معادله اویلر-لاگرانژ

در حساب وردشی، معادله‌ی اویلر-لاگرانژ (به انگلیسی: Euler–Lagrange equation)‏ (که با نام‌هایِ معادله‌ی اویلر یا معادله‌ی لاگرانژ هم شناخته می‌شود.) معادله‌ای دیفرانسیل است که که جواب‌هایِ آن به ما تابع‌هایی را می‌دهد که یک تابعی معین را تعادلی می‌کنند. این معادله‌ی دیفرانسیل را لئونارد اویلر، ریاضیدانِ سوئیسی و ژوزف لویی لاگرانژ، ریاضیدانِ ایتالیایی در دهه‌ی ۱۷۵۰ میلادی به دست آوردند.
از آن‌جایی که یک تابعِ مشتق‌پذیر، در نقطه‌ی بیشینه یا کمینه‌ی موضعیِ خود تعادلی می‌شود، معادله‌ی اویلر-لاگرانژ، زمانی کاربردی است که بخواهیم مسئله‌ای مربوط به بهینه‌سازی را حل کنیم که در آن یک تابعیِ معین داده شده و می‌خواهیم این تابعی را کمینه یا بیشینه کنیم. این قضیه قابلِ مقایسه با قضیه فرما در حساب دیفرانسیل و انتگرال است که می‌گوید یک تابعِ مشتق‌پذیر، در نقطه‌ای اکسترممِ موضعیِ دارد که مشتق آن صفر شود.
در مکانیک لاگرانژی، به خاطرِ اصلِ همیلتونیِ کمترین کنش، تغییرهایِ یک سیستمِ فیزیکی با جوابِ معادله‌ی اویلر-لاگرانژ برایِ آن رفتارِ آن سیستم توصیف می‌شود. در مکانیک کلاسیک، این اصل معادل با قانون‌هایِ حرکتِ نیوتون است، هر چند که این مزیت را دارد که در هر سیستمی با مختصات تعمیم‌یافته، فرمِ آن تغییر نمی‌کند و در نتیجه برایِ تعمیم دادن بسیار مناسب‌تر است.

تاریخچه

چهار نقطه از چهار موقعیتِ‌ مختلف بر رویِ سیکلوئید رها می‌شوند، اما همگی در زمانِ یکسانی به پایینِ آن می‌رسند. پیکان‌هایِ آبی، شتابِ نقطه‌ها را در طولِ منحنی نشان می‌دهد. در بالا، نمودارِ زمان-مکان نمایش داده شده است.

معادله‌ی اویلر-لاگرانژ در دهه‌ی 1750 میلادی، به وسیله‌ی اویلر و لاگرانژ به دست آمد، زمانی که آن‌ها مشغولِ حلِ مسئله‌ی خم هم‌زمانی بودند. مسئله‌ی منحنی هم‌زمانی درباره‌ی این است که چه‌طور می‌توان منحنی‌ای پیدا کرد که اگر از رویِ آن منحنی توپی را رها کنیم، زمانِ رسیدنِ توپ به پایینِ منحنی مقدارِ ثابتی باشد و فرقی نکند که توپ را از چه ارتفاعی از منحنی به پایین رها کرده‌ایم.
لاگرانژ این مسئله را در سال 1755 حل کرد و جواب را برایِ اویلر فرستاد. این دو به کمکِ هم، متدِ لاگرانژ را گسترش دادند و در حلِ‌ مسئله‌هایِ مکانیک به کار گرفتند، تلاشی که در نهایت به خلقِ مکانیک لاگرانژی ختم شد. مکاتبه‌هایِ آن‌ها، به خلقِ کاملِ حسابِ وردشی منجر شد، نخستین بار در سالِ 1766، اویلر بود که این نام را برایِ تکنیک‌های‌شان به کار برد.

صورت معادله

معادله‌ی لاگرانژ، معادله‌ای است که با حلِ آن، تابعِ qای را می‌یابیم که به ازایِ آن، مقدارِ انتگرالِ پایین کمینه یا بیشینه می‌شود:

$\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t$:

بخش‌هایِ مختلفِ این انتگرال عبارت‌اند از:

• $q$: تابع‌هایِ مختلفی وجود دارند که می‌توانند در داخلِ انتگرال قرار بگیرند. به ازایِ هر کدام از این تابع‌ها، مقدارِ‌ انتگرال (بینِ دو کرانِ آن که مقدارهایی ثابت‌اند)، مقداری متفاوت می‌شود. q تابعی است که می‌خواهیم بیابیم و مقدارِ‌ انتگرال را اکسترمم کند:

$\begin{align} q \colon [a, b] \subset \mathbb{R} & \to X \\ t & \mapsto x = q(t) \end{align}$

که q مشتق‌پذیر است و q(a) = x_a , q(b) = x_b .

• $q'$: مشتقِ تابعِ q است.

$\begin{align} q' \colon [a, b] & \to T_{q(t)}X \\ t & \mapsto v = q'(t) \end{align}$

که TX کلاف مماسیِ X است. (فضایِ مقدارهایِ ممکنِ مشتق‌هایِ تابع‌هایی که مقدارشان در X قرار دارد.)

• $L$: تابعی است که مشتق‌هایِ جزئیِ آن پیوسته‌اند:

$\begin{align} L \colon [a, b] \times X \times TX & \to \mathbb{R} \\ (t, x, v) & \mapsto L(t, x, v). \end{align}$

L تابعی است ثابت و معین که به عنوانِ ورودیِ یک تابعِ دلخواهِ دیگر را (به همراهِ مشتقش) گرفته و ترکیبی از این تابع و مشتق‌اش را به عنوانِ خروجی ارائه می‌کند.

در این صورت معادله‌ی اویلر-لاگرانژ، معادله‌ی زیر است که هر تابعِ qای که در آن صدق کند، مقدارِ انتگرال را اکسترمم می‌کند:

$L_x(t,q(t),q'(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L_v(t,q(t),q'(t)) = 0.$

در رابطه‌ی بالا، L_x مشتقِ جزئیِ L نسبت به $q$ و L_v مشتقِ جزئیِ L نسبت به $q'$ می‌باشد.

مثال

یک مثالِ استاندارد این است که تابعی پیدا کنید که از نقطه‌ی a به نقطه‌ی b برود و کمترین مسیرِ ممکن را طی کند. (f(a) = c و f(b) = d) اولین کاری که باید بکنیم، این است که انتگرالی پیدا کنیم که حلِ آن طولِ مسیر را به دست بدهد. به این ترتیب با مشتقِ جزئی گرفتن از انتگرال‌ده، می‌توانیم تابعی که انتگرال را کمینه یا بیشینه می‌کند بیابیم.

$\ell (f) = \int_{a}^{b} dl$

dl که طولِ یک جزء از مسیر است به کمکِ قضیه فیثاغورس به شکلِ زیر به دست می‌آید:

$dl^2 = dx^2 + dy^2$

با جایگذاریِ آن در انتگرال داریم:

$\ell (f) = \int_{a}^{b} \sqrt{dx^2+dy^2}$

اگر از dx فاکتور بگیریم و آن را از زیرِ رادیکال بیرون بیاوریم و به یاد داشته باشیم که dy/dx همان مشتق تابعِ f است، در نهایت رابطه‌ی زیر را خواهیم داشت:

$\ell (f) = \int_{a}^{b} \sqrt{1+(f'(x))^2}\,\mathrm{d}x,$

$L\left(x,y,y'\right) = \sqrt{1+y'^2}$ تابعی است که باید از آن انتگرال‌گیری کنیم. حال به کمکِ رابطه‌ی اویلر-لاگرانژ باید تابعِ yای را پیدا کنیم که انتگرالِ L را کمینه می‌کند. مشتق‌هایِ جزئیِ L عبارت‌اند از:

$\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y'} = \frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}} \quad \text{and} \quad \frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y} = 0.$

با جایگذاریِ این دو مقدار در معادله‌ی اویلر-لاگرانژ، به دست می‌آوریم:

$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{f'(x)}{\sqrt{1 + (f'(x))^2}} &= 0 \\ \frac{f'(x)}{\sqrt{1 + (f'(x))^2}} &= C = \text{constant} \\ \Rightarrow f'(x)&= \frac{C}{\sqrt{1-C^2}} := A \\ \Rightarrow f(x) &= Ax + B \end{align}$

به عبارت دیگر، ثابت کردیم که کوتاه‌ترین مسیر ممکن بینِ دو نقطه، خطِ راستی است که از این دو می‌گذرد.