٫۲۹–۰٫۳۹
نایلون ۲–۴ ۰٫۲۹–۰٫۵۸
پلی‌استایرن، solid 3–3.5[۷] ۰٫۴۴–۰٫۵۱
پلی‌استایرن، foam[۱۱] ۰٫۰۰۲۵–۰٫۰۰۷ ۰٫۰۰۰۳۶–۰٫۰۰۱۰۲
ام‌دی‌اف (صنعت چوب) (MDF)[۱۲] ۴ ۰٫۵۸
wood (along grain) 11[۷] ۱٫۶۰
Human Cortical استخوان[۱۳] ۱۴ ۲٫۰۳
Glass-reinforced polyester matrix[۱۴] ۱۷٫۲ ۲٫۴۹
Aromatic peptide nanotubes[۱۵][۱۶] ۱۹–۲۷ ۲٫۷۶–۳٫۹۲
High-strength concrete 30[۷] ۴٫۳۵
فیبر کربن پلیمری تقویت شده (50/50 fibre/matrix, biaxial fabric) 30–50[۱۷] ۴٫۳۵ – ۷٫۲۵
Hemp fiber[۱۸] ۳۵ ۵٫۰۸
منیزیم فلز (Mg) 45[۷] ۶٫۵۳
شیشه (see chart) 50–90[۷] ۷٫۲۵ – ۱۳٫۱
کتان fiber[۱۹] ۵۸ ۸٫۴۱
آلومینیم 69[۷] ۱۰
Mother-of-pearl (nacre, largely calcium carbonate)[۲۰] ۷۰ ۱۰٫۲
آرامید[۲۱] ۷۰٫۵–۱۱۲٫۴ ۱۰٫۲ – ۱۶٫۳
مینای دندان (largely calcium phosphate)[۲۲] ۸۳ ۱۲
گزنه دوپایه fiber[۲۳] ۸۷ ۱۲٫۶
مفرغ 96–120[۷] ۱۳٫۹ – ۱۷٫۴
برنج (آلیاژ) 100–125[۷] ۱۴٫۵ – ۱۸٫۱
تیتانیم (Ti) 110.3 16[۷]
آلیاژهای تیتانیومs 105–120[۷] ۱۵ – ۱۷٫۵
مس (Cu) ۱۱۷ ۱۷
فیبر کربن پلیمری تقویت شده (70/30 fibre/matrix, unidirectional, along grain)[۲۴] ۱۸۱ ۲۶٫۳
سیلیسیم Single crystal, different directions[۲۵][۲۶] ۱۳۰–۱۸۵ ۱۸٫۹ – ۲۶٫۸
گل‌نرده 190–210[۷] ۲۷٫۶ – ۳۰٫۵
فولاد (ASTM-A36) 200[۷] ۲۹
polycrystalline Yttrium iron garnet (YIG)[۲۷] ۱۹۳ ۲۸
single-crystal Yttrium iron garnet (YIG)[۲۸] ۲۰۰ ۲۹
Cobalt-chrome (CoCr)[۲۹] ۲۲۰–۲۵۸ ۲۹
Aromatic peptide nanospheres[۳۰] ۲۳۰–۲۷۵ ۳۳٫۴ – ۴۰
بریلیم (Be)[۳۱] ۲۸۷ ۴۱٫۶
مولیبدن (Mo) 329 - 330[۷][۳۲][۳۳] ۴۷٫۷ – ۴۷٫۹
تنگستن (W) 400 – 410[۷] ۵۸ – ۵۹
سیلیسیم کاربید (SiC) 450[۷] ۶۵
کاربید تنگستن (WC) 450 – 650[۷] ۶۵ – ۹۴
اسمیم (Os) 525 - 562[۳۴] ۷۶٫۱ – ۸۱٫۵
نانولوله کربنی 1,000 +[۳۵][۳۶] ۱۵۰ +
گرافین 1,050[۳۷] ۱۵۲
الماس (C) 1050 - 1210[۳۸] ۱۵۲–۱۷۵
Carbyne (C)[۳۹] 32100[۴۰]

جستارهای وابسته[ویرایش]

کشسانی

قانون هوک

جسم صلب

نسبت پواسون

ویسکوالاستیسیته

تنش

کرنش

منحنی تنش-کرنش

منابع[ویرایش]

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_(physics)
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_elasticity
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Shear_modulus
  4. Gorodtsov, V.A.; Lisovenko, D.S. (2019). "Extreme values of Young's modulus and Poisson's ratio of hexagonal crystals". Mechanics of Materials (به انگلیسی). 134: 1–8. doi:10.1016/j.mechmat.2019.03.017. S2CID 140493258.
  5. Rahemi, Reza; Li, Dongyang (April 2015). "Variation in electron work function with temperature and its effect on the Young's modulus of metals". Scripta Materialia. 99 (2015): 41–44. arXiv:1503.08250. Bibcode:2015arXiv150308250R. doi:10.1016/j.scriptamat.2014.11.022. S2CID 118420968.
  6. https://en.wikipedia.org/wiki/Specific_modulus#cite_ref-auto8_4-0
  7. ۷٫۰۰ ۷٫۰۱ ۷٫۰۲ ۷٫۰۳ ۷٫۰۴ ۷٫۰۵ ۷٫۰۶ ۷٫۰۷ ۷٫۰۸ ۷٫۰۹ ۷٫۱۰ ۷٫۱۱ ۷٫۱۲ ۷٫۱۳ ۷٫۱۴ ۷٫۱۵ ۷٫۱۶ ۷٫۱۷ ۷٫۱۸ ۷٫۱۹ "Elastic Properties and Young Modulus for some Materials". The Engineering ToolBox. Retrieved 2012-01-06.
  8. "Overview of materials for Low Density Polyethylene (LDPE), Molded". Matweb. Archived from the original on 1 January 2011. Retrieved Feb 7, 2013.
  9. Subhash G, Yao S, Bellinger B, Gretz MR. (2005). "Investigation of mechanical properties of diatom frustules using nanoindentation". J Nanosci Nanotechnol. 5 (1): 50–6. doi:10.1166/jnn.2005.006. PMID 15762160.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)
  10. Ivanovska IL, de Pablo PJ, Sgalari G, MacKintosh FC, Carrascosa JL, Schmidt CF, Wuite GJL (2004). "Bacteriophage capsids: Tough nanoshells with complex elastic properties". Proc Natl Acad Sci USA. 101 (20): 7600–5. Bibcode:2004PNAS..101.7600I. doi:10.1073/pnas.0308198101. PMC 419652. PMID 15133147.{{cite journal}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)
  11. "Styrodur Technical Data" (PDF). BASF. Retrieved 2016-03-15.
  12. "Medium Density Fiberboard (MDF) Material Properties :: MakeItFrom.com". Retrieved 4 February 2016.
  13. Rho, JY (1993). "Young's modulus of trabecular and cortical bone material: ultrasonic and microtensile measurements". Journal of Biomechanics. 26 (2): 111–119. doi:10.1016/0021-9290(93)90042-d.
  14. Polyester Matrix Composite reinforced by glass fibers (Fiberglass). [SubsTech] (2008-05-17). Retrieved on 2011-03-30.
  15. Kol, N.; et al. (June 8, 2005). "Self-Assembled Peptide Nanotubes Are Uniquely Rigid Bioinspired Supramolecular Structures". Nano Letters. 5 (7): 1343–1346. Bibcode:2005NanoL...5.1343K. doi:10.1021/nl0505896.
  16. Niu, L.; et al. (June 6, 2007). "Using the Bending Beam Model to Estimate the Elasticity of Diphenylalanine Nanotubes". Langmuir. 23 (14): 7443–7446. doi:10.1021/la7010106.
  17. E-G-nu.htm "Composites Design and Manufacture (BEng) – MATS 324". {{cite web}}: Check |url= value (help)[پیوند مرده]
  18. Nabi Saheb, D.; Jog, JP. (1999). "Natural fibre polymer composites: a review". Advances in Polymer Technology. 18 (4): 351–363. doi:10.1002/(SICI)1098-2329(199924)18:4<351::AID-ADV6>3.0.CO;2-X.
  19. Bodros, E. (2002). "Analysis of the flax fibres tensile behaviour and analysis of the tensile stiffness increase". Composite Part A. 33 (7): 939–948. doi:10.1016/S1359-835X(02)00040-4.
  20. A. P. Jackson,J. F. V. Vincent and R. M. Turner (1988). "The Mechanical Design of Nacre". Proceedings of the Royal Society B. 234 (1277): 415–440. Bibcode:1988RSPSB.234..415J. doi:10.1098/rspb.1988.0056.
  21. DuPont (2001). "Kevlar Technical Guide": 9. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
  22. M. Staines, W. H. Robinson and J. A. A. Hood (1981). "Spherical indentation of tooth enamel". Journal of Materials Science. 16 (9): 2551–2556. Bibcode:1981JMatS..16.2551S. doi:10.1007/bf01113595.[پیوند مرده]
  23. Bodros, E.; Baley, C. (15 May 2008). "Study of the tensile properties of stinging nettle fibres (Urtica dioica)". Materials Letters. 62 (14): 2143–2145. doi:10.1016/j.matlet.2007.11.034.
  24. Epoxy Matrix Composite reinforced by 70% carbon fibers [SubsTech]. Substech.com (2006-11-06). Retrieved on 2011-03-30.
  25. Physical properties of Silicon (Si). Ioffe Institute Database. Retrieved on 2011-05-27.
  26. E.J. Boyd; et al. (February 2012). "Measurement of the Anisotropy of Young's Modulus in Single-Crystal Silicon". Journal of Microelectromechanical Systems. 21 (1): 243–249. doi:10.1109/JMEMS.2011.2174415.
  27. Chou, H. M.; Case, E. D. (November 1988). "Characterization of some mechanical properties of polycrystalline yttrium iron garnet (YIG) by non-destructive methods". Journal of Materials Science Letters. 7 (11): 1217–1220. doi:10.1007/BF00722341.
  28. «YIG properties» (PDF). بایگانی‌شده از اصلی (PDF) در ۲۵ فوریه ۲۰۰۹. دریافت‌شده در ۲ آوریل ۲۰۱۶.
  29. "Properties of cobalt-chrome alloys – Heraeus Kulzer cara". Archived from the original on 1 July 2015. Retrieved 4 February 2016.
  30. Adler-Abramovich, L.; et al. (December 17, 2010). "Self-Assembled Organic Nanostructures with Metallic-Like Stiffness". Angewandte Chemie International Edition. 49 (51): 9939–9942. doi:10.1002/anie.201002037.
  31. Foley, James C.; et al. (2010). "An Overview of Current Research and Industrial Practices of Be Powder Metallurgy". In Marquis, Fernand D.S. (ed.). Powder Materials: Current Research and Industrial Practices III. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, Inc. p. 263. doi:10.1002/9781118984239.ch32.
  32. . webelements http://www.webelements.com/molybdenum/physics.html. Retrieved Jan 27, 2015. {{cite web}}: Missing or empty |title= (help)
  33. "نسخه آرشیو شده" (PDF). Glemco. Archived from the original (PDF) on 23 September 2010. Retrieved Jan 27, 2014.
  34. D.K.Pandey; Singh, D.; Yadawa, P.K.; et al. (2009). "Ultrasonic Study of Osmium and Ruthenium" (PDF). Platinum Metals Rev. 53 (4): 91–97. doi:10.1595/147106709X430927. Archived from the original (PDF) on 12 March 2020. Retrieved November 4, 2014.
  35. L. Forro; et al. "Electronic and mechanical properties of carbon nanotubes" (PDF). Archived from the original (PDF) on 29 October 2005. Retrieved 2 April 2016.
  36. Y.H.Yang; Li, W. Z.; et al. (2011). "Radial elasticity of single-walled carbon nanotube measured by atomic force microscopy". Applied Physics Letters. 98 (4): 041901. Bibcode:2011ApPhL..98d1901Y. doi:10.1063/1.3546170.
  37. Fang Liu, Pingbing Ming, and Ju Li. "Ab initio calculation of ideal strength and phonon instability of graphene under tension" (PDF).{{cite web}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)
  38. Spear and Dismukes (1994). Synthetic Diamond – Emerging CVD Science and Technology. Wiley, NY. p. 315. ISBN 978-0-471-53589-8.
  39. Owano, Nancy (Aug 20, 2013). "Carbyne is stronger than any known material". phys.org.
  40. Mingjie Liu, Vasilii I. Artyukhov, Hoonkyung Lee, Fangbo Xu and Boris I. Yakobson (Dec 2, 2013). "Carbyne From First Principles: Chain of C Atoms, a Nanorod or a Nanorope?" (PDF). arxiv.org.{{cite web}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)
رابطه‌های تبدیل مدول‌ها به یکدیگر
خواص کشسانی مواد کشسان خطی همگن و همسانگرد را می‌توان با داشتن دو مدول دلخواه به طور کامل و منحصر به فردی تعیین کرد. بنابراین با در دست داشتن دو مدول و با استفاده از فرمول‌های زیر می‌توان سایر مدول‌ها را محاسبه کرد.
توضیحات


There are two valid solutions.
The plus sign leads to .
The minus sign leads to .

Cannot be used when