توابع معکوس مثلثاتی: تفاوت میان نسخهها
جز ربات: حذف میانویکی موجود در ویکیداده: ۲۶ میانویکی |
جز ویکیسازی رباتیک(۶.۸) >مجموعه اعداد حقیقی، تابعهای مثلثاتی، دورهٔ تناوب، عدد حقیقی، عدد مختلط+املا+تمی... |
||
خط ۱: | خط ۱: | ||
'''تابعهای وارون مثلثاتی''' در [[ریاضیات]]، [[تابع معکوس|وارون]] [[سینوس (ریاضیات)|تابعهای مثلثاتی]] اند که طبق تعریف تابع وارون، [[برد (ریاضی)|بُرد]] آنها [[زیرمجموعه|زیرمجموعهٔ]] دامنهٔ تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که تابعهای مثلثاتی هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای وارون آنها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آنها را محدود کرد (نگاه کنید به [[آزمون خط افقی]]). |
'''تابعهای وارون مثلثاتی''' در [[ریاضیات]]، [[تابع معکوس|وارون]] [[سینوس (ریاضیات)|تابعهای مثلثاتی]] اند که طبق تعریف تابع وارون، [[برد (ریاضی)|بُرد]] آنها [[زیرمجموعه|زیرمجموعهٔ]] دامنهٔ تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که [[تابعهای مثلثاتی]] هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای وارون آنها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آنها را محدود کرد (نگاه کنید به [[آزمون خط افقی]]). |
||
برای نمونه اگر تعریف کنیم <math>y = \operatorname{arcsin}(x)</math> آنگاه <math>x = \operatorname{sin}(y)</math> است |
برای نمونه اگر تعریف کنیم <math>y = \operatorname{arcsin}(x)</math> آنگاه <math>x = \operatorname{sin}(y)</math> است امابازای یک ''x'' یکتا میتوان چندین ''y'' پیدا کرد که به ازای آن <math>x = \operatorname{sin}(y)</math> شود، مانند ''y'' مساوی صفر، π و ۲π که به ازای همهٔ آنها مقدار سینوس یا ''x'' برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin میتواند میتواند چندین جواب داشته باشد <math>\operatorname{arcsin}(0)=0, \pi, 2\pi</math> درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابعهای وارون مثلثاتی محدودیت [[برد (ریاضی)|بُرد]] یا خروجی قرار میدهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند. |
||
تابعهای اصلی در جدول زیر آورده شدهاند: |
تابعهای اصلی در جدول زیر آورده شدهاند: |
||
خط ۱۰: | خط ۱۰: | ||
!تعریف |
!تعریف |
||
!بازهٔ ''x'' برای خروجی های حقیقی |
!بازهٔ ''x'' برای خروجی های حقیقی |
||
!برد تابع |
!برد تابع{{سخ}}([[رادیان]]) |
||
!برد تابع |
!برد تابع{{سخ}}([[درجه]]) |
||
|- |
|- |
||
| '''آرک سینوس''' || ''y'' = arcsin ''x'' || ''x'' = [[سینوس (ریاضیات)|sin]] ''y'' || ۱ ≥ ''x'' ≥ ۱− ||<math>-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}</math> || °۹۰ ≥ y ≥ °۹۰- |
| '''آرک سینوس''' || ''y'' = arcsin ''x'' || ''x'' = [[سینوس (ریاضیات)|sin]] ''y'' || ۱ ≥ ''x'' ≥ ۱− ||<math>-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}</math> || °۹۰ ≥ y ≥ °۹۰- |
||
خط ۲۷: | خط ۲۷: | ||
|- |
|- |
||
|} |
|} |
||
==رابطهٔ میان تابعهای وارون مثلثاتی== |
== رابطهٔ میان تابعهای وارون مثلثاتی == |
||
[[پرونده:Arcsine Arccosine.svg|168px| |
[[پرونده:Arcsine Arccosine.svg|168px|بندانگشتی|نمودار تابع های<math>\operatorname{arcsin}(x)</math> (قرمز) و <math>\operatorname{arccos}(x)</math> (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.]] |
||
[[پرونده:Arctangent Arccotangent.svg|294px| |
[[پرونده:Arctangent Arccotangent.svg|294px|بندانگشتی|نمودار تابع های<math>\operatorname{arctan}(x)</math> (قرمز) و <math>\operatorname{arccot}(x)</math> (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.]] |
||
[[پرونده:Arcsecant Arccosecant.svg|294px| |
[[پرونده:Arcsecant Arccosecant.svg|294px|بندانگشتی|نمودار تابع های<math>\operatorname{arcsec}(x)</math> (قرمز) و <math>\operatorname{arccsc}(x)</math> (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.]] |
||
زاویههای مکمل: |
زاویههای مکمل: |
||
خط ۵۳: | خط ۵۳: | ||
:<math>\arccos (1/x) \,= \arcsec x \,</math> |
:<math>\arccos (1/x) \,= \arcsec x \,</math> |
||
:<math>\arcsin (1/x) \,= \arccsc x \,</math> |
:<math>\arcsin (1/x) \,= \arccsc x \,</math> |
||
:<math>\arctan (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arctan x =\arccot x,\text{ if }x |
:<math>\arctan (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arctan x =\arccot x,\text{ if }x> 0 \,</math> |
||
:<math>\arctan (1/x) = -\tfrac{1}{2}\pi - \arctan x = -\pi + \arccot x,\text{ if }x < |
:<math>\arctan (1/x) = -\tfrac{1}{2}\pi - \arctan x = -\pi + \arccot x,\text{ if }x <0 \,</math> |
||
:<math>\arccot (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arccot x =\arctan x,\text{ if }x |
:<math>\arccot (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arccot x =\arctan x,\text{ if }x> 0 \,</math> |
||
:<math>\arccot (1/x) = \tfrac{3}{2}\pi - \arccot x = \pi + \arctan x,\text{ if }x < |
:<math>\arccot (1/x) = \tfrac{3}{2}\pi - \arccot x = \pi + \arctan x,\text{ if }x <0 \,</math> |
||
:<math>\arcsec (1/x) = \arccos x \,</math> |
:<math>\arcsec (1/x) = \arccos x \,</math> |
||
:<math>\arccsc (1/x) = \arcsin x \,</math> |
:<math>\arccsc (1/x) = \arcsin x \,</math> |
||
خط ۶۵: | خط ۶۵: | ||
:<math>\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} </math> |
:<math>\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} </math> |
||
{{پایان چپچین}} |
{{پایان چپچین}} |
||
هرگاه از ریشهٔ دوم یک عدد مختلط استفاده شد، باید ریشهٔ با بخش حقیقی مثبت را انتخاب کرد (یا بخش موهومی مثبت، اگر خود آن، عدد حقیقی منفی بود). |
هرگاه از ریشهٔ دوم یک [[عدد مختلط]] استفاده شد، باید ریشهٔ با بخش حقیقی مثبت را انتخاب کرد (یا بخش موهومی مثبت، اگر خود آن، [[عدد حقیقی]] منفی بود). |
||
با استفاده از رابطهٔ [[رابطههای نیم-زاویه|نیم-زاویه]] <math>\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} </math> خواهیم داشت: |
با استفاده از رابطهٔ [[رابطههای نیم-زاویه|نیم-زاویه]] <math>\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} </math> خواهیم داشت: |
||
خط ۷۱: | خط ۷۱: | ||
:<math>\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}</math> |
:<math>\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}</math> |
||
:<math>\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},\text{ if }-1 < |
:<math>\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},\text{ if }-1 <x \leq +1 </math> |
||
:<math>\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}</math> |
:<math>\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}</math> |
||
{{پایان چپچین}} |
{{پایان چپچین}} |
||
==رابطههای میان تابعهای مثلثاتی و تابعهای وارون مثلثاتی== |
== رابطههای میان تابعهای مثلثاتی و تابعهای وارون مثلثاتی == |
||
{{چپچین}} |
{{چپچین}} |
||
:<math>\sin (\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}</math> |
:<math>\sin (\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}</math> |
||
خط ۸۸: | خط ۸۸: | ||
{{پایان چپچین}} |
{{پایان چپچین}} |
||
==راه حل کلی== |
== راه حل کلی == |
||
تابعهای مثلثاتی در مجموعهٔ اعداد حقیقی، همگی تابعهای متناوب اند و در بازههایی به اندازهٔ ۲π مقدار همهٔ آنها مرتب تکرار میشود. دورهٔ تناوب تابعهای سینوس و کسکانت از ۲πk − π/۲ (به ازای kهای عضو مجموعهٔ اعداد صحیح) شروع میشود و در ۲πk + π/۲ تمام میشود، درنتیجه مقدار تابع میان بازهٔ ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ دوباره بر روی خودش باز میگردد. دورهٔ تناوب کسینوس و سکانت از ۲πk شروع میشود و در ۲πk + π تمام میشود و مقدار تابع در فاصلهٔ میان ۲πk + π تا ۲πk + ۲π دوباره بر روی خودش باز میگردد. دورهٔ تناوب تانژانت از ۲πk − π/۲ شروع میشود و در ۲πk + π/۲ تمام میشود و مقدار تابع به ازای بازههای ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ مرتب تکرار میشود. دورهٔ تناوب کتانژانت از ۲πk شروع میشود و در ۲πk + π تمام میشود، و تابع به ازای بازههای ۲πk + π تا ۲πk + ۲π بر روی خودش باز میگردد. |
تابعهای مثلثاتی در مجموعهٔ اعداد حقیقی، همگی تابعهای متناوب اند و در بازههایی به اندازهٔ ۲π مقدار همهٔ آنها مرتب تکرار میشود. [[دورهٔ تناوب]] تابعهای سینوس و کسکانت از ۲πk − π/۲ (به ازای kهای عضو مجموعهٔ اعداد صحیح) شروع میشود و در ۲πk + π/۲ تمام میشود، درنتیجه مقدار تابع میان بازهٔ ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ دوباره بر روی خودش باز میگردد. دورهٔ تناوب کسینوس و سکانت از ۲πk شروع میشود و در ۲πk + π تمام میشود و مقدار تابع در فاصلهٔ میان ۲πk + π تا ۲πk + ۲π دوباره بر روی خودش باز میگردد. دورهٔ تناوب تانژانت از ۲πk − π/۲ شروع میشود و در ۲πk + π/۲ تمام میشود و مقدار تابع به ازای بازههای ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ مرتب تکرار میشود. دورهٔ تناوب کتانژانت از ۲πk شروع میشود و در ۲πk + π تمام میشود، و تابع به ازای بازههای ۲πk + π تا ۲πk + ۲π بر روی خودش باز میگردد. |
||
این تناوب در تابعهای وارون نیز به همین ترتیب ادامه دارد، با فرض اینکه ''k'' عدد صحیحی است داریم: |
این تناوب در تابعهای وارون نیز به همین ترتیب ادامه دارد، با فرض اینکه ''k'' عدد صحیحی است داریم: |
||
خط ۱۰۱: | خط ۱۰۱: | ||
{{پایان چپچین}} |
{{پایان چپچین}} |
||
==مشتق تابعهای وارون مثلثاتی== |
== مشتق تابعهای وارون مثلثاتی == |
||
{{نوشتار اصلی|مشتق تابعهای مثلثاتی}} |
{{نوشتار اصلی|مشتق تابعهای مثلثاتی}} |
||
[[مشتق]] ساده این نوع تابعها، به ازای ''x'' |
[[مشتق]] ساده این نوع تابعها، به ازای ''x''های مختلط و حقیقی به قرار زیر است: |
||
{{چپچین}} |
{{چپچین}} |
||
:<math> |
:<math> |
||
خط ۱۱۵: | خط ۱۱۵: | ||
\end{align}</math> |
\end{align}</math> |
||
{{پایان چپچین}} |
{{پایان چپچین}} |
||
رابطههای زیر ویژهٔ ''x'' |
رابطههای زیر ویژهٔ ''x''های حقیقی است: |
||
{{چپچین}} |
{{چپچین}} |
||
:<math> |
:<math> |
||
\begin{align} |
\begin{align} |
||
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| |
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x|> 1\\ |
||
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| |
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x|> 1 |
||
\end{align}</math> |
\end{align}</math> |
||
{{پایان چپچین}} |
{{پایان چپچین}} |
||
خط ۱۲۷: | خط ۱۲۷: | ||
:<math>\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> |
:<math>\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> |
||
{{پایان چپچین}} |
{{پایان چپچین}} |
||
==استفاده از انتگرالهای معین== |
== استفاده از انتگرالهای معین == |
||
عبارت انتگرالی برابر با تابعهای وارون مثلثاتی به قرار زیر است: |
عبارت انتگرالی برابر با تابعهای وارون مثلثاتی به قرار زیر است: |
||
{{چپچین}} |
{{چپچین}} |
||
خط ۱۴۴: | خط ۱۴۴: | ||
<!-- When x equals 1, the integrals with limited domains are improper integrals, but still well-defined. --> |
<!-- When x equals 1, the integrals with limited domains are improper integrals, but still well-defined. --> |
||
==سریهای نامتناهی== |
== سریهای نامتناهی == |
||
مانند تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع را نیز میتوان به کمک [[سری (ریاضیات)|سریهای نامتناهی]] محاسبه کرد: |
مانند تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع را نیز میتوان به کمک [[سری (ریاضیات)|سریهای نامتناهی]] محاسبه کرد: |
||
{{چپچین}} |
{{چپچین}} |
||
خط ۲۱۹: | خط ۲۱۹: | ||
:<math>\arctan z = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{\,2n}\,(n!)^2}{\left(2n+1\right)!} \; \frac{z^{\,2n+1}}{\left(1+z^2\right)^{n+1}}</math> |
:<math>\arctan z = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{\,2n}\,(n!)^2}{\left(2n+1\right)!} \; \frac{z^{\,2n+1}}{\left(1+z^2\right)^{n+1}}</math> |
||
{{پایان چپچین}} |
{{پایان چپچین}} |
||
==انتگرال نامعین تابعهای وارون مثلثاتی== |
== انتگرال نامعین تابعهای وارون مثلثاتی == |
||
برای تمامی ''x'' |
برای تمامی ''x''های حقیقی و مختلط، رابطههای زیر برقرار است: |
||
{{چپچین}} |
{{چپچین}} |
||
:<math> |
:<math> |
||
خط ۲۳۲: | خط ۲۳۲: | ||
\end{align}</math> |
\end{align}</math> |
||
{{پایان چپچین}} |
{{پایان چپچین}} |
||
تنها برای ''x'' ≥ ۱ که عضو مجموعه اعداد حقیقی اند: |
تنها برای ''x'' ≥ ۱ که عضو [[مجموعه اعداد حقیقی]] اند: |
||
{{چپچین}} |
{{چپچین}} |
||
:<math> |
:<math> |
||
خط ۲۴۱: | خط ۲۴۱: | ||
{{پایان چپچین}} |
{{پایان چپچین}} |
||
تمامی رابطههای بالا به کمک انتگرالگیری جزء به جژء قابل دستیابی است. |
تمامی رابطههای بالا به کمک انتگرالگیری جزء به جژء قابل دستیابی است. |
||
===نمونه=== |
=== نمونه === |
||
با استفاده از <math>\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u</math> داریم: |
با استفاده از <math>\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u</math> داریم: |
||
{{چپچین}} |
{{چپچین}} |
||
خط ۲۷۰: | خط ۲۷۰: | ||
:<math>\int \arcsin(x)\, \mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C </math> |
:<math>\int \arcsin(x)\, \mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C </math> |
||
{{پایان چپچین}} |
{{پایان چپچین}} |
||
== |
== منابع == |
||
{{پانویس}} |
|||
*{{یادکرد-ویکی |
*{{یادکرد-ویکی |
||
|پیوند = http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Inverse_trigonometric_functions&oldid=448957655 |
|پیوند = http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Inverse_trigonometric_functions&oldid=448957655 |
||
خط ۲۷۷: | خط ۲۷۸: | ||
|بازیابی = ۷ سپتامبر ۲۰۱۱ |
|بازیابی = ۷ سپتامبر ۲۰۱۱ |
||
}} |
}} |
||
==جستارهای وابسته== |
== جستارهای وابسته == |
||
* [[سینوس (ریاضیات)]] |
* [[سینوس (ریاضیات)]] |
||
* [[فهرست اتحادهای مثلثاتی]] |
* [[فهرست اتحادهای مثلثاتی]] |
||
خط ۲۸۵: | خط ۲۸۶: | ||
[[رده:توابع ریاضی]] |
[[رده:توابع ریاضی]] |
||
[[رده:مثلثات]] |
[[رده:مثلثات]] |
||
[[رده:ویکیسازی رباتیک]] |
نسخهٔ ۳۱ اکتبر ۲۰۱۳، ساعت ۱۷:۳۹
تابعهای وارون مثلثاتی در ریاضیات، وارون تابعهای مثلثاتی اند که طبق تعریف تابع وارون، بُرد آنها زیرمجموعهٔ دامنهٔ تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که تابعهای مثلثاتی هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای وارون آنها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آنها را محدود کرد (نگاه کنید به آزمون خط افقی).
برای نمونه اگر تعریف کنیم آنگاه است امابازای یک x یکتا میتوان چندین y پیدا کرد که به ازای آن شود، مانند y مساوی صفر، π و ۲π که به ازای همهٔ آنها مقدار سینوس یا x برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin میتواند میتواند چندین جواب داشته باشد درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابعهای وارون مثلثاتی محدودیت بُرد یا خروجی قرار میدهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند.
تابعهای اصلی در جدول زیر آورده شدهاند:
نام | نماد ریاضی | تعریف | بازهٔ x برای خروجی های حقیقی | برد تابع (رادیان) |
برد تابع (درجه) |
---|---|---|---|---|---|
آرک سینوس | y = arcsin x | x = sin y | ۱ ≥ x ≥ ۱− | °۹۰ ≥ y ≥ °۹۰- | |
آرک کسینوس | y = arccos x | x = cos y | ۱ ≥ x ≥ ۱− | ۱۸۰° ≥ y ≥ °۰ | |
آرک تانژانت | y = arctan x | x = tan y | تمامی اعداد حقیقی | °۹۰ ≥ y ≥ °۹۰- | |
آرک کتانژانت | y = arccot x | x = cot y | تمامی اعداد حقیقی | ۱۸۰° ≥ y ≥ °۰ | |
آرک سکانت | y = arcsec x | x = sec y | x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x | ۱۸۰° ≥ y ≥ °۰ و y≠۹۰° | |
آرک کسکانت | y = arccsc x | x = csc y | x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x | °۹۰ ≥ y ≥ °۹۰- و y≠۰° |
رابطهٔ میان تابعهای وارون مثلثاتی
زاویههای مکمل:
ورودیهای با علامت مخالف:
ورودیهای وارون شده:
در صورتی که تنها بخشی از جدول سینوس را داشته باشیم:
هرگاه از ریشهٔ دوم یک عدد مختلط استفاده شد، باید ریشهٔ با بخش حقیقی مثبت را انتخاب کرد (یا بخش موهومی مثبت، اگر خود آن، عدد حقیقی منفی بود).
با استفاده از رابطهٔ نیم-زاویه خواهیم داشت:
رابطههای میان تابعهای مثلثاتی و تابعهای وارون مثلثاتی
راه حل کلی
تابعهای مثلثاتی در مجموعهٔ اعداد حقیقی، همگی تابعهای متناوب اند و در بازههایی به اندازهٔ ۲π مقدار همهٔ آنها مرتب تکرار میشود. دورهٔ تناوب تابعهای سینوس و کسکانت از ۲πk − π/۲ (به ازای kهای عضو مجموعهٔ اعداد صحیح) شروع میشود و در ۲πk + π/۲ تمام میشود، درنتیجه مقدار تابع میان بازهٔ ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ دوباره بر روی خودش باز میگردد. دورهٔ تناوب کسینوس و سکانت از ۲πk شروع میشود و در ۲πk + π تمام میشود و مقدار تابع در فاصلهٔ میان ۲πk + π تا ۲πk + ۲π دوباره بر روی خودش باز میگردد. دورهٔ تناوب تانژانت از ۲πk − π/۲ شروع میشود و در ۲πk + π/۲ تمام میشود و مقدار تابع به ازای بازههای ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ مرتب تکرار میشود. دورهٔ تناوب کتانژانت از ۲πk شروع میشود و در ۲πk + π تمام میشود، و تابع به ازای بازههای ۲πk + π تا ۲πk + ۲π بر روی خودش باز میگردد.
این تناوب در تابعهای وارون نیز به همین ترتیب ادامه دارد، با فرض اینکه k عدد صحیحی است داریم:
مشتق تابعهای وارون مثلثاتی
مشتق ساده این نوع تابعها، به ازای xهای مختلط و حقیقی به قرار زیر است:
رابطههای زیر ویژهٔ xهای حقیقی است:
برای مشتق ساده اگر باشد، آنگاه داریم:
استفاده از انتگرالهای معین
عبارت انتگرالی برابر با تابعهای وارون مثلثاتی به قرار زیر است:
سریهای نامتناهی
مانند تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع را نیز میتوان به کمک سریهای نامتناهی محاسبه کرد:
همچنین لئونارد اویلر برای وارون تانژانت، سری کارآمدتری را پیدا کرد، که عبارت است از:
هشدار: به ازای n= ۰ عبارت به یک ضرب تهی تبدیل میشود که خود برابر با ۱ است. همچنین در ادامه میتوان نشان داد که:
انتگرال نامعین تابعهای وارون مثلثاتی
برای تمامی xهای حقیقی و مختلط، رابطههای زیر برقرار است:
تنها برای x ≥ ۱ که عضو مجموعه اعداد حقیقی اند:
تمامی رابطههای بالا به کمک انتگرالگیری جزء به جژء قابل دستیابی است.
نمونه
با استفاده از داریم:
آنگاه:
با استفاده از تغییر متغیر:
پس:
و
دوباره x را جایگزین میکنیم:
منابع
- مشارکتکنندگان ویکیپدیا. «Inverse trigonometric functions». در دانشنامهٔ ویکیپدیای انگلیسی، بازبینیشده در ۷ سپتامبر ۲۰۱۱.