تجزیه مقدارهای منفرد

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
نمایش تصویری تجزیه مقدارهای منفرد دوبعدی، برش ماتریس M. در ابتدا دیسک واحد را با رنگ آبی با دو بردار واحد مشاهده می‌کنید. در ادامه تأثیر M را بر روی دیسک می‌بینم که دیسک را به بیضی تبدیل می‌کند. تجزیه مقدارهای منفرد M به سه تغییردهنده ساده تبدیل می‌شود: در ابتدا ماتریس دوران V و تجانس Σ در امتداد محورهای مختصاتی و در انتها چرخش U. طول σ1 و σ2 محورهای بیضی مقدار منفرد M هستند، یعنی Σ1,1 و Σ2,2.
تجزیه ضرب ماتریس‌ها در تجزیه مقدارهای منفرد

به عنوان یک تجزیه و فاکتورگیری ماتریسی، تجزیهٔ مقدارهای منفرد یا تجزیهٔ مقدارهای تکین (Singular value decomposition) قدمی اساسی در بسیاری از محاسبات علمی و مهندسی به‌حساب می‌آید.

مثال‌ها[ویرایش]

ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:

تجزیهٔ مقدارهای منفرد این ماتریس برای UΣV به صورت زیر است:

توجه داشته باشید که Σ خارج از خط مورب صفر (خاکستری ایتالیک) است و یک عنصر مورب صفر (قرمز پررنگ) است. علاوه بر این، به دلیل اینکه ماتریس‌های U و V∗ یکتا هستند، ضرب آن‌ها توسط ترانهاده مزدوج آن‌ها ضرب می‌شود، همان‌طور که در زیر نشان‌داده شده‌است. در این حالت، به دلیل اینکه U و V∗ حقیقی هستند، هر کدام یک ماتریس متعامد هستند.

در حالت خاص در صورتی که به صورت زیر انتخاب شود این تقسیم دیگر منحصر به فرد نیست.

همچنین یک تقسیم معتبر ارزش ویژه است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • Strang G (1998). "Introduction to Linear Algebra". Section 6.7. 3rd ed. , Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-5-5, en Parameter error in {{isbn}}: Invalid شابک..
  • Friedberg, S. H. , Insel, A. J. , Spence, L. E. (2003). "Linear Algebra", 4th ed. , Prentice Hall. ISBN 0-13-008451-4, en Parameter error in {{isbn}}: Invalid شابک.

پیوند به بیرون[ویرایش]