ضرب داخلی

ضرب داخلی (به انگلیسی: Inner Product)، که ضرب نقطه‌ای (به انگلیسی: Dot Product) و ضرب اسکالر (به انگلیسی: Scalar Product) نیز نامیده می‌شود، یک عمل دوتایی بین دو بردار در فضای $n\!$ بعدی اقلیدسی است که نتیجه آن یک عدد حقیقی است.

بنابراین، ضرب داخلی دو کمیت برداری، یک کمیت نرده‌ای است.

تعریف

ضرب داخلی دو بردار $\mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]\!$ و $\mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]\!$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

که در اینجا، $\sum \!$ نماد جمع است.

برای دو بردار مختلط، ضرب داخلی به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}{a_{i}{\overline {b_{i}}}}$

که در اینجا، ${\overline {b_{i}}}$، مزدوج مختلط بردار $b_{i}$ است.

بیان هندسی

حاصلضرب داخلی A • B برابر است با $|\mathbf {A} |\,|\mathbf {B} |\cos \theta \,$.
$|\mathbf {A} |\,cos\theta \,$ اندازهٔ تصویر بردار A بر روی B است.

در هندسه اقلیدسی، ضرب داخلی به اندازهٔ بردارها و زاویهٔ بین آنها مربوط است. برای یک بردار دلخواه $\mathbf {a}$، ضرب داخلی $\mathbf {a}$ . $\mathbf {a}$ برابر با مجذور طول اقلیدسی بردار $\mathbf {a}$ است:

$|\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}=(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2})$

که |a| نشان‌دهندهٔ اندازه بردار a است.

همچنین اگر b یک بردار دیگر باشد، آنگاه:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,$

که |a| و |b| نشان‌دهندهٔ اندازهٔ بردارهای a و b و θ زاویهٔ بین دو بردار است.

جستارهای وابسته

• ضرب خارجی
• بردار
• تانسور
• متریک ریمانی

منابع

• جبر خطّی عددی (انگلیسی)

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقی‌مانده اقلیدسی ∧ بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ∨ کوچک‌ترین مضرب مشترک ترکیباتی () ضریب دوجمله‌ای P جایگشت C ترکیب	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ متمم نسبی ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل‌ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	بُرداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل‌ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر