تساوی اویلر

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

اصل اویلر (به انگلیسی: Euler's identity) در آنالیز ریاضی که به افتخار لئونارد اویلر ریاضیدان سوئیسی نامگذاری شده

e^{i \pi} + 1 = 0

که در آن

e عدد اویلر، پایهٔ لگاریتم طبیعی
i یکه موهومی با رابطهٔ i2 = −1
\pi عدد پی است.

اصل اویلر حالت خاصی از فرمول اویلر در آنالیز مختلط است که بیان می‌دارد برای هر عدد حقیقی x:

e^{ix} = \cos x +  i\sin x \,\!

که در آن مقادیر توابع مثلثاتی \sin و \cos بر حسب رادیان است. پس اگر x=\pi، داریم:

e^{i \pi} = \cos \pi +  i\sin \pi.\,\!

و از آنجا که

\cos \pi = -1  \, \!

و

\sin \pi = 0,\,\!

نتیجه می‌شود:

e^{i \pi} = -1 + 0 i,\,\!

که اصل اویلر را نتیجه می‌دهد:

e^{i \pi} +1 = 0.\,\!

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Euler's identity»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۸ ژانویه ۲۰۱۳).