مجموعه‌های مجزا

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در نظریه مجموعه‌ها دو مجموعهٔ و مجموعه‌های مجزا (به انگلیسی: Disjoint sets) هستند، دارای هیچ عضو مشترکی نباشند. چند مجموعه به صورت زوج مجزا هستند اگر هر جفت دوتایی از آن‌ها دارای عضو مشترک نباشد.

تعریف[ویرایش]

مجموعه‌های و مجزا هستند، زمانی که اشتراک آن‌ها مجموعهٔ تهی باشد، در این صورت داریم:

یک خانواده (مجموعه‌ای از مجموعه‌ها) زمانی مجزا است که تمامی اعضای آن جفت-جفت مجزا باشند، در این صورت داریم:

برای و

اگر اجتماع این مجموعه‌ها را در نظر بگیریم، آنگاه اجتماع مجموعه‌های مجزا به دست می‌آید که به شکل زیر است:

اگر اعضای خانواده مجموعهٔ تهی نباشند، در این صورت به افراز مجموعه می‌رسیم.

به صورت همانند می‌توان به جای خانواده مجموعه‌ها از سیستم مجموعه‌ها هم استفاده کرد.

مثال[ویرایش]

  • مجموعه‌های و مجزایند، چون هیچ عضو مشترکی ندارد.
  • مجموعه‌های و مجزا نیستند، چون دارای عضو مشترک هستند.
  • سه مجموعهٔ ، و به صورت جفت مجزا نیستند، چون حداقل یکی از اشتراک‌های آن‌ها () مجموعهٔ غیرتهی است.

افراز زیر، افرازی نامتناهی از مجموعه‌های مجزا است که اعداد صحیح را شکل می‌دهند:

.

خصوصیات[ویرایش]

  • مجموعه تهی از هر مجموعهٔ دیگر مجزاست.
  • و حتما مجزا هستند، اگر .
  • قدرت یک اجتماع مجزا متناهی برابر است با جمع تک تک قدرت‌ها. برای اجتماع‌های غیر مجزا به فرمول زیب مراجعه کنید.

منبع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Disjunkt»، ویکی‌پدیای آلمانی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۴ آوریل ۲۰۱۱).