رویه دورانی

ساخت سطح دورانی با چرخاندن یک منحنی سینوسی به دور محوری z-ها

پرونده:200806 Berlin 19.JPG

حجم گنبد رایشس‌تاگ در برلین نیمی از یک کره‌گون دورانی کشیده است.

در فضای اقلیدسی سطح دَوَرانی سطحی است که حاصل چرخاندن یک منحنی (موسوم به منحنی مولد) حول یک محور ثابت است. سطوح دورانی همواره تقارن چرخشی دارند. استوانه قائم و سطوح مخروطی

توصیف هندسی

سطوح دورانی را می‌توان با چرخاندن منحنی مولد $c$ به دور محور ثابت $A$ ساخت. هر نقطهٔ $p$ از منحنی $c$ معرف دایرهٔ $C_{p}$ است که در صفحهٔ $S$ عمود بر محور $A$ قرار می‌گیرد. ازاین‌رو هر سطح دورانی شامل مجموعه‌ای است از دایره‌ها در صفحات موازی، که «دایره‌های موازی» نام دارند.

صفحات $M$، که محور $A$ را بر روی خود دارند، سطح $S$ را در منحنی‌های همنهشت $m$ (موسوم به «منحنی‌های نصف‌النهاری») قطع می‌کنند. صفحه‌های $S$ (شامل دایرهٔ $C_{p}$) و صفحه‌های $M$ (شامل منحنی‌های نصف‌النهاری $m$) برهم عمودند. ازاین‌رو هر منحنی نصف‌النهاری و دایرهٔ موازی با یکدیگر تشکیل زاویه قائمه می‌دهند. از مجموعهٔ منحنی‌های نصف‌النهاری و دایره‌های موازی روی سطح شبکه‌ای از منحنی‌های عمودبرهم تشکیل می‌شود.

صفحهٔ $T_{p}$ مماس بر نقطهٔ $p$ یک سطح دورانی را می‌توان با خط $t_{c}$ مماس بر دایرهٔ $C_{p}$ و خط $t_{m}$ مماس بر منحنی نیم‌روزی $m$ تعریف کرد. در هر نقطهٔ $p$، خط قائم $n_{p}$ بر خط مماس $t_{c}$ عمود است، بنابراین $n_{p}$ روی صفحهٔ نصف‌النهاری $M$ است و محور $A$ را در نقطهٔ مرکز کره‌ای قطع می‌کند که $p$ روی سطح آن است. این کره و سطح دورانی در یکی از دایره‌های موازی مماسند.

از آنجا که منحنی‌های نصف‌النهاری بهتر از دیگر منحنی‌ها نشانگر شکل نهایی سطحند، بهتر است در ایجاد سطوح دورانی از این منحنی‌ها استفاده شود. منحنی‌های نصف‌النهاری نسبت به محور دوران متقارنند، هر کدام از بخش‌های تقارن «منحنی نیم‌نصف‌النهاری» نام دارد. برای ایجاد سطح دورانی منحنی نصف‌النهاری را باید ۳۶۰° و منحنی‌های نیم‌نصف‌النهاری را ۱۸۰° درجه چرخاند.

اگر منحنی‌های نصف‌النهاری و محور دوران همدیگر را با زاویه‌ای به‌غیر از زاویهٔ ۹۰° همدیگر را قطع کنند، یک نقطه منفرد روی دورانی تشکیل می‌شود.

معادله سطح دورانی

معادله در دستگاه مختصات دکارتی

معادله استاندارد سطوح دورانی خاص در دستگاه مختصات دکارتی

کره‌گون دورانی پخ	$x^{2}/a^{2}+y^{2}/a^{2}+z^{2}/c^{2}=1$ ($a^{2}>c^{2}$)
کره‌گون دورانی کشیده	$x^{2}/a^{2}+y^{2}/a^{2}+z^{2}/c^{2}=1$ ($a^{2}<c^{2}$)
هذلولی‌گون دورانی دو‌صفحه‌ای	$x^{2}/a^{2}+y^{2}/a^{2}-z^{2}/c^{2}=-1$
هذلولی‌گون دورانی تک‌صفحه‌ای	$x^{2}/a^{2}+y^{2}/a^{2}-z^{2}/c^{2}=+1$
سهمی‌گون دورانی	$z=a\cdot (x^{2}+y^{2})$

اگر r=\sqrt{x^2+y^2} فاصله نقطه‌ای روی سطح از محور ثابت باشد، معادلهٔ صریح سطح دورانی به شکل زیر نوشته می‌شود:

$z=f(r)=f({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$

معادله پارامتری

برای یافتن معادله پارامتری یک سطح دورانی، باید ماتریس دوران حول محور را بر منحنی مولد $c$ اعمال کرد. فرض می‌شود محور ثابت محور $z$-های مختصاتی باشد. معادلهٔ دوران حول محور $z$-ها عبارت است از:

$x_{1}=x\cdot \cos u-y\cdot \sin u$,
$y_{1}=x\cdot \sin u+y\cdot \cos u$,
$z_{1}=z$.

با جایگزین کردن $y$، $x$، و $z$ با پارامترهای متناظر در معادلهٔ پارامتریک منحنی مولد $c$ (یعنی $c(v)=(x(v),y(v),z(v))$) نتیجهٔ زیر حاصل می‌شود:

$x(u,v)=x(v)\cdot \cos u-y(v)\cdot \sin u,$
$y(u,v)=x(v)\cdot \sin u+y(v)\cdot \cos u,$
$z(u,v)=z(v).$

یا به عبارت دیگر:

$S(u,v)={\begin{pmatrix}\cos u&-\sin u&0\\\sin u&\cos u&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x(v)\\y(v)\\z(v)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x(v)\cos u-y(v)\sin u\\x(v)\sin u+y(v)\cos u\\z(v)\end{pmatrix}}.$

اگر زاویهٔ دوران $u$ به همهٔ مقادیر بازهٔ $0\leq u\leq 2\pi$ (در مقیاس رادیان، برابر دوران ۳۶۰ درجه) تخصیص یابد، نتیجه یک سطح دورانی کامل خواهد بود. با استفاده از منحنی نصف‌النهاری $m(v)=(x(v),0,z(v))$ (که روی صفحهٔ $xy$ قرار دارد) به‌عنوان منحنی مولد می‌توان این معادله را به شکل زیر ساده ساخت:

$x(u,v)=x(v)\cdot cosu,$
$y(u,v)=x(v)\cdot sinu,$
$z(u,v)=z(v).$

این معادله با عنوان «نمایش استاندارد سطح دورانی» شناخته می‌شود.

سطوح دورانی خاص

سطوح درجهٔ دوم دورانی تبهگون

همچنین ببینید: استوانه و مخروط

سطح دورانی تولید شده با دوران پاره‌خط حول محور ثابت

استوانه و مخروط با چرخاندن پاره‌خطی راست حول محور ثابتی که با آن در یک صفحه باشد ایجاد می‌شوند. اگر این پاره‌خط با محور موازی باشد حجم حاصل استوانه و اگر محور را در نقطهٔ $v$ قطع کند حاصل مخروطی با راس $v$ خواهد بود. اگر پاره‌خط مولد با محور ثابت تقاطع نداشته باشد، حاصل دوران بریده مخروطی خواهد بود.

سطوح درجهٔ دوم با مقطع مخروطی به‌عنوان منحنی مولد

با منحنی مولد به شکل دایره

همچنین ببینید: کره و چنبره

کره و چنبره حجم‌هایی‌اند که با چرخاندن دایره حول یک محور ایجاد می‌شوند. با چرخاندن دایره به دور محوری که با آن در یک صفحه باشد چنبره به دست می‌آید. بسته به فاصلهٔ محور چرخش از مرکز دایره $(s)$ سه گونهٔ متفاوت چنبره ایجاد می‌شود. اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره از شعاع دایره کوچکتر باشد $(s<r)$ و محورْ دایره را در دو نقطه قطع کند حجم حاصل «چنبرهٔ دوکی»، اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره با شعاع دایره مساوی باشد $(s=r)$ و محورْ دایره را در یک نقطه لمس کند حجم حاصل «چنبرهٔ شاخی»، و اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره از شعاع دایره بیشتر باشد $(s>r)$ و محور با دایره تقاطع نداشته باشد حجم حاصل «چنبرهٔ حلقه‌ای» خواهد بود. چنبرهٔ حلقه‌ای در این میان ویژگی خاصی دارد و آن این است که علاوه بر دو خانوادهٔ دوایر نصف‌النهاری و دوایر موازی، دو خانوادهٔ از دوایر دیگر نیز در آن شکل می‌گیرد (یعنی هر نقطه روی سطح چنبرهٔ حلقه‌ای روی محیط چهار دایره روی سطح آن قرار دارد) که به دوایر ویلارسو موسومند.

اگر محور چرخش بر هر کدام از قطرهای دایره منطبق باشد $(s=0)$ حاصل کره خواهد بود (کره را می‌توان حالت خاص چنبره دانست).

سطوح دورانی تولید‌شده با چرخاندن دایره به دور محور ثابت A

با چرخاندن یک دایره به حول یک خط راست که با آن هم‌صفحه نباشد، یکی از دو حالت زیر اتفاق می‌افتد:

1. اگر خط نرمال (محور خارجی) بر مرکز دایره خط راست را قطع کند، حاصل بخشی از کره خواهد بود که بین دو دایرهٔ موازی قرار دارد.
2. اگر خط نرمال بر مرکز دایره خط راست را قطع نکند (نسبت به آن متنافر باشد)، حجم حاصل شامل حداقل سه خانواده از دایره‌های هم‌نهشت خواهد بود.

با منحنی مولد به شکل هذلولی

همچنین ببینید: هذلولی‌گون

هذلولی‌گون دورانی یکپارچه	هذلولی‌گون دورانی دوپارچه
کره‌گون پخ و کره‌گون کشیده	سهمی‌گون

با چرخش یک هذلولی به دور قطر کوچکش، «هذلولی‌گون دورانی یکپارچه» و با چرخش آن حول محور بزرگش «هذلولی‌گون دورانی دوپارچه» ایجاد می‌شود.

با منحنی مولد به شکل بیضی

با چرخاندن بیضی به دور هر یک از قطرهایش، سطحی حاصل می‌شود که به کره‌گون موسوم است. کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر بزرگش حاصل شود «کره‌گون کشیده» و کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل شود «کره‌گون پَخ» نام دارد.

با منحنی مولد به شکل سهمی

با چرخاندن سهمی به دور تنها قطرش، سطحی حاصل می‌شود که به سهمی‌گون موسوم است.

ویژگی‌ها

تقارن

سطوح دورانی همواره دارای خاصیت تقارن چرخشی هستند، چرا که اصولا با چرخاندن یک منحنی دو‌بعدی به محوریت یک خط صاف ایجاد می‌شوند. «تقارن چرخشی»، که به «تقارن آزیموتی» یا «تقارن استوانه‌ای» هم موسوم است، به تقارن حول یک خط صاف گفته می‌شود.

مساحت سطح دورانی

جزء سطح سطح دورانی‌ای که با چرخاندن منحنی مولد $y=f(x)>0$ به دور محور ثابت $x$ها تولید می‌شود در محدودهٔ $x=a$ تا $x=b$ عبارت است از:

${\begin{aligned}dS_{x}=2\pi yds\\=2\pi y{\sqrt {1+y'^{2}}}dx\end{aligned}}$

بنابراین مساحت این سطح برابر است با:

${\begin{aligned}S_{x}=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f^{\prime }(x)]^{2}}}dx\\=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+[{\frac {dy}{dx}}]^{2}}}dx\end{aligned}}$

به همین شکل مساحت سطح دورانی‌ای که با چرخاندن منحنی مولد $x=g(y)>0$ به دور محور ثابت $y$ها تولید می‌شود در محدودهٔ $y=c$ تا $y=d$ عبارت است از:

${\begin{aligned}S_{y}=2\pi \int _{c}^{d}g(y){\sqrt {1+[g^{'}(y)]^{2}}}dy\\=2\pi \int _{c}^{d}x{\sqrt {1+({\frac {dx}{dy}})^{2}}}dy\end{aligned}}$

در جدول زیر مساحت سطح جانبی سطوح دورانی خاص به شکل ساده‌تر آمده است.

مساحت سطح جانبی سطوح دورانی خاص

نام سطح	معادله مساحت
مخروط	$\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$
بریدهٔ مخروطی	$\pi (R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}$
استوانه	$2\pi rh$
کره‌گون دورانی کشیده	$2\pi a^{2}+{\frac {\pi c^{2}}{e}}ln({\frac {1+e}{1-e}})$
کره‌گون دورانی پخ	$2\pi a^{2}+{\frac {2\pi ac}{e}}sin^{-1}e$
کره	$4\pi r^{2}$
چنبره	$4\pi ^{2}ac$
$r$ شعاع، $h$ ارتفاع، $R_{1}$ و $R_{2}$ شعاع‌های بیرونی و درونی بریده، $e$ تخت‌شدگی کره‌گون، و $a$ و $c$ شعاع‌های نصف‌النهاری و قطبی (برای کره‌گون) یا شعاع مقطع مولد و دایره چرخش (برای چنبره) هستند.

صورت بنیادی نخست و دوم

با در نظر داشتن معادله استاندارد پارامتری سطوح دورانی، صورت بنیادی نخست سطح دورانی عبارت است از:

$E=(x(v))^{2},$
$F=0,$
$G=(x'(v))^{2}+(z'(v))^{2}.$

هر گاه $x(v)$ و $(x'(v))^{2}+(z'(v))^{2}$ مخالف صفر باشند، سطح منتظم است و صورت بنیادی دوم آن عبارت است از:

$e=-{\frac {|x(v)|z'(v)}{\sqrt {(x'(v))^{2}+(z'(v))^{2}}}},$
$f=0,$
$g={\frac {sgn(x(v))(x''(v)z'(v)-x'(v)z''(v))}{\sqrt {(x'(v))^{2}+(z'(v))^{2}}}}.$

بردار نرمال

معادله بردار نرمال واحد بر سطح دورانی عبارت است از:

${\hat {N}}(u,v)={\frac {sgn(x(v))}{\sqrt {(x'(v))^{2}+(z'(v))^{2}}}}{\begin{pmatrix}z'(v)\cos u\\z'(v)\sin u\\x'(v)\end{pmatrix}}$

انحناهای اصلی

معادله انحناهای اصلی سطح دورانی را می‌توان با استفاده از صورت بنیادی اول و دوم به‌دست آورد:

$\kappa _{1}={\frac {g}{G}}={\frac {sgn(x(v))(x''(v)z'(v)-x'(v)z''(v))}{(((x'(v))^{2}+(z'(v))^{2})^{\frac {3}{2}}}},$
$\kappa _{2}={\frac {e}{E}}=-{\frac {z'(v)}{|x(v)|{\sqrt {(x'(v))^{2}+(z'(v))^{2}}}}}.$

انحنای گاوسی و انحنای میانگین

انحنای گاوسی و انحنای میانگین سطح دورانی عبارت است از:

$K={\frac {-(z'(v))^{2}x''(v)+x'(v)z'(v)z''(v)}{(x(v)(x'(v))^{2}+(z'(v))^{2})^{2}}}$
$H={\frac {x(v)(x''(v)z'(v)-x'(v)z''(v))-z'(v)((x'(v))^{2}+(z'(v))^{2})}{2|x(v)|((x'(v))^{2}+(z'(v))^{2})^{\frac {3}{2}}}}$

سطوح دورانی گسسته

برای سهولت ساخت فیزیکی یا دیجیتال سطوح دورانی پیوسته نرم ابتدا سطوح به‌صورت گسسته ساخته می‌شوند. این کار با جایگزین کردن منحنی نصف‌النهاری با یک چندضلعی باز که تقریبی از آن باشد انجام می‌شود. هرچه تعداد رئوس این چندضلعی کمتر باشد، نرمی سطح حاصل کمتر خواهد بود. همچنین در مرحلهٔ بعد می‌توان مسیر چرخش (دایرهٔ عظمیه) را هم به‌صورت گسسته در‌آورد (آن را با یک چندضلعی بستهٔ منتظم محاط در دایره جایگزین کرد.) در این‌صورت حجم حاصل یک صفحهٔ چندوجهی خواهد بود.

سطوح دورانی نرم و گسسته

کاربرد

به‌دلیل سادگی اصل تشکیل سطوح دورانی، از آن‌ها در هنر، طراحی، و معماری استفادهٔ گسترده‌ای می‌شود.

منابع

فهرست منابع

• Krivoshapko, S.N.; Ivanov, V.N. (2015). Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-11773-7. Retrieved 2020-08-12.
• Pottmann, Helmut; Asperl, Andreas; Hofer, Michael; Kilian, Axel; Bentley, Daril (2007). Architectural geometry. Bentley Institute Press. ISBN 1-934493-04-X. OCLC 180177477.
• "Surface of Revolution -- from Wolfram MathWorld". Wolfram MathWorld (به انگلیسی). 2011-04-14. Retrieved 2020-08-11.