عکس (منطق)

عکس یا عکس قضیه در منطق و ریاضیات به گزاره‌ای گفته می‌شود که از جابه‌جایی اجزای اصلی یک قضیه یا گزاره به دست می‌آید. برای نمونه، عکس یک گزارهٔ شرطی به صورت $P\rightarrow Q$، گزارهٔ $Q\rightarrow P$ است. در یک قضیهٔ حملی نیز عکس با جابه‌جا کردن موضوع و محمول به دست می‌آید.

صدق یک گزاره، به‌طور کلی، صدق عکس آن را تضمین نمی‌کند. برای مثال، از درستی «اگر انسان باشم، فانی هستم» نمی‌توان نتیجه گرفت که «اگر فانی باشم، انسان هستم». تنها در شرایط خاصی گزاره و عکس آن با یکدیگر هم‌ارز منطقی هستند.

در منطق سنتی، در مبحث عکس قضایا معمولاً میان عکس مستوی (وارون ساده) و عکس نقیض (وارون نقیض) تمایز گذاشته می‌شود. قواعد این دو با یکدیگر متفاوت است.

عکس گزارهٔ شرطی

اگر گزارهٔ $S$ به صورت

$P\rightarrow Q$

باشد، یعنی «اگر $P$، آنگاه $Q$»، عکس آن چنین است:

$Q\rightarrow P$

که می‌توان آن را به صورت $P\leftarrow Q$ نیز نوشت.

نمایش نموداری $P\leftarrow Q$؛ بخش سفید حالتی را نشان می‌دهد که گزاره نادرست است.

در اینجا $P$ را مقدم (پیش‌گزاره) و $Q$ را تالی (پی‌گزاره) می‌نامند. درستی $P\rightarrow Q$ به‌خودی‌خود چیزی دربارهٔ درستی $Q\rightarrow P$ نشان نمی‌دهد.

برای نمونه، گزارهٔ زیر درست است:

«اگر کسی انسان باشد، فانی است.»

اما عکس آن:

«اگر کسی فانی باشد، انسان است.»

درست نیست، زیرا موجودات فانی دیگری نیز وجود دارند.

در مقابل، اگر دو شرط از نظر منطقی هم‌ارز باشند، گزاره و عکس آن هر دو درست‌اند. برای مثال:

«اگر شکلی مثلث باشد، یک چندضلعی سه‌ضلعی است.»

و:

«اگر شکلی یک چندضلعی سه‌ضلعی باشد، مثلث است.»

در این مورد دو گزاره دو سوی یک رابطهٔ اگر و تنها اگر را بیان می‌کنند.

عکس استلزام $P\rightarrow Q$ همچنین با عبارت زیر هم‌ارز است:

$Q\rightarrow P\equiv \neg Q\lor P$

بنابراین عکس تنها هنگامی نادرست است که $Q$ درست و $P$ نادرست باشد.

تصدیق تالی

استنتاج عکس یک گزاره از خود آن، بدون داشتن دلیل دیگری برای عکس، مغالطهٔ تصدیق تالی نامیده می‌شود. برای نمونه:

اگر باران ببارد، زمین خیس می‌شود.

زمین خیس است.

پس باران باریده است.

این استنتاج معتبر نیست، زیرا زمین ممکن است به علت دیگری خیس شده باشد.

اما اگر $P$ و $Q$ هم‌ارز باشند و هر یک دیگری را نتیجه دهد، استنتاج در هر دو جهت معتبر است.

عکس قضیه در ریاضیات

در ریاضیات، اگر یک قضیه به صورت

$P\rightarrow Q$

باشد، عکس قضیه چنین خواهد بود:

$Q\rightarrow P$.

عکس یک قضیه ممکن است درست یا نادرست باشد. حتی هنگامی که عکس درست است، اثبات آن ممکن است مستقل و گاه بسیار دشوارتر از اثبات قضیهٔ اصلی باشد.

برای نمونه، قضیه چهار رأس در سال ۱۹۱۲ اثبات شد، اما عکس آن در سال ۱۹۹۷ به اثبات رسید.

عکس قضیهٔ فیثاغورس

قضیه فیثاغورس را می‌توان چنین بیان کرد:

اگر در مثلثی با طول ضلع‌های $a$، $b$ و $c$، زاویهٔ روبه‌روی ضلع $c$ قائمه باشد، آنگاه:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

عکس آن می‌گوید:

اگر در مثلثی با ضلع‌های $a$، $b$ و $c$:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

باشد، آنگاه زاویهٔ روبه‌روی ضلع $c$ قائمه است.

این عکس نیز درست است و در کتاب نخست اصول اقلیدس، قضیهٔ ۴۸، آمده است.

در صورت‌بندی قضیه‌های ریاضی ممکن است بخشی از مقدمات صرفاً زمینهٔ مشترک دو گزاره باشد. برای نمونه، اگر قضیه چنین باشد:

«با فرض $P$، اگر $Q$، آنگاه $R$»

عکس آن معمولاً چنین بیان می‌شود:

«با فرض $P$، اگر $R$، آنگاه $Q$».

عکس رابطه

نمونه‌ای از عکس یک رابطهٔ ریاضی

مفهوم عکس دربارهٔ رابطه‌های دوتایی نیز به‌کار می‌رود. اگر

$R\subseteq A\times B$

یک رابطه باشد، رابطهٔ عکس یا رابطهٔ معکوس آن با جابه‌جایی ترتیب اعضای هر زوج مرتب ساخته می‌شود:

$R^{-1}=\{(b,a):(a,b)\in R\}$.

برای نمونه، اگر رابطهٔ «پدرِ» میان دو شخص برقرار باشد، رابطهٔ عکس آن «فرزندِ» است. رابطهٔ عکس را در نظریهٔ روابط گاه «ترانهاده» نیز می‌نامند.

عکس مستوی

در منطق سنتی، عکس مستوی (وارون ساده) عملی است که در آن جای موضوع و محمول یک قضیهٔ حملی عوض می‌شود، در حالی که کیف قضیه، یعنی ایجابی یا سلبی بودن آن، حفظ می‌شود.

برای نمونه، از:

«هیچ الف ب نیست.»

به:

«هیچ ب الف نیست.»

می‌رسیم.

با این حال، جابه‌جایی موضوع و محمول در همهٔ انواع قضایا استنتاج معتبر به دست نمی‌دهد. اعتبار عکس به کمیت (کلی یا جزئی بودن) و کیف قضیه بستگی دارد.

در اصطلاح منطق سنتی چهار صورت اصلی قضیهٔ حملی عبارت‌اند از: موجبهٔ کلیه (همه‌پذیر)، سالبهٔ کلیه (همه‌ناپذیر)، موجبهٔ جزئیه (برخی‌پذیر) و سالبهٔ جزئیه (برخی‌ناپذیر).

احکام معمول عکس مستوی چنین است:

احکام معمول عکس مستوی

نوع قضیه	اصل قضیه	عکس معتبر
موجبهٔ کلیه (A)	هر الف ب است.	بعضی ب‌ها الف هستند.
سالبهٔ کلیه (E)	هیچ الف ب نیست.	هیچ ب الف نیست.
موجبهٔ جزئیه (I)	بعضی الف‌ها ب هستند.	بعضی ب‌ها الف هستند.
سالبهٔ جزئیه (O)	بعضی الف‌ها ب نیستند.	ندارد

موجبهٔ کلیه

قضیهٔ موجبهٔ کلیه به‌طور معمول به موجبهٔ جزئیه عکس می‌شود. برای نمونه:

«هر ایرانی آسیایی است.»

به:

«بعضی آسیایی‌ها ایرانی هستند.»

عکس می‌شود، نه به:

«هر آسیایی ایرانی است.»

در اصطلاح منطق غربی، این تبدیل از کلی به جزئی را conversion per accidens یا «عکس بالعرض» می‌نامند.

سالبهٔ کلیه

سالبهٔ کلیه به سالبهٔ کلیه عکس می‌شود. برای نمونه:

«هیچ مهره‌داری حشره نیست.»

عکس می‌شود به:

«هیچ حشره‌ای مهره‌دار نیست.»

هر دو قضیه یک نسبت ناسازگاری میان دو دسته را بیان می‌کنند.

موجبهٔ جزئیه

موجبهٔ جزئیه نیز به موجبهٔ جزئیه عکس می‌شود. برای نمونه:

«بعضی ایرانیان پزشک‌اند.»

عکس می‌شود به:

«بعضی پزشکان ایرانی‌اند.»

سالبهٔ جزئیه

سالبهٔ جزئیه به‌طور کلی عکس مستویِ لازم‌الصدق ندارد.

برای نمونه، ممکن است:

«بعضی انسان‌ها باسواد نیستند.»

درست باشد، ولی از آن نمی‌توان نتیجه گرفت:

«بعضی باسوادها انسان نیستند.»

درستی یا نادرستی قضیهٔ دوم به اطلاعات دیگری بستگی دارد و از قضیهٔ نخست نتیجه نمی‌شود.

توزیع حدود

در منطق ارسطویی، اعتبار عکس را می‌توان با مفهوم توزیع حدود (پراکندگیِ دو سوی قضیه) نیز توضیح داد. اصل کلی آن است که هیچ حدی نباید در عکس توزیع شود، مگر آنکه در قضیهٔ اصلی نیز توزیع شده باشد.

در قضیهٔ سالبهٔ کلیه هر دو حد توزیع شده‌اند و در موجبهٔ جزئیه هیچ‌یک توزیع نشده‌اند؛ ازاین‌رو جابه‌جایی آن‌ها مشکلی پدید نمی‌آورد.

اما در موجبهٔ کلیه، موضوع توزیع شده و محمول توزیع نشده است. بنابراین از:

«هر گربه‌ای پستاندار است.»

نمی‌توان نتیجه گرفت:

«هر پستانداری گربه است.»

با فرض وجود گربه، تنها می‌توان نتیجهٔ ضعیف‌تر زیر را به دست آورد:

«بعضی پستانداران گربه‌اند.»

مسئلهٔ وجود در منطق جدید

یکی از تفاوت‌های مهم میان منطق سنتی و منطق مرتبه اول جدید به مسئلهٔ وجود مصداق برای موضوع مربوط می‌شود.

در صورت‌بندی جدید، قضیهٔ کلی:

$\forall x(S(x)\rightarrow P(x))$

حتی هنگامی که هیچ مصداقی برای $S$ وجود نداشته باشد، می‌تواند صادق باشد.

به همین دلیل، از:

«هر سیمرغی جانور است.»

در منطق جدید نمی‌توان نتیجه گرفت:

«بعضی جانوران سیمرغ‌اند.»

اگر سیمرغی وجود نداشته باشد، قضیهٔ نخست می‌تواند به‌طور تهی صادق باشد، ولی قضیهٔ دوم نادرست است. این مسئله یکی از تفاوت‌های مهم میان تفسیر سنتیِ عکس موجبهٔ کلیه و صورت‌بندی آن در منطق جدید است.

عکس نقیض

مقالهٔ اصلی: عکس نقیض

عکس نقیض (وارون نقیض) با عکس مستوی تفاوت دارد. در منطق گزاره‌ای جدید، عکس نقیض استلزام

$P\rightarrow Q$

عبارت است از:

$\neg Q\rightarrow \neg P$.

برخلاف عکس ساده، عکس نقیض همواره با گزارهٔ اصلی هم‌ارز منطقی است.

برای نمونه:

«اگر کسی انسان باشد، فانی است.»

با عکس نقیض آن:

«اگر کسی فانی نباشد، انسان نیست.»

هم‌ارز است.

در منطق حملی سنتی نیز عکس نقیض با جابه‌جایی موضوع و محمول همراه با نقیض کردن آن‌ها ساخته می‌شود. برای نمونه، از:

«هر دانایی تواناست.»

به:

«هر ناتوانی نادان است.»

می‌رسیم.

احکام عکس نقیض در قضایای حملی با احکام عکس مستوی متفاوت است.

تفاوت عکس، وارون و عکس نقیض

برای یک گزارهٔ شرطی به صورت $P\rightarrow Q$ باید میان سه تبدیل متفاوت تمایز گذاشت:

نام	صورت منطقی
گزارهٔ اصلی	$P\rightarrow Q$
عکس	$Q\rightarrow P$
وارون	$\neg P\rightarrow \neg Q$
عکس نقیض	$\neg Q\rightarrow \neg P$

گزارهٔ اصلی و عکس نقیض آن همواره هم‌ارزند. عکس و وارون نیز با یکدیگر هم‌ارزند؛ اما گزارهٔ اصلی در حالت کلی با عکس خود هم‌ارز نیست.

جستارهای وابسته

• عکس نقیض
• وارون (منطق)
• تصدیق تالی
• شرطی مادی
• هم‌ارزی منطقی
• قیاس
• منطق ارسطویی
• رابطه دوتایی

برای مطالعهٔ بیشتر

• ارسطو. ارغنون.
• Copi, Irving (1953). Introduction to Logic (in English). Macmillan.
• Copi, Irving (1979). Symbolic Logic (in English) (5 ed.). Macmillan.
• Stebbing, Susan (1931). A Modern Introduction to Logic (in English). Cromwell Company.