ضرب داخلی: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده

درخط

نسخهٔ ‏۸ فوریهٔ ۲۰۰۹، ساعت ۱۵:۰۶

ضرب داخلی (به انگلیسی: Inner Product)، که ضرب نقطه‌ای (به انگلیسی: Dot Product) و ضرب اسکالر (به انگلیسی: Scalar Product) نیز نامیده می‌شود، یک عمل دوتایی بین دو بردار در فضای $n\!$ بعدی ^[۱] اقلیدسی است که نتیجه آن یک عدد حقیقی است.

بنابراین، ضرب داخلی دو کمیت برداری، یک کمیت نرده‌ای است.

تعریف

ضرب داخلی دو بردار $\mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdot ,a_{n}]\!$ و $\mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdot ,b_{n}]\!$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}

که Σ نماد جمع است.

برای دو بردار مختلط، ضرب داخلی به صورت زیر تعریف می‌شود:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum {a_{i}{\overline {b_{i}}}}

که ${\overline {b_{i}}}$ ، مزدوج مختلط بردار $b_{i}$ است.

بیان هندسی

در هندسه اقلیدسی، ضرب داخلی به اندازهٔ بردارها و زاویهٔ بین آنها مربوط است. برای یک بردار دلخواه a، ضرب داخلی a · a برابر با مجذور طول بردار a است:

|\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}

که |a| نشان‌دهندهٔ اندازه بردار a است.

همچنین اگر b یک بردار دیگر باشد، آنگاه:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,

که |a| و |b| نشان‌دهندهٔ اندازهٔ بردارهای a و b و θ زاویهٔ بین دو بردار است.

پانوشته‌ها

↑ $n\!$ بی‌نهایت هم می‌تواند باشد.

جستارهای وابسته

منابع

جبر خطّی عددی (انگلیسی)

این یک مقالهٔ خرد ریاضیات است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقی‌مانده اقلیدسی ∧ بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ∨ کوچک‌ترین مضرب مشترک ترکیباتی () ضریب دوجمله‌ای P جایگشت C ترکیب	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ متمم نسبی ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل‌ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	بُرداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل‌ضرب اشتراک	ترتیبی
	∪ cup-produit • حاصل‌ضرب اشتراک	+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر

[1] $n\!$ بی‌نهایت هم می‌تواند باشد.

[۱]

@@ خط ۱: / خط ۱: @@
-'''ضرب داخلی''' {{انگلیسی|Inner Product}}، که '''ضرب نقطه‌ای''' {{انگلیسی|Dot Product}} و '''ضرب اسکالر''' {{انگلیسی|Scalar Product}} نیز نامیده می‌شود، یک [[عملگر دوتایی]] بین دو [[بردار]] در فضای <math>n \!</math> بعدی [[فضای اقلیدسی|اقلیدسی]] است که نتیجه آن یک [[عدد حقیقی]] است.
+'''ضرب داخلی''' {{انگلیسی|Inner Product}}، که '''ضرب نقطه‌ای''' {{انگلیسی|Dot Product}} و '''ضرب اسکالر''' {{انگلیسی|Scalar Product}} نیز نامیده می‌شود، یک [[عمل دوتایی]] بین دو [[بردار]] در فضای <math>n \!</math> بعدی
+<ref><math>n \!</math> [[بی‌نهایت]] هم می‌تواند باشد.</ref> [[فضای اقلیدسی|اقلیدسی]] است که نتیجه آن یک [[عدد حقیقی]] است.
 بنابراین، ضرب داخلی دو [[کمیت برداری]]، یک [[کمیت نرده‌ای]] است.
 ==تعریف==
-ضرب داخلی دو بردار ['''a''' = [''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … , ''a''<sub>''n''</sub> و ['''b''' = [''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, … , ''b''<sub>''n''</sub> به صورت زیر تعریف می‌شود:
+ضرب داخلی دو بردار <math>\mathbf{a} = [a_1, a_2, \cdot, a_n] \!</math> و <math>\mathbf{b} = [b_1, b_2, \cdot, b_n] \!</math> به صورت زیر تعریف می‌شود:
 <div align = "left">
@@ خط ۳۹: / خط ۴۰: @@
 که |'''a'''| و |'''b'''| نشان‌دهندهٔ اندازهٔ بردارهای '''a''' و '''b''' و θ زاویهٔ بین دو بردار است.
+==پانوشته‌ها==
+<References />
 ==جستارهای وابسته==