اتحاد اویلر

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از تساوی اویلر)
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات اتحاد اویلر (به انگلیسی: Euler's identity) یا با نامی دیگر معادله اویلر، این اتحاد است که

و در آن

عدد اویلر، پایهٔ لگاریتم طبیعی،
یکه موهومی با رابطهٔ i2 = −۱، و
عدد پی، ثابت نسبت محیط دایره به قطرش است.

این اتحاد در آنالیز ریاضی به افتخار لئونارد اویلر ریاضیدان سوئیسی نامگذاری شده است؛ و به عنوان نمونه ای از زیبایی ریاضی شناخته می شود.

توضیح[ویرایش]

اتحاد اویلر حالت خاصی از فرمول اویلر در آنالیز مختلط است که بیان می‌دارد برای هر عدد حقیقی :

که در آن مقادیر توابع مثلثاتی و بر حسب رادیان است. پس اگر ، داریم:

و از آنجا که

و

نتیجه می‌شود:

که اتحاد اویلر را نتیجه می‌دهد:

زیبایی ریاضی[ویرایش]

اتحاد اویلر اغلب به عنوان نمونه‌ای از زیبایی عمیق ریاضی ذکر می‌شود.[۱] در آن سه تا از اعمال حسابی پایه دقیقاً یک بار روی می‌دهند: جمع، ضرب، و توان. این اتحاد همچنین پنج ثابت بنیادین ریاضی را به هم پیوند می‌دهد:[۲]

استاد ریاضیات دانشگاه استنفورد، کیث دولین گفته است، «مثل یک غزل شکسپیری که درست همان ماهیت واقعی عشق را مجسم می‌کند، یا نقاشیای که زیبایی شکل و قالب انسان را به نمایش می‌گذارد، که بسیار بیش تر و فراتر از صرفاً منافذ پوستین است، اتحاد اویلر به عمق واقعی هستی نائل می‌شود.»[۳] و پاول ناهین، استاد بازنشسته (یا به صورت افتخاری از خدمت معاف شده) دانشگاه نیوهمپشر، که کتابی مختص فرمول اویلر و کاربردهایش در آنالیز فوریه نوشته است، اتحاد اویلر را دارای «زیبایی اعلا» توصیف می‌کند.[۴]

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Gallagher, James (13 February 2014). "Mathematics: Why the brain sees maths as beauty". BBC News Online. Retrieved 18 May 2015.
  2. Paulos, p. 117.
  3. Nahin, 2006, p. 1.
  4. Nahin, 2006, p. xxxii.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Euler's identity». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۸ ژانویه ۲۰۱۳.