نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها

نظریهٔ بنداشتی مجموعه‌ها در حقیقت تلاشی برای صوری کردن نظریه مجموعه‌ها به‌وسیلهٔ قرار‌دادن اصول موضوع به جای دیدگاه‌های شهودی برای مجموعه‌ها است. این نظریه نقطهٔ مقابل نظریه طبیعی مجموعه‌ها یا همان نظریهٔ شهودی مجموعه‌ها است که در آن مجموعه‌ها به صورت شهودی و غیر صوری مورد بررسی قرار می‌گرفتند.

نیاز به بنداشت ها

نظریهٔ مجموعه‌ها به‌وسیله جرج کانتور در سال 1873 متولد شد. این نظریه در ابتدا به صورت شهودی و غیر‌صوری گسترش یافت اما با گسترش هر چه بیشتر آن این سوال اساسی پیش آمد که مجموعه چیست؟ چه چیز را می‌توان به عنوان مجموعه در نظر گرفت؟ چه اعمالی را می‌توان با مجموعه‌ها انجام داد و در این بین چه محدودیت‌هایی وجود دارد؟

نظریهٔ مجموعه‌ها به عنوان مبانی و اساس ریاضیات تلقی می‌شد. به گونه‌ای که همهٔ مفاهیم ریاضی اعم از اعداد، توابع بر اساس مجموعه‌ها تعریف شدند. این رهیافت موجب آرامش خاطر فیلسوفان و ریاضیدانان در مورد این که ماهیت مفاهیم و موجودات ریاضی چیست شد. اما از طرفی این امر که مفاهیم ریاضی را بر پایهٔ یک نظریه شهودی بنا کنیم چندان هم خوشایند به نظر نمی‌رسید. لذا نیاز به بنداشتی کردن نظریهٔ مجموعه‌ها و تدقیق آن بیش از هر زمانی احساس شد.

از طرفی با ادامهٔ مطالعهٔ مجموعه‌ها به صورت طبیعی، کشف پارادکس‌هایی چون پارادکس راسل، پایه‌های نظریه طبیعی مجموعه‌ها را به لرزه در آورد و نشان داد که نظریهٔ مجموعه‌هایی که تا آن زمان مورد استفاده قرار می‌گرفت نظریه‌ای ناسازگار است و بنا بر این نیاز به بازنگری دارد.

نظریه طبیعی مجموعه‌ها، نظریه‌ای ناسازگار

در نظریهٔ طبیعی مجموعه‌ها، بنداشت‌هایی وجود داشت که البته نه به عنوان بنداشت بلکه به عنوان واقعیت‌های شهودی و طبیعی از ماهیت مجموعه پذیرفته شده‌بودند.

اولین واقعیت پذیرفته شده، بنداشت گسترش بود که بیان می‌کرد که هر مجموعه به وسیلهٔ اعضای خود دقیقاً مشخص می‌شود و یا به عبارتی دیگر دو مجموعه با هم برابرند اگر و تنها اگر اعضایشان یکسان باشد.

دومین واقعیت، بنداشت شهودی تجرید بود که بیان می‌کرد که برای هر خاصیت(گزاره‌نما) (P(x، مجموعه‌ای وجود دارد که دقیقاً شامل عناصری می‌شود که در (P(x صدق می‌کنند. این خاصیت به نظر طبیعی می‌رسد. به عنوان مثال با در نظر گرفتن مجموعه اعداد صحیح ممکن است بخواهیم مجموعهٔ همه اعداد صحیح که مضرب عدد سه هستند را در نظر بگیریم.

در سال ۱۹۰۲، برتراند راسل، با ارائهٔ پارادکس معروف خود، پارادکس راسل، نشان داد که نظریه طبیعی مجموعه‌ها با در نظر گرفتن بنداشت شهودی تجرید، ناسازگار است و منجر به تناقض می‌شود.

راسل با استفاده از بنداشت شهودی تجرید مجموعهٔ {A عضو خود نباشد:R={A یعنی مجموعهٔ همهٔ مجموعه‌هایی را که عضو خود نیستند را تشکیل داد. حال پارادکس با طرح این سوال که آیا R∈R آغاز می‌شود.

به این ترتیب تمام امیدها به نظریهٔ طبیعی مجموعه‌ها از بین رفت و نیاز به بنداشتی کردن نظریهٔ مجموعه‌ها و ارائهٔ یک نظریهٔ سازگار به عنوان یک امر ضروری تبدیل شد.

• تمامی عوامل یاد شده موجب شدند که ریاضیدانان در مسیر تدقیق نظریهٔ مجموعه‌ها و ارایهٔ نظریه بنداشتی و سازگار از مجموعه‌ها کوشش کنند و به این ترتیب نظریه‌های متعددی در این زمینه ارائه شد.

تاریخچه و سیر تحولات

در این قسمت بیشتر به بررسی تاریخچهٔ نظریهٔ بنداشتی مجموعه‌ها پرداخته شده‌است. برای مطالعه بیشتر به نظریه مجموعه‌ها مراجعه کنید.

نظریه مجموعه‌ها در اواخر سال ۱۸۷۳، توسط جرج کانتور رسماً به وجود آمد و شروع به توسعه کرد. او در طی مقالات خود مجموعه‌ها را معرفی کرد و مفاهیمی چون اعداد اصلی، اعداد ترتیبی، اعداد ترامتناهی را معرفی کرد و آن‌ها را گسترش داد.

سال‌های ۱۸۹۵ تا ۱۸۹۷ سال‌های مهم و سرنوشت‌سازی برای کانتور و نظریهٔ مجموعه‌هایش به‌شمار می‌رود. گسترش نظریهٔ مجموعه‌های کانتور بر پایهٔ دید شهودی از مجموعه‌ها و بدور از هر گونه بنداشت‌های موضوع تعریف شده و خاص بود و کارهای او بر روی نظریهٔ مجموعه‌ها ادامه داشت نا این‌که در سال ۱۸۹۷ اولین رخنه در نظریهٔ او کشف شد.

در سال ۱۸۹۷، اولین پارادکس نظریهٔ مجموعه‌ها توسط سزار بورالی-فورتی منتشر شد. پارادکس او به پارادکس بورالی-فورتی(دقت کنید که بورالی-فورتی نام یک نفر است!) شهرت دارد. او نشان داد که درنظر گرفتن مجموعهٔ همه اعداد اوردینال ما را به سوی تناقض سوق می‌دهد، و این در حالی بود که در نظریهٔ مجموعه‌های آن زمان هیچ چیز مانع در نظر گرفتن چنین مجموعه‌ای نمی‌شد. البته مقدار زیادی از اثرات این پارادکس دفع شد چرا که بورالی-فورتی مفهوم اعداد اوردینال را به اشتباه درک کرده بود.

البته این باور وجود دارد که کانتور خود از وجود این پارادکس پیش‌تر در سال ۱۸۸۵ باخبر بود و در مورد آن در ۱۸۸۶ با هیلبرت مکاتبه داشته‌است.

سال ۱۸۹۷ سالی مهم برای کانتور بود چرا که درآن سال اولین کنگرهٔ جهانی ریاضیات در زوریخ برگزار می‌شد و در آن کنفرانس، کارهای کانتور در اوج توجه بود و توسط بسیاری از ریاضیدانان همچون هارویتز و هادامارد مورد تحسین قرار گرفت.

در سال ۱۸۹۹ کانتور خود، دومین پارادکس را کشف کرد که از درنظر گرفتن مجموعه همه مجموعه‌ها نشأت می‌گرفت. اگر M را به عنوان مجموعهٔ همهٔ مجموعه‌ها در نظر بگیریم، طبیعی است این سوال را مطح کنیم که عدد اصلی M چیست؟ به وضوح عدد اصلی این مجموعه باید بزرگ‌ترین عدد اصلی موجود باشد یا به عبارتی عدد اصلی هر مجموعه دیگر باید از M کوچک‌تر یا مساوی باشد اما از طرفی بنابر قضیه کانتور، عدد اصلی مجموعهٔ توانی M (مجموعه همه زیرمجموعه‌های M) اکیداً از عدد اصلی M بزرگ‌تر است و لذا به تناقض برمی‌خوریم. این پاردکس به پارادکس کانتور شهرت دارد.

وجود این تناقضات نشان می‌داد که مخالفت‌هایی که با کارهای کانتور تا آن زمان از سوی ریاضیدانانی چون لئوپارد کرونکر می‌شد، تا حدی معقول است.

آخرین پارادکس در بهار سال ۱۹۰۲ به‌وسیلهٔ برتراند راسل ارائه شد که به پارادکس راسل معروف است. او این پاردکس را هنگامی که برروی برهان قضیه کانتور مطالعه می‌کرد بدست آورد.

در نظریهٔ مجموعه‌های جرج کانتور محدودیتی برای تعریف مجموعه‌ها و اعمال روی آن‌ها وجود نداشت و همان‌طور که در گذشته ذکر شد، این فرض وجود داشت که برای هر خاصیت(گزاره‌نما) چون (P(x مجوعه‌ای وجود دارد که دقیقاً شامل عناصری است که در (P(x صدق می‌کنند. راسل از این ویژگی استفاده کرد و با در نظر گرفتن خاصیت «عضو خود نبودن» مجموعهٔ {A عضو خود نباشد:R={A یعنی مجموعهٔ همهٔ مجموعه‌هایی که عضوی از خود نیستند را تشکیل داد. او این سوال را مطرح ساخت که آیا R∈R؟

• اگر $R\in R$ بنابر تعریف R، باید داشته باشیم $R\not \in R$ که تناقض است.
• اگر $R\not \in R$ بنابر تعریف R باید داشته باشیم $R\in R$ که تناقض است.

پارادکس راسل مهم‌ترین پارادکس نظریه طبیعی مجموعه‌ها به شمار می‌رود. البته لازم به ذکر است که برخی معتقدند که این پارادکس به صورت جداگانه توسط ارنست تسرملو نیز پیدا شده‌است.

راسل این پارادکس را طی نامه‌ای با فرگه که در حال تکمیل مقالهٔ خود در زمینهٔ مبانی حساب بود، در میان گذاشت. به گفتهٔ فرگه، پارادکس راسل همه ریاضیات را از پایه خراب کرد.

از طرفی نظریهٔ مجموعه‌ها درحال تأثیرگذاری بروی سایر بخش‌های ریاضیات بود. لبگ در سال ۱۹۰۱ اندازه و در سال ۱۹۰۲ انتگرال لبگ را به‌وسیلهٔ مفاهیم نظریهٔ مجموعه‌ها تعریف کرد. واقعیت این بود که آنالیز به نظریهٔ مجموعه‌های جرج کانتور نیاز داشت و نمی‌توانست خود را به مدل شهودگرایانه ریاضیات که اساس کار ریاضیدانانی چون کرونکر را تشکیل می‌داد محدود کند. در حقیقت در آن زمان نظریهٔ مجموعه‌ها به عنوان اساس ریاضیات در نظر گرفته شده‌بود و همهٔ مفاهیم ریاضی بر پایهٔ مجموعه تعریف می‌شدند(که البته اکنون نیز چنین است).

به این ترتیب، ریاضیدانان سعی کردند با حفظ ویژگی‌های اصلی مجموعه‌ها، نظریهٔ مجموعه‌ها را به گونه‌ای پایه‌ریزی کنند تا به دور از پارادکس‌ها باشد. آن‌ها به دنبال دستگاه بنداشتی سازگاری بودند که بتواند اساس محکمی برای ریاضیات باشد. دستگاهی که بتوان مفاهیم ریاضی را بر پایه آن تعریف کرد.

راسل و آلفرد نورث وایتهد در تلاش برای رفع مشکلات، نظریهٔ گونه‌ها را مطرح کردند که البته چندان رضایت‌بخش نبود.

در سال ۱۹۰۸، ارنست تسرملو اولین تلاش‌ها را برای ارائهٔ بنداشت‌های نظریهٔ مجموعه‌ها انجام داد و حاصل کار نظریه مجموعه‌های تسرملو بود. افکار او به‌وسیلهٔ آدولف فرانکیل و تورالف اسکولم مورد تصحیح قرار گرفت و به این ترتیب نظریه مجموعه‌های تسرملو-فرانکیل یا به اختصار ZF به‌وجود آمد. کمی بعد تسرملو بنداشتی با نام بنداشت انتخاب را به بنداشت‌های موضوع خود اضافه کرد و از آن برای اثبات قضیه خوشترتیبی استفاده کرد. ZF را به همراه بنداشت انتخاب ZFC می‌نامند.

علت این‌که این بنداشت را به عنوان عضوی الحاقی به ZF اضافه می‌کنند این است که این استفاده از این بنداشت در زمان خود و حتی تا کنون مورد بحث است.

هم‌زمان با تسرملو و فرانکیل، ریاضیدانانی چون جان فون نیومن، کورت گورل و پل برنیز نیز بر روی تنظیم دستگاه بنداشتی برای نظریهٔ مجموعه‌ها کار می‌کردند. کارهای آن‌ها موجب پیدایش نظریه مجموعه‌های فون نیومن-برنیز-گودل شد که در حقیقت با معرفی مفهوم جدیدی به نام کلاس به بررسی نظریهٔ مجموعه‌ها پرداختند.

البته علاوه بر این‌ها نظریه‌های دیگری نیز همچون نظریه مجموعه‌های مورس-کِلِی و مبانی جدید نیز پا به عرضه ظهور گذاشتند.

بنداشت های نظریهٔ مجموعه‌های تسرملو-فراکیل(ZF-ZFC)

همان‌طور که ذکر شد در سال 1908، ارنست تسرملو یک دستگاهی از بنداشت ها را برای نظریهٔ مجموعه‌ها پایه‌گذاری کرد که با تصحیح کارهای او به‌وسیلهٔ آدولف فرانکیل و تورالف اسکولم، نظریهٔ مجموعه‌های تسرملو-فرنکیل یا ZF به‌وجود آمد. کمی بعد تسرملو بنداشت جنجال برانگیزی به عنوان بنداشت انتخاب را به بنداشت‌های ZF اضافه کرد و سیستم بنداشت ZFC را پدید آورد. بسیاری از ریاضیدانان به بنداشت انتخاب با دید تردید نگاه می‌کردند و بحث‌های زیادی بر سر قرار دادن آن در میان بنداشت‌های نظریهٔ مجموعه‌ها انجام شده‌است اما به هر حال تسرملو از این بنداشت برای اثبات قضیه‌ای حیرت انگیز، یعنی قضیهٔ خوشترتیبی استفاده کرد.

نکته مهمی که باید در ZFC یادآور شد این است که در آن همهٔ اشیای مورد بحث مجموعه هستند و در حقیقت برای مقاصد ریاضی، به‌جز مجموعه‌ها به بررسی اشیا دیگری نیاز نداریم.

ده بنداشت ZFC در این قسمت لیست شده‌است. البته تمامی آن‌ها در اصل به زبان ریاضی بیان شده‌اند و ما در این‌جا تفسیر هر بنداشت را بیان می‌کنیم.

• بنداشت گسترش: دو مجموعه با هم برابرند اگر و فقط اگر اعضایشان یکسان باشد.
• بنداشت مجموعهٔ تهی: مجموعه‌ای وجود دارد که دارای هیچ عضوی نیست.
• بنداشت جداسازی: به ازای هر مجموعهٔ A و گزاره‌نمای (P(x، زیرمجموعه‌ای از A وجود دارد که دقیقاً شامل عناصری از A است که در (P(x صدق می‌کنند.
• بنداشت زوج‌سازی: اگر A و B دو مجموعه باشند، مجموعه‌ای چون C شامل دو مجوعهٔ A و B وجود دارد، یا به بیانی دیگر {A,B} نیز یک مجموعه‌است.
• بنداشت اجتماع: برای هر دستهٔ دلخواه از مجموعه‌ها، مجموعه‌ای وجود دارد که شامل عناصری است که به حداقل یکی از مجموعه‌های دسته مفروض تعلق دارند.
• بنداشت مجموعهٔ توانی: اگر A یک مجموعه باشد، مجموعه‌ای شامل همهٔ زیرمجموعه‌های مجموعهٔ A وجود دارد.
• بنداشت بسامانی (بنیاد):هر مجموعه عضوی دارد که از آن مجموعه جدا است. یعنی هر مجموعه دارای عضوی است که اشتراکش با خود آن مجموعه تهی است.(برای مطالعه در مورد این بنداشت و ارتباط آن با مفهوم مجموعه‌های خوش بنیاد به صفحهٔ مربوطه مراجعه کنید.)
• بنداشت بینهایت: مجموعه‌ای چون A وجود دارد که شامل مجموعهٔ تهی است و اگر x∈A آنگاه xU{x}∈A.
• بنداشت انتخاب:(این بنداشت صورت‌های متفاوتی دارد که یکی از ساده‌ترین آن‌ها در این‌جا عنوان شده‌است)اگر S دسته‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد، مجموعه‌ای چون R وجود دارد که اشتراکش با هر یک از اعضای S مجموعه‌ای تک‌عضوی است.
• بنداشت جایگزینی:اگر (S(x,y گزاره‌نمایی باشد که به‌وسیلهٔ آن بتوان برای هر x∈A، مجموعهٔ {(y:S(x,y} را تشکیل داد، آنگاه تابع F با دامنهٔ A وجود دارد که {(F(x)={y:s(x,y برای هر x∈A.

از میان این بنداشت‌ها، بنداشت انتخاب و بنداشت ترتیب، حتی تا کنون مورد بحث هستند. از سایر نظریه‌های بنداشتی مجموعه‌ها، می‌توان نظریهٔ مجموعه‌های فون نیومن-برنیز-گودل(NBG)، نظریهٔ مجموعه‌های مورس-کِلِی، نظریهٔ مجموعه‌های کریپک-پلاتک(KP) را نام برد. این نظریه‌ها همگی به نوعی با ZFC رابطه دارند.

از نظریه‌های مستقل از نظریه ZFC می‌توان از مبانی جدید و نظریهٔ مجموعه‌های مطلق نام برد.

سازگاری و عدم وابستگی در ZFC

حال که بنداشت‌هایی برای نظریهٔ مجموعه‌ها پایه‌گذاری شده‌است، ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا این بنداشت‌ها دستگاه بنداشتی سازگاری را تشکیل می‌دهد؟

یک دستگاه بنداشتی را سازگار می‌گوییم اگر در آن تناقض موجود نباشد. دستگاه بنداشتی ناسازگار که دارای تناقض باشد، قطعاً برای کار مناسب نخواهد بود چرا که از یک تناقض(گزاره همواره نادرست) هر نتیجه‌ای قابل برداشت است.

چگونه می‌توان مطمئن بود در دستگاه بنداشتی ارائه‌شده هیچ تناقضی رخ نمی‌دهد؟ تا کنون هیچ تناقضی کشف نشده‌است ولی از کجا می‌توان فهمید که هیچ تناقضی از نظر پنهان نمانده است؟

پاسخ این سوال متأسفانه این است که ما نمی‌توانیم مطمئن باشیم. برای کنکاش در مورد علت این مطلب باید به دوران ریاضیدان بزرگ قرن بیستم دیوید هیلبرت بازگردیم. هیلبرت قصد داشت ثابت کند که بنداشت‌های نظریهٔ مجموعه‌ها سازگار است. اثبات این مطلب برای برخی از دستگاه‌های بنداشتی ساده است. در برخی از دستگاه‌ها می‌توان با یافتن مدلی که این بنداشت‌ها را ارضا کند نشان داد که این بنداشت‌ها سازگار هستند و غالباً همه در استفاده از الگویی متناهی توافق دارند ولی این کار در مورد نظریهٔ مجموعه‌ها امکان پذیر نمی‌باشد چرا که وجود بنداشتی چون بنداشت بینهایت مانع از در نظر گرفتن چنین مدلی می‌شود.

ایدهٔ هیلبرت این بود که می‌توان از چیزی با قید کمتر هم استفاده کرد. وی آن چیز را یک فرایند تصمیمی خواند. این به اصطلاح یک برنامهٔ کامپیوتری متناهی است که وقتی با فرمولی از نظریهٔ مجموعه‌ها تغذیه می‌شود فرایندی را به‌کار می‌برد و تصمیم می‌گیرد که آن فرمول صادق است یا نه؟ اگر بتوان چنین برنامه‌ای پیدا کرد موثر واقع خواهد شد.

اما کورت گودل با اثبات دو قضیه همهٔ امیدها را بر باد داد. قضیه اول او نشان داد که در نظریهٔ مجموعه‌ها قضایایی وجود دارد که به‌وسیلهٔ بنداشت‌های نظریهٔ مجموعه‌ها نه اثباتی برای آن‌ها وجود دارد و نه تکذیبی. به عنوان مثال فرضیه پیوستار چنین وضعیتی دارد. در زیر فهرست بیشتری از این مسائل را می‌بینید:

• پنداشت پیوستار
• پنداشت سوسلین
• بنداشت الماس
• بنداشت‌های مارتین
• پنداشت کورپا
• بنداشت برساخت پذیری

همچنین برخی از بنداشت‌های نظریهٔ مجموعه‌ها مانند بنداشت انتخاب، مستقل از سایر بنداشت‌ها هستند(برای مطالعه بیشتر در این زمینه به بنداشت انتخاب مراجعه کنید). این به این معنی است که وضعیتی شبیه بنداشت توازی اقلیدس دارند، می‌توان آن‌ها را درست و نادرست دانست و در هر حال دستگاهی سازگار از بنداشت ها را بدست می‌آوریم و به‌علاوه به‌وسیلهٔ سایر بنداشت‌ها نیز قابل استنتاج نیستند.

قضیهٔ دوم گودل نشان داد که حتی اگر نظریهٔ مجموعه‌ها سازگار باشد، هیچ فرایند تصمیمی نظیر آن‌چه هیلبرت تصور می‌کرد وجود ندارد که سازگاری آن را اثبات کند.

اما آیا این به این معنی است که جستجو برای یک منطق دقیق‌تر در ریاضیات عبث است؟ اگر قرار باشد سرانجام کار کل مطلب در هوا معلق بماند به نظر تلاش برای تغییر آن به زحمتش نمی‌ارزد. قطعاً این نتیجه‌ای نیست که باید اتخاذ شود. بدون جستجو برای این دقت در ریاضیات قضایای گودل هم حاصل نمی‌شدند. این قضایا اجزای لاینفکی را از بنداشت‌ها نشان می‌دهند. آن‌ها روش بنداشتی را باطل جلوه نمی‌دهند، برعکس روش بنداشتی چارچوب مناسبی برای کل ریاضیات است، این قضایا نشان می‌دهند که هیچ چیز بی‌نقض نیست و همواره محدودیت‌هایی وجود خواهند داشت و ما فقط می‌توانیم در جهت بهبود آن‌ها تلاش کنیم.

نظریهٔ مجموعه‌ها(ZFC) به عنوان مبانی ریاضیات

همان‌طور که گفته شد با گسترش نظریهٔ مجموعه‌ها و به‌ویژه بنداشتی شدن آن، این نظریه به عنوان اساس ریاضیات قرار گرفت و همهٔ مفاهیم ریاضی چون اعداد، نظریهٔ ترتیب، رابطه، توابع و سایر مفاهیم یا مستقیماً به‌وسیله مجموعه‌ها تعریف شدند یا بر پایهٔ مفاهیم به‌دست آمده از آن‌ها.

به عنوان نمونه می‌توان به نحوهٔ تعریف زوج مرتب به‌وسیلهٔ مجموعه‌ها، ساختن اعداد طبیعی به‌وسیلهٔ بنداشت‌ها بنداشت‌های پیانو و نیز ساختن سایر اعداد اشاره کرد. سپس روابط بین دو مجموعه به عنوان مجموعه‌هایی از زوج‌های مرتب تعریف می‌شوند و ترتیب و تابع نوع خاصی از این روابط است.

به این ترتیب نظریهٔ مجموعه‌ها به زبان ریاضیات تبدیل شد که همهٔ تعریف‌ها به آن باز می‌گردد.

جستارهای وابسته

• بنداشت گسترش
• بنداشت جداسازی
• بنداشت زوج‌سازی
• بنداشت مجموعهٔ تهی
• بنداشت اجتماع
• بنداشت مجموعهٔ توانی
• بنداشت انتخاب
• بنداشت بینهایت
• بنداشت بسامانی (بنیاد)
• بنداشت جایگزینی
• نظریه طبیعی مجموعه‌ها
• نظریه مجموعه‌ها
• تاریخچه نمادهای نظریهٔ مجموعه‌ها و منطق

منابع

• پل ریچارد هالموس. نظریه طبیعی مجموعه‌ها. ترجمهٔ عبدالحمید دادالله. چاپ نوبت چاپ. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1373. ISBN 964-01-0052-8. 

• ایان استیوارت، دیوید تال. مبانی ریاضیات. ترجمهٔ محمد مهدی ابراهیمی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1376. ISBN 964-01-0253-9. 

• شووینگ تی.لین و یو-فنگ.لین. نظریه مجموعه‌ها و کاربرد آن. ترجمهٔ عمید رسولیان. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1384. ISBN 964-01-0462-0. 

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Axiomatic set theory»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۴ آگوست ۲۰۰۷).