میتروید

در ترکیبیات، مِیتروید (به انگلیسی: Matroid) (ممکن است در ترجمه ها به آن متروید، ماتروید و... هم گفته شود) ساختاری است که مفهوم استقلال خطی در فضاهای برداری را تجرید سازی کرده و تعمیم می دهد. از نظر اصول موضوعه منطقی، روش های بسیاری برای تعریف یک میتروید وجود دارد که مهم ترین آن ها ازین قرارند: براساس مجموعه ها؛ پایه ها؛ مدارها؛ توابع رتبه؛ عملگرهای بستار؛ مجموعه های بسته یا فلت‌ها. به زبان مجموعه های مرتب جزئی، یک میتروید متناهی معادل با مشبکه هندسی است.

نظریه میتروید به طور گسترده از واژگان جبر خطی و نظریه گراف وام گرفته، چرا که تجرید عمده مفاهیم مرکزی در این شاخه ها ما را به میتروید ها می رساند. میترویدها کاربردهایی در هندسه، توپولوژی، بهینه سازی ترکیبیاتی، نظریه شبکه و نظریه کد پیدا کرده اند.

تعریف ماتروید

$E$ را یک مجموعه در نظر بگیرید. ${\mathcal {I}}$ را زیرمجموعه‌ای از مجموعهٔ توانی $E$ بردارید، ${\mathcal {I}}\subseteq P(E)$ . اگر سه شرط زیر برای ${\mathcal {I}}$ برقرار باشد آنگاه جفت مرتب $(E,{\mathcal {I}})$ را یک ماتروید روی $E$ می‌نامیم. $E$ را مجموعهٔ پس‌زمینهٔ این ماتروید و ${\mathcal {I}}$ را گردایهٔ مجموعه‌های مستقل این ماتروید می‌نامیم. این سه شرط عبارت‌اند از:

1. $\emptyset \in {\mathcal {I}}$
2. $I\in {\mathcal {I}},J\subseteq I\Rightarrow J\in {\mathcal {I}}$
3. $I_{1},I_{2}\in {\mathcal {I}},|I_{1}|\gneq |I_{2}|\Rightarrow \exists e\in I_{1}-I_{2}{\text{ s.t. }}I_{2}\cup \{e\}\in {\mathcal {I}}$

مکمل ${\mathcal {I}}$ در $P(E)$ را گردایهٔ مجموعه‌های وابستهٔ این ماتروید می‌گویند. عناصر وابسته مینیمال نسبت به رابطهٔ شمول را چرخه‌های این ماتروید می‌گویند. عناصر مستقل ماکسیمال نسبت به رابطهٔ شمول، پایه‌های این ماتروید گفته می‌شوند. ماتروید را می‌توان بوسیلهٔ مجموعه‌های وابسته یا چرخه‌ها یا پایه‌هایش نیز معرفی نمود.

نمونه‌ها

در نظریهٔ گراف می‌توانید یک گراف را بردارید و مجموعهٔ پس‌زمینه را مجموعهٔ گره‌های آن برداشته و یک مجموعه از این گره‌ها را وابسته در نظر بگیرید هر گاه یک دور در زیرگراف القا شده از این گره‌ها وجود داشته باشد. به این ماتروید، ماتروید گرافی می‌گویند. در جبرخطی می‌توانید یک فضای برداری اتنخاب کرده و یک مجموعه بردار دلخواه از این فضا را به عنوان مجموعهٔ پس‌زمینه بردارید. یک مجموعه از این بردارها را وابسته گوئیم هر گاه وابستهٔ خطی باشند یعنی یک ترکیب خطی نابدیهی از آن‌ها صفر شود. به این ماتروید، ماتروید ماتریسی می‌گوئیم. علت این نامگذاری این است که می‌توان نمایش برداری این بردارها را در نظر گرفته و با کنار هم قرار دادن آن‌ها یک ماتریس داشت که آنگاه مجموعهٔ پس‌زمینهٔ ما گردایهٔ ستون‌های این ماتریس است. در جبرجابجایی می‌توان رابطهٔ وابستگی ماتروید را وابستگی جبری در نظر گرفت.

کاربرد

به‌طور کلی داشتن ساختار ماترویدی در یک بحث ریاضی باعث می‌شود که ابزارها و قضایای زیادی را از جبرخطی و نظریهٔ گراف که مرتبط با ساختار ماترویدی‌شان است را به مبحث موردنظر انتقال داد. مسئلهٔ مهم دیگر مطالعهٔ چرخه‌ها و پایه‌ها است. در بسیاری از موارد ریاضیدانان به دنبال یافتن بزرگترین‌ها و کوچکترین‌های صادق در یک سری شرایط هستند که به شناخت برخی اشیاء ریاضی و کار کردن با آن‌ها کمک می‌کند.

منابع

• Bruhn, Henning; Diestel, Reinhard; Kriesell, Matthias; Pendavingh, Rudi; Wollan, Paul (2013), "Axioms for infinite matroids", Advances in Mathematics, 239: 18–46, arXiv:1003.3919, doi:10.1016/j.aim.2013.01.011, MR 3045140, S2CID 10436077.
• Bryant, Victor; Perfect, Hazel (1980), Independence Theory in Combinatorics, London and New York: Chapman and Hall, ISBN 978-0-412-22430-0.
• Brylawski, Thomas H. (1972), "A decomposition for combinatorial geometries", Transactions of the American Mathematical Society, 171: 235–282, doi:10.2307/1996381, JSTOR 1996381.
• Crapo, Henry H. (1969), "The Tutte polynomial", Aequationes Mathematicae, 3 (3): 211–229, doi:10.1007/BF01817442, S2CID 119602825.
• Crapo, Henry H.; Rota, Gian-Carlo (1970), On the Foundations of Combinatorial Theory: Combinatorial Geometries, Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, ISBN 978-0-262-53016-3, MR 0290980.
• Geelen, Jim; Gerards, A. M. H.; Whittle, Geoff (2007), "Towards a matroid-minor structure theory", in Grimmett, Geoffrey; et al. (eds.), Combinatorics, Complexity, and Chance: A Tribute to Dominic Welsh, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, vol. 34, Oxford: Oxford University Press, pp. 72–82.
• Gerards, A. M. H. (1989), "A short proof of Tutte's characterization of totally unimodular matrices", Linear Algebra and Its Applications, 114/115: 207–212, doi:10.1016/0024-3795(89)90461-8.
• Kahn, Jeff; Kung, Joseph P. S. (1982), "Varieties of combinatorial geometries", Transactions of the American Mathematical Society, 271 (2): 485–499, doi:10.2307/1998894, JSTOR 1998894.
• Kingan, Robert; Kingan, Sandra (2005), "A software system for matroids", Graphs and Discovery, DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, pp. 287–296.
• Kung, Joseph P. S., ed. (1986), A Source Book in Matroid Theory, Boston: Birkhäuser, doi:10.1007/978-1-4684-9199-9, ISBN 978-0-8176-3173-4, MR 0890330.
• Mac Lane, Saunders (1936), "Some interpretations of abstract linear dependence in terms of projective geometry", American Journal of Mathematics, 58 (1): 236–240, doi:10.2307/2371070, JSTOR 2371070.
• Minty, George J. (1966), "On the axiomatic foundations of the theories of directed linear graphs, electrical networks and network-programming", Journal of Mathematics and Mechanics, 15: 485–520, MR 0188102.
• Nishimura, Hirokazu; Kuroda, Susumu, eds. (2009), A lost mathematician, Takeo Nakasawa. The forgotten father of matroid theory, Basel: Birkhäuser Verlag, doi:10.1007/978-3-7643-8573-6, ISBN 978-3-7643-8572-9, MR 2516551, Zbl 1163.01001.
• Oxley, James (1992), Matroid Theory, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853563-8, MR 1207587, Zbl 0784.05002.
• Recski, András (1989), Matroid Theory and its Applications in Electric Network Theory and in Statics, Algorithms and Combinatorics, vol. 6, Berlin and Budapest: Springer-Verlag and Akademiai Kiado, doi:10.1007/978-3-662-22143-3, ISBN 978-3-540-15285-9, MR 1027839.
• Sapozhenko, A.A. (2001) [1994], "میتروید", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Seymour, Paul D. (1980), "Decomposition of regular matroids", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 28 (3): 305–359, doi:10.1016/0095-8956(80)90075-1, hdl:10338.dmlcz/101946, Zbl 0443.05027.
• Truemper, Klaus (1992), Matroid Decomposition, Boston: Academic Press, ISBN 978-0-12-701225-4, MR 1170126.
• Tutte, W. T. (1959), "Matroids and graphs", Transactions of the American Mathematical Society, 90 (3): 527–552, doi:10.2307/1993185, JSTOR 1993185, MR 0101527.
• Tutte, W. T. (1965), "Lectures on matroids", Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B, 69: 1–47.
• Tutte, W.T. (1971), Introduction to the theory of matroids, Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics, vol. 37, New York: American Elsevier Publishing Company, Zbl 0231.05027.
• Vámos, Peter (1978), "The missing axiom of matroid theory is lost forever", Journal of the London Mathematical Society, 18 (3): 403–408, doi:10.1112/jlms/s2-18.3.403.
• van der Waerden, B. L. (1937), Moderne Algebra.
• Welsh, D. J. A. (1976), Matroid Theory, L.M.S. Monographs, vol. 8, Academic Press, ISBN 978-0-12-744050-7, Zbl 0343.05002.
• White, Neil, ed. (1986), Theory of Matroids, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 26, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-30937-0, Zbl 0579.00001.
• White, Neil, ed. (1987), Combinatorial geometries, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 29, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33339-9, Zbl 0626.00007
• White, Neil, ed. (1992), Matroid Applications, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 40, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38165-9, Zbl 0742.00052.
• Whitney, Hassler (1935), "On the abstract properties of linear dependence", American Journal of Mathematics, 57 (3): 509–533, doi:10.2307/2371182, hdl:10338.dmlcz/100694, JSTOR 2371182, MR 1507091. Reprinted in (Kung 1986), pp. 55–79.
• Whittle, Geoff (1995), "A characterization of the matroids representable over GF(3) and the rationals" (PDF), Journal of Combinatorial Theory, Series B, 65 (2): 222–261, doi:10.1006/jctb.1995.1052.

پیوندهای بیرونی

• "Matroid", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Kingan, Sandra : Matroid theory. A large bibliography of matroid papers, matroid software, and links.
• Locke, S. C. : Greedy Algorithms.
• Pagano, Steven R. : Matroids and Signed Graphs.
• Mark Hubenthal: A Brief Look At Matroids (PDF) (contain proofs for statements of this article)
• James Oxley : What is a matroid? (PDF)
• Neil White : Matroid Applications