متغیرهای تصادفی مستقل

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

پیشامدهای مستقل در حالت کلی اگر (P(A│B برابر با (P(A باشد، A از B مستقل است. می توان گفت زمانی که دانستن این که B اتفاق افتاده یا نیفتاده تأثیری در احتمال وقوع پیشامد A نداشته باشد این دو پیشامد مستقل هستند. چون P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} پس A و B مستقلند اگر P(A,B)=P(A)P(B)

نتیجه: دو پیشامد A و B مستقلند هرگاه رابطه ی بالا برقرار باشد. دوپیشامد را که مستقل نباشند، وابسته می گویند. از طرفی اگر A و B مستقل باشند، A و B^c نیز مستقل هستند. اثبات: A=AB∪AB^c→P(A)=P(AB)+P(AB^c )=P(A)P(B)+P(AB^c ) از طرفی P(AB^c )=P(A)[1-P(B) ]=P(A)P(B^c) و مطلب مورد نظر ثابت می شود.

بنابراین اگر A مستقل از B باشد احتمال وقوع A با داشتن اطلاع از عدم وقوعB هیچ تغییری نمی‌کند.

توجه: سه پیشامد A، B و C مستقلند اگر:


P(ABC)=P(A)P(B)P(C)


P(AB)=P(A)P(B)


P(AC)=P(A)P(C)


P(BC)=P(B)P(C)

توجه: یک مجموعه نامتناهی از پیشامدها را مستقل گویند اگر هر زیرمجموعه متناهی از آن ها مستقل باشند.

گاهی اوقات برای محاسبه ی احتمال یک آزمایش، می توان آن آزمایش را متشکل از دنباله ای از آزمایش ها در نظر گرفت. به طور مثال آزمایش پرتاب متوالی یک سکه را می توان تکرار آزمایش پرتاب یک سکه در نظر گرفت و بدیهی است که نتیجه ی یک آزمایش در نتیجه ی آزمایش دیگر هیچ تأثیری ندارد. در این شرایط گفته می شود که این زیر آزمایش ها مستقل هستند.

تعریف: زیر آزمایش ها مستقلند اگر E1، E2، ...، En، ... لزوماً دنباله ای از پیشامدهای مستقل باشند.Ei پیشامدی است که نتیجه آن در ارتباط با آزمایش iام حاصل شود.[۱]

متغیرهای تصادفی مستقل[ویرایش]

متغیرهای تصادفی  X , Y مستقل نامیده می‌شوند اگر و تنها اگر رابطهٔ زیر برقرار باشد

F_{X,Y}(x,y) = F_X(x) F_Y(y), \,

و یا اینکه

f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y). \,

که در اینجا  f_X(x), f_Y(y) به معنی تابع چگالی احتمال و   F_X(x), F_Y(y) به معنی تابع توزیع تجمعی احتمال است.[۲]

منابع[ویرایش]

  1. مبانی احتمال، ویرایش ششم، شلدرون راس، مترجمین: دکتر احمد پارسیان و دکتر علی همدانی، انتشارات شیخ بهایی
  2. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Independence_(probability_theory)&oldid=434097340

پیوند به بیرون[ویرایش]