قانون اعداد بزرگ: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده

درخط

نسخهٔ ‏۱۳ ژانویهٔ ۲۰۲۲، ساعت ۱۷:۱۳

در نظریهٔ احتمالات، قانون اعداد بزرگ قضیه‌ای است که نتیجهٔ انجام یک آزمایش مشابه را برای چندین بار توصیف می‌کند. طبق این قانون، میانگین نتایج به‌دست‌آمده از تعداد زیادی آزمایش، باید به مقدار مورد انتظار (امید ریاضی) نزدیک باشد و با انجام آزمایش‌های بیشتر به مقدار مورد انتظار نزدیک‌تر می‌شود.^[۱]

نکتهٔ مهم دربارهٔ قانون اعداد بزرگ این است که این قانون - همان‌طور که از نامش پیداست - تنها زمانی اعمال می‌شود که تعداد زیادی مشاهدات در نظر گرفته شود. هیچ اصلی وجود ندارد که تعداد کمی از مشاهدات با مقدار مورد انتظار منطبق شود.^[۲]

همچنین مهم است که توجه داشته باشید که قانون اعداد بزرگ فقط برای میانگین اعمال می‌شود. صورت ریاضی آن بدین شکل است:

\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {X_{i}}{n}}-{\overline {X}}=0

فرمول‌های دیگری که مشابه به نظر می‌رسند قابل قبول نیستند. مانند انحراف معیارِ "نتایج نظری":

\sum _{i=1}^{n}X_{i}-n\times {\overline {X}}

این فرمول نه تنها با افزایش n به سمت صفر همگرا نمی‌شود، بلکه با افزایش n به یک مقدار ثابت میل خواهد کرد.^[۳]

مثال ها

به عنوان یک مثال، وقتی یک تاس شش‌وجهی را یک بار بریزیم، یکی از عددهای ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ یا ۶ به دست خواهد آمد. اگر این آزمایش را تکرار کنیم، هر دفعه یکی از این اعداد به دست می‌آیند و اگر تاس نااریب باشد، احتمال دیده شدن این اعداد با هم برابر است. در نتیجه امید ریاضی عددی که با ریختن هر بار تاس به دست می‌آید طبق این فرمول:

{\tfrac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5.

برابر با ۳٫۵ است. طبق قانون اعداد بزرگ، هرگاه آزمایش ریختن تاس را به دفعات زیاد تکرار کنیم، میانگین اعدادی که به دست می‌آید تدریجاً به ۳٫۵ نزدیک خواهد شد.^[۴] به‌طور مثال می‌توان به آزمایش پرتاب سکه اشاره کرد. همان‌طور که می‌دانیم نتیجه این آزمایش توزیع برنولی دارد. اگر فقط یک بار آزمایش را انجام دهیم احتمال رو آمدن سکه برابر ۱/۲ است، طبق قانون اعداد بزرگ اگر تعداد پرتاب‌ها زیاد باشد نسبت تعداد رو آمدن‌ها به تعداد کل پرتاب‌ها به ۱/۲ میل می‌کند^[۴] مشخص است که اختلاف تعداد روها و پشت‌ها با زیاد شدن تعداد آزمایش‌ها افزایش پیدا می‌کند. پس احتمال کوچک بودن اختلاف روها و پشت‌ها به سمت عدد صفر میل می‌کند. هم چنین می‌توان نتیجه گرفت که نسبت اختلاف روها و پشت‌ها به تعداد کل پرتاب‌ها نیز به سمت صفر می‌روند. از این حقیقت در می‌یابیم که با وجود رشد اختلاف بین تعداد روها و پشت‌ها در انجام این آزمایش به دفعات زیاد، سرعت این رشد از سرعت افزایش تعداد کل پرتاب‌ها کم‌تر است.^[۴]

محدودیت ها

تاریخچه

اثبات قانون ضعیف

شکل های قانون اعداد بزرگ

دو شکل متفاوت برای قانون اعداد بزرگ وجود دارد که در زیر به بررسی آنها پرداخته شده است: قانون ضعیف اعداد بزرگ و قانون قوی اعداد بزرگ.^[۵]^[۶] برای دنباله نامتناهی X₁, X₂, ... که شامل متغیر های تصادفی مستقل با توزیع یکسان و با امید ریاضی های برابر ( E(X₁) = E(X₂) = ...= µ ) باشد، هر دو شکل قانون - با قطعیتی نسبی - بیان می‌دارد که میانگین نمونه

میتوان قانون اعداد بزرگ را به صورت خلاصه شده به شکل زیر نوشت:

\lim _{n\to \infty }{\tfrac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}=u

^[۷]

که در آن ${x_{1}},{x_{2}},...$ دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان و میانگین $u$ هستند.

(Gerolamo Cardano (۱۵۰۱–۱۵۷۶ جیرولامو کاردانو ریاضی‌دان ایتالیایی بدون اثبات ریاضی بر این باور بود که دقت نتایج تجربی در امار با افزایش تعداد دفعات آزمایش بیشتر می‌شود^[۸] این فرضیه بعدها تحت عنوان قانون اعداد بزرگ اثبات شد و مورد توجه قرار گرفت. حالت خاصی از این قانون برای متغیرهای برنولی برای نخستین بر توسط Jacob Bernoulli ژاکوب برنولی اثبات شد.^[۹] او این قانون را قضیه طلایی نامید، ولی بعدها با نام قانون اعداد بزرگ مشهور شد. در سال ۱۸۳۵ سیمون دنیز پواسون Siméon Denis Poisson این قانون را با نام قانون اعداد بزرگ توضیح داد. هم‌اکنون این قضیه با هر دو نام ذکر شده شناخته می‌شود.^[۱۰] بعد از برنولی و پواسون ریاضیدانان دیگری مانند مارکف، چبیشف، بورل و کولموگرف برای بهبود این تعریف و اثبات آن تلاش کردند و در نهایت الکساندر کینچین برای هر متغیر تصادفی دلخواه آن را اثبات کرد. این تلاشها منجر به پیدایش دو حالت مختلف از این قانون شد. این دو قسمت عبارت است از قانون ضعیف و قوی. قانون ضعیف و قوی اعداد بزرگ دو قانون متفاوت نیستند. در بلکه این دو قانون از دو دیدگاه متفاوت موضوع همگرایی احتمال وقتی تعداد دفعات آزمایش زیاد است به مقدار میانگین را توضیح می‌دهند. همچنین می‌توان قانون ضعیف را از قانون قوی نتیجه گرفت.^[۱۱]

گفتنی است نصرا... اعتمادی (1324 ش - ...)(1945 م - ...) احتمال دان ایرانی اثباتی بدیغ برای قانون اعداد بزرگ در سال 1981 م ارائه داد که هم اکنون در بسیاری از کتابهای نظریه احتمال مانند کتاب P. Billingsley) Probability and Measure) درج شده است. در این اثبات، شرط استقلال توام متغیرهای تصادفی به شرط استقلال دو به دو کاهش یافته است و افزون اینکه از شیوه ای بدیع در اثبات استفاده شده است.

منابع

↑ Dekking, Michel (2005). "A Modern Introduction to Probability and Statistics" (به انگلیسی).
↑ "Law of large numbers". Wikipedia (به انگلیسی). 2022-01-02.
↑ "Law of large numbers". Wikipedia (به انگلیسی). 2022-01-02.
↑ ^۴٫۰ ^۴٫۱ ^۴٫۲ http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Law_of_large_numbers&oldid=437185925
↑ Bhattacharya, Rabi; Lin, Lizhen; Patrangenaru, Victor (2016). A Course in Mathematical Statistics and Large Sample Theory. Springer Texts in Statistics. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4939-4032-5. ISBN 978-1-4939-4030-1.
↑ Dekking, Michel (2005). A Modern Introduction to Probability and Statistics. Springer. pp. 181–190. ISBN 9781852338961.
↑ شلدون راس، "مبانی احتمال" مترجمین: دکتر احمد پارسیان و دکتر علی همدانی
↑ Mlodinow, L. The Drunkard's Walk. New York: Random House, 2008. p. 50.
↑ Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, 1713, Chapter 4, (Translated into English by Oscar Sheynin)
↑ Hacking, Ian. (1983) "19th-century Cracks in the Concept of Determinism"
↑ http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Probability_theory&action

پیوند به بیرون

[۱]

[1] Dekking, Michel (2005). "A Modern Introduction to Probability and Statistics" (به انگلیسی).

[2] "Law of large numbers". Wikipedia (به انگلیسی). 2022-01-02.

[3] "Law of large numbers". Wikipedia (به انگلیسی). 2022-01-02.

[en.wikipedia.org-4] ۴٫۰ ^۴٫۱ ^۴٫۲ http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Law_of_large_numbers&oldid=437185925

[5] Bhattacharya, Rabi; Lin, Lizhen; Patrangenaru, Victor (2016). A Course in Mathematical Statistics and Large Sample Theory. Springer Texts in Statistics. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4939-4032-5. ISBN 978-1-4939-4030-1.

[:0-6] Dekking, Michel (2005). A Modern Introduction to Probability and Statistics. Springer. pp. 181–190. ISBN 9781852338961.

[7] شلدون راس، "مبانی احتمال" مترجمین: دکتر احمد پارسیان و دکتر علی همدانی

[8] Mlodinow, L. The Drunkard's Walk. New York: Random House, 2008. p. 50.

[9] Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, 1713, Chapter 4, (Translated into English by Oscar Sheynin)

[10] Hacking, Ian. (1983) "19th-century Cracks in the Concept of Determinism"

[11] ttp://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Probability_theory&action

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

[۷]

[۸]

[۹]

[۱۰]

[۱۱]

@@ خط ۲۰: / خط ۲۰: @@
 == شکل های قانون اعداد بزرگ ==
+دو شکل متفاوت برای '''قانون اعداد بزرگ''' وجود دارد که در زیر به بررسی آنها پرداخته شده است: ''قانون ضعیف اعداد بزرگ'' و '''''قانون قوی''' اعداد بزرگ''.<ref>{{Cite book|title=A Course in Mathematical Statistics and Large Sample Theory|last1=Bhattacharya|first1=Rabi|last2=Lin|first2=Lizhen|last3=Patrangenaru|first3=Victor|date=2016|publisher=Springer New York|isbn=978-1-4939-4030-1|series=Springer Texts in Statistics|location=New York, NY|doi=10.1007/978-1-4939-4032-5}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|title=A Modern Introduction to Probability and Statistics|url=https://archive.org/details/modernintroducti00fmde|url-access=limited|last=Dekking|first=Michel|publisher=Springer|year=2005|isbn=9781852338961|pages=[https://archive.org/details/modernintroducti00fmde/page/n191 181]–190}}</ref> برای دنباله نامتناهی ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ... که شامل [[متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان|متغیر های تصادفی مستقل با توزیع یکسان]] و با امید ریاضی های برابر ( E(''X''<sub>1</sub>) = E(''X''<sub>2</sub>) = ...= ''µ )'' باشد، هر دو شکل قانون - با قطعیتی نسبی - بیان می‌دارد که میانگین نمونه
-دو شکل متفاوت برای '''قانون اعداد بزرگ''' وجود دارد که در زیر به بررسی آنها پرداخته شده است: قانون ضعیف اعداد بزرگ و قانون قوی اعداد بزرگ.
 میتوان قانون اعداد بزرگ را به صورت خلاصه شده به شکل زیر نوشت:

ن ب و فرایندهای تصادفی
فرایند تصادفی	فرایند برنولی فرایند شاخه‌ای فرایند رستوران چینی فرایند گالتون-واتسون متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان زنجیره مارکوف فرایند مورن ولگشت Loop-erased ولگشت خودپرهیز (قدم زدن بدون قطع کردن خود)
Continuous time	Bessel process Birth–death process فرایند وینر Bridge Excursion Fractional Geometric Meander فرایند کوشی Contact process گام-تصادفی زمان-پیوسته Cox process Diffusion process Empirical process فرایند فلر فرایند فلمینگ-ویوت Gamma process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion فرایند ایتو Jump diffusion Jump process فرایند لوی Local time Markov additive process McKean–Vlasov process فرایند اورنستین-یولنبک فرایند پواسون Compound فرایند پواسون فرایند پواسون تحول شرام و لونر Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process فرایند وینر Wiener sausage
Both	فرایند شاخه‌ای Galves–Löcherbach model فرایند گاوسی مدل پنهان مارکف زنجیره مارکوف مارتینگیل Differences Local مارتینگیل مارتینگیل Random dynamical system Regenerative process نظریه تجدید Stochastic chains with memory of variable length نویز سفید
Fields and other	فرایند دیریکله Gaussian random field Gibbs measure شبکه هاپفیلد مدل آیزینگ Potts model شبکه بولی میدان تصادفی مارکفی نظریه تراوش فرایند پیتمن-یور فرایند نقطه ای Cox فرایند پواسون میدان تصادفی گراف تصادفی
سری زمانی	واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو میانگین متحرک خودهمبسته یکپارچه مدل خودهمبسته مدل خودهمبسته میانگین متحرک واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو مدل میانگین متحرک
Financial models	مدل بلک-درمن-توی Black–Karasinski مدل بلک-شولز مدل چن Constant elasticity of variance (CEV) مدل کاکس-اینگرسول-راس Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility مدل واسیچک Wilkie
بیمسنجی	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
نظریه صفs	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 صف M/M/1 M/M/c
Properties	تابع Càdlàg Continuous Continuous paths ارگادیسیتی متغیرهای تصادفی تعویض پذیر Feller-continuous فرآیندهای تصادفی گاوسی-مارکوف خاصیت مارکف Mixing Piecewise deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar فرایند مانا Time-reversible
Limit theorems	قضیه حد مرکزی Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems نظریه ارگودیک Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle قانون اعداد بزرگ قانون لگاریتم‌های تکراری Maximal ergodic theorem Sanov's theorem
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Kunita–Watanabe
Tools	Cameron–Martin formula همگرایی متغیرهای تصادفی Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem تابع Càdlàg Snell envelope معادله دیفرانسیل تصادفی Tanaka زمان توقف Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	بیمسنجی اقتصادسنجی نظریه ارگودیک نظریه مقدار حدی قضیه انحرافات بزرگ مالیه ریاضیاتی آمار ریاضی نظریه احتمالات نظریه صف نظریه تجدید Ruin theory آمار حسابان تصادفی سری زمانی یادگیری ماشین
List of topics