اصول احتمال

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات می توانیم مبحثی را با چند قانون شروع کنیم سپس با استفاده از این قوانین اولیه، قوانین دیگری به وجود آوریم. معمولاً این قوانین اولیه از نظر ریاضی بدیهی (self evident) هستند.به این قوانین اولیه اصول احتمال می‌گویند. نظریه احتمالات نیز چنین روندی را دنبال می کند و به قوانین اولیه آن اصول احتمال (به انگلیسی: probability axioms) می گویند.

در اینجا به اصول احتمال کولموگروف (Kolmogorov axioms) می‌پردازیم. این اصول عبارتند از:

  1. اگر F فضای نمونه و E پیشامدی از فضای نمونه باشد آنگاه
    P(E)\in\mathbb{R}, \ P(E)\geq 0 \qquad \forall E\subseteq F
  2. اگر F فضای نمونه باشد آنگاه
    P(F)=1
  3. اگر E1 و E2 و ... پیشامدهایی ناسازگار شمارش‌پذیر از فضای نمونه F باشند آنگاه
    P(E_1 \cup E_2 \cup \cdots) = \sum_{i=1}^\infty P(E_i).

حال با استفاده از این سه اصل به استخراج نتایجی می پردازیم.

احتمال زیرمجموعه‌های یک پیشامد[ویرایش]

گزاره: اگر \quad A\subseteq B\quad آنگاه P(A)\le P(B)

اثبات: چون  \quad A\subseteq B\quad است پس می توان  B را به صورت  B=A\cup(A'\cap B) نوشت و چون این دو پیشامد ناسازگار هستند بنا بر اصل 3 داریم:

P(B)=P(A)+P(A'\cap B)

و بنا بر اصل 1 چون P(A'\cap B)\ge 0 نتیجه به دست می آید (منظور از  A' متمم  A است).

احتمال مجموعه تهی[ویرایش]

گزاره: اگر F فضای نمونه و \empty نشان دهنده پیشامد تهی باشد آنگاه

P(\empty)=0

اثبات: می دانیم F\cup \empty=F و دو پیشامد ناسازگار هستند پس بنا بر اصل 2و 3 داریم

P(F\cup \empty)=P(F)+P(\empty)=1\Rightarrow  \; P(\empty)=0

کران بالا و پایین احتمال پیشامدهای فضای نمونه[ویرایش]

گزاره: اگر A پیشامدی از فضای نمونه F باشد آنگاه داریم

0\le P(A)\le 1

اثبات:

 \empty \subseteq A\subseteq F\Rightarrow  \;P(\empty)\le P(A)\le P(F)\Rightarrow  \;0 \le P(A) \le 1

احتمال متمم یک پیشامد[ویرایش]

گزاره:اگر A پیشامدی از فضای نمونه F و A' متمم پیشامد A باشد آنگاه

P(A')=1-P(A)

اثبات:

A\cup A'=F\Rightarrow  \;P(A\cup A')=P(F)\Rightarrow  \;P(A)+P(A')=1\Rightarrow  \;P(A')=1-P(A)

احتمال اجتماع دو پیشامد[ویرایش]

گزاره: اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونه F باشد آنگاه

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

اثبات:

(A \cup B)=A \cup (A' \cap B)\Rightarrow \;P(A \cup B)=P(A)+P(A' \cap B)
B=(A \cap B) \cup (A' \cap B)\Rightarrow \;P(B)=P(A \cap B)+P(A' \cap B)\Rightarrow \;P(A' \cap B)=P(B)-P(A \cap B)

با استفاده از نتایج به دست آمده در دو سطر بالا داریم

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

حکم ثابت می شود[۱][۲].

منابع[ویرایش]

  1. شلدون راس. مبانی احتمال. ویرایش هشتم. نشر شیخ بهایی، 1390. 31 الی 34. 
  2. آ.پاپولیس. آمار واحتمال. ویرایش سوم. پرنتیس هال، 1990. 

http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Probability_axioms&oldid=518152073}"Wikipedia، The Free Encyclopedia