قطبش (موج‌ها)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
فارسیEnglish

قطبش (به انگلیسی: Polarization) یکی از ویژگی‌های امواج عرضی است که جهتِ نوسان را در صفحهٔ عمود بر انتشار موج نشان می‌دهد. در الکترومغناطیس، قطبشِ یک موج الکترومغناطیسی (مانند نور) نشان‌دهندهٔ جهت بردارِ میدان الکتریکی آن نسبت به راستایِ انتشار است.

در امواج قطبش‌های متفاوتی را می‌توان دید؛ از جمله قطبش بیضوی و دایروی (که نوع خاصی از قطبش بیضوی است) و قطبش خطی.

انواع قطبش[ویرایش]

نمودار قطبش خطی
نمودار قطبش دایره‌ای
نمودار قطبش بیضوی
گونه‌های مختلف قطبش.

امواج طولی مانند صوت قطبش ندارند، زیرا راستای نوسان در این امواج در راستای پیشروی آن‌ها بوده و بنابراین به طور یکتا تعیین می‌شود؛ ولی در امواج عرضی مانند نور جهت نوسان میدان الکتریکی یکتا نیست و با قطبش تعیین می‌شود. قطبش عمود بر مسیر حرکت موج است. در این حالت میدان الکتریکی در یک جهت هدایت می‌شود (قطبش خطی) یا ممکن است که آن به حالت چرخشی درآید مثل حرکت موج (قطبش چرخشی یا فشرده) در حالت‌های دیگر نوسان‌ها می‌توانند در حرکت به طرف راست یا چپ بچرخند. طبق اینکه کدام چرخش در یک موج مشخص نشان داده شود به آن گردش می‌گویند. در کل قطبش موج الکترومغناطیسی یک مسئله پیچیده‌است. برای مثال در یک موج مثل فیبرنوری یا پرتوهای پلاریزه شده در فضای آزاد، توضیح دادن پلاریزاسیون موج پیچیده‌تر است، چون میدان‌ها اجزای طولی و عرضی دارند. برای موج‌های طولی مثل امواج صوتی در سیال‌ها، جهت نوسان به وسیله مسیر حرکت مشخص می‌شود و بنابراین قطبشی وجود ندارد. در یک وسیله جامد امواج صوتی می‌توانند به صورت عرضی باشند. در این حالت قطبش با مسیر تنش برشی در سطح عمود بر جهت انتشار در ارتباط است. این موضوع در زلزله‌شناسی اهمیت دارد. قطبش در زمینه علوم و تکنولوژی در رابطه با انتشار موج اهمیت دارد مثل علوم نوری، مخابرات و علوم رادار. قطبش نور را می‌توان با یک قطبش اندازه‌گیری کرد.

موج تخت[ویرایش]

ساده‌ترین مظهر قطبش که قابل تصور است موج تخت می‌باشد که تقریب مناسب در اکثر امواج نوری هستند. (یک موج تخت عبارت است از یک موج با جبهه موج وسیع و بلند) برای توابع موج‌های تخت «مکس ول» مخصوصاً قوانین گاوس نیاز به نوسنجی را تحمیل می‌کند که میدان الکتریکی و مغناطیسی عمود بر جهت انتشار و عمود بر یکدیگر هستند. وقتی که قطبش را در نظر می‌گیریم بردار میدان الکتریکی مشخص می‌شود و میدان مغناطیسی نادیده گرفته می‌شود، چون آن عمود بر میدان الکتریکی در یک موج تخت به طور دلخواه به دو مولفه عمود برهم تحت عنوانx وyتقسیم می‌شوند. برای مثال یک موج هارمونیک در جائیکه دامنه بردار الکتریکی در حالت سینوسی در زمان متفاوت است، دو مولفه دقیقاً دارای فرکانس یکسانی هستند. با این حال این مولفه‌ها دارای ویژگی‌های مشخص دیگری هستند که با هم فرق دارند. اولاً دو مولفه دارای دامنه یکسانی نیستند، ثانیاً دو مولفه دارای فاز یکسانی نیستند یعنی اینکه آن‌ها همزمان به حداقل و حداکثر نمی‌رسند. از نظر ریاضی میدان الکتریکی در یک موج به صورت زیر نوشته می‌شود: یا متناوباً که:

حالت قطبش[ویرایش]

طرح ترسیم شده در یک طرح ثابت با بردار الکتریکی مثل یک موج صفحه‌ای که از آن می‌گذرد، حالت قطبش را نشان می‌دهد. شکل‌های بالا بعضی از نمونه‌های تغییر شکل بردار میدان الکتریکی را با زمان (محورهای عمودی) در یک نقطهٔ مشخص در فضا در راستای مولفه‌های x وy را نشان می‌دهد و مسیر با نوک بردار در صفحه مشخص می‌شود. تغییر مشابه زمانی رخ می‌دهد که به میدان الکتریکی در یک زمان مشخص نگاه کنیم در حالی که تغییر نقطه در فضا در راستای خلاف جهت انتشار باشد: خطی، دایره‌ای، بیضی. در سمت چپ‌ترین شکل بالا دو مولفه قائم در فاز وجود دارند. در این حالت نسبت مقاومت دو مولفه ثابت است، بنابراین جهت بردار الکتریکی هم ثابت است چون نوک بردار یک خط در صفحه رسم می‌کند این حالت خاص را قطبش خطی می‌نامند. مسیر (جهت) این خط به نوسان نسبی در دو مولفه بستگی دارد. در شکل وسط دو مولفه عمود برهم دقیقاً نوسان یکسانی دارند، دقیقاً ۹۰ درجه خارج از فاز هستند. در این حالت یک مولفه صفر است. وقتی مولفه دیگر در دامنه مینیمم یا ماکسیمم باشد دو رابطه فازی احتمالی وجود دارند که این نیازمندی را جبران می‌کنند. مولفهx نود درجه از مولفه y جلو است یا آن می‌توان ۹۰ درجه از مولفه y عقب باشد در این حالت مخصوص مدار الکتریکی یک دایره در سطح رسم می‌کند. این حالت به خصوص را قطبش دایره‌ای (چرخشی) می‌نامیم. جهت چرخش‌های میدان به این بستگی دارد که کدام دو رابطه فازی موجود باشد. این حالت را قطبش دایره‌ای دست راست و قطبش دایره‌ای دست چپ نامیده می‌شوند و بستگی به این دارند که کدام جهت بردار الکتریکی می‌چرخد. حالت دیگر وقتی است که دو مولفه در فاز نباشند و با دامنه یکسانی نداشته باشند یا ۹۰ درجه بیرون از فاز نباشند. اگرچه فاز آنها عوض می‌شود و نسبت دامنه آنها ثابت می‌ماند. این نوع قطبش، قطبش بیضی شکل نامیده می‌شود چون بردار الکتریکی یک بیضی در سطح رسم می‌کند. این در شکل بالا در سمت راس نشان داده شده‌است. تجزیه دکارت در میدان الکتریکی در مراحل X.Y به صورت اختیاری است. امواج صفحه‌ای در هر پلاریزاسیون با جایگزین کردن ترکیب دو موج پلاریزه شده بیضی شکل برای نمونه امواج در خلاف پلاریزاسیون دایره‌ای مشخص می‌شوند. تجزیه پلاریزاسیون دکارت وقتی طبیعی است که با انعکاس از سطوح، انکسار مضاعف مواد، یا انعکاس سینکروترون سر و کار داشته باشد. حالت‌های پلاریزه شده دایره‌ای سودمندترین پایه و اساس برای تحقیق دربارهٔ انتشار نور در ایزومر فضایی هستند. اگرچه این بخش پلاریزاسیون را برای امواج صفحه‌ای ایده‌آل مورد بررسی قرار می‌دهد ولی تمام مواد بالا را می‌توان برای تشخیص خیلی دقیق و صحیح اکثر آزمایش‌های اپتیکال (نوری) عملی که از روش هایMET استفاده می‌کنند بکار برد؛ که شامل اپتیک گاس هم می‌شود.

Animation of a circularly polarized wave as a sum of two components

نور پلاریزه نشده[ویرایش]

اکثر منابع انعکاس الکترو مغناطیسی شامل تعداد زیادی از اتم‌ها یا مولکول‌هایی هستند که نور را منعکس می‌کنند. میدان‌های الکتریکی جهت داری که توسط این ساطع کننده‌ها به وجود می‌آیند با هم همبسته نیستند، که در آن حالت گفته می‌شود که نور پلاریزه نشده‌است. اگر یک همبستگی میان ساطع کننده‌ها وجود داشته باشد، نور پلاریزه می‌شود. اگر پلاریزاسیون با طیف منبع سازگاری داشته باشد، نور پلاریزه شده بعنوان یک انطباق در یک مؤلفه کاملاً پلاریزه نشده و یک مؤلفه پلاریزه شده مشخص می‌شوند. ممکن است که نور بر حسب میزان پلاریزاسیون و پارامترها در بیضی پلاریزاسیون مشخص شوند.

پارامتر سازی[ویرایش]

Polarisation ellipse2.svg

برای راحتی کار حالت‌های پلاریزاسیون اغلب بر حسب بیضی پلاریزاسیون مخصوصاً جهت داری و کشیدگی (افزایش طول) مشخص می‌شوند. یک پلاریزاسیون معمولی از زاویه جهت داریΨ استفاده می‌کنند که آن یک زاویه بین نیم محور اصلی در بیضی و محورX (به عنوان زاویه انحراف یا زاویه گرا) و بیضیت (تفاضل قطرین)، εنسبت محور اصلی به فرعی (که نسبت هم محوری نامیده می‌شود) است. تفاضل قطرین صفر یا بی‌نهایت برابر با پلاریزاسیون خطی است و تفاضل قطرین (بیضیت)۱برابر با پلاریزاسیون دایره‌ای است. زاویه تفاضل قطرین (بیضیت) arc-cote=X معمولاً استفاده می‌شود. یک نمونه را می‌توانید در نمودار سمت راست ببینید. یک تناوب برای تفاضل قطرین یا زاویه تفاضل قطرین (بیضیت) گریز از مرکز است. با ایسن حالت بر خلاف زاویه گرا و زاویه بیضیت این مورد اخیر هیچ تغییر هندسی واضحی بر حسب کره «پوئین کر» ندارد. اطلاعات کامل در مورد حالت کاملاً پلاریزه شده به وسیله دامنه و فاز اوسیلاسیون (نوسان) در دو مولفه در بردار میدان الکتریکی در صفحه پلاریزاسیون بدست می‌آید. از این مورد می‌توان برای نشان دادن اینکه چطور حالت‌های مختلف در پلاریزاسیون امکان‌پذیر هستند به کار برد. اطلاعات فاز و دامنه نشان دهنده یک بردار پیچیده دو بعدی است. در اینجاa1 وa2 نشان دهنده موج در دو مولفه در بردار میدان الکتریکی است در حالیکه۱ θ و ۲ θ نشان دهنده فازهاست. ایجاد یک بردار جونز با یک تعداد زیادی از ضرایب واحد یک بردار متفاوت جونز را مشخص می‌کند که نشان دهنده بیضی مشابه‌است و بنابراین حالت مشابهی هم در پلاریزاسیون درد. میدا ن الکتریکی فیزیکی به عنوان یک قسمت واقعی در بردار جونز تغییر داده می‌شود؛ ولی خود حالت پلاریزاسیون مستقل از فاز مطلق می‌باشد. بردارهای اصلی که برای نشان دادن و معرفی بردار جونز به کار برده می‌شود نیازی ندارند تا حالت‌های پلاریزاسیون خطی را نشان دهند. در کل هر دو حالت را می‌توان در جایی به کار برد که یک جفت بردار عمودی بعنوان یک بردار باشند که یک حاصل داخلی صفر دارند. یک انتخاب معمولی پلاریزاسیون‌های دایره‌ای راست و چپ است. صرفنظر از اینکه آیا بیضی‌های پلاریزاسیون با استفاده از پارامترهای هندسی یا بردارهای جونز نشان داده می‌شوند یا خیر، پلاریزاسیون یک جهت دار ی چارچوب مختصات است. این مقداری آزادی عمل بوجود می‌آورد. برای مثال چرخش در جهت انتشار وقتی نور مورد نظر موازی با سطح زمین منتشر می‌شود. عبارت پلاریزاسیون افقی و عمودی بکار برده می‌شود که با پلاریزاسیون قبلی که با مولفه اول در بردار جونز یا زاویه گرا ارتباط دارد.

از طرف دیگر در ستاره‌شناسی سیستم مختصات استوایی با گرا ی صفر برابر با شمال به جای آن بکار می‌رود. سیستم مختصات دیگری که غالباً بکار می‌رود با صفحه‌ای که با مسیر انتشار و یک بردار عمود بر صفحه در سطح انتشار مرتبط می‌شود. این به عنوان صفحه تابش نامیده می‌شود. مولفه میدان الکتریکی با این صفحه موازی است که P-like (پی شکل) نامیده می‌شود؛ و مولفه عمود بر این صفحه S-like (اس شکل) گفته می‌شود که نور با میدان الکتریکی پلاریزه، پی –پلاریزه صفحه مماس پلاریزه شده‌است یا یک موج عرضی مغناطیسی است(MT). نور با میدان الکتریکی (اس شکل) به صورت S-Polarized (پلاریزه شده به شکل اس) و همچنین پلاریزه شده سیگما یا صفحه سهمی پلاریزه شده‌است یا به عنوان یک موج عرضی الکتریکی(ET) نامیده می‌شود.

پارامتر ساز ی درانعکاس نیم پلاریزه شده و وابسته (همدوس)[ویرایش]

در حالت انعکاس نیم پلاریزه شده، بردار جونز در زمان و مکان طوری در تغییر هستند که از سرعت ثابت چرخش فاز در تکفام موج‌های کاملاً پلاریزه شده متفاوت می‌باشند. در این حالت میدان موج دارای تغییر است و فقط اطلاعات آماری را می‌توان دربارهٔ وریاسیون‌ها (نوسان‌ها) و همبستگی‌های بین مولفه هادر میدان الکتریکی جمع‌آوری کرد. این اطلاعات در ماتریس وابستگی (همدوسی) قرار دارند. جائیکه پارانتزهای زاویه دارنشان دهنده میانگین در چرخه‌های موج‌های زیادی هستند. چندین متغیر در ماتریس وابستگی پیشنهاد شده‌اند. ماتریس وابستگی (همدوسی) «وینر» و ماتریس وابستگی طیفی «ریچارد باراکارت» میزان وابستگی یک تجزیه طیفی را در سیگنال اندازه‌گیری می‌کنددر حالیکه ماتریس وابستگی (همدوسی) ولف تمام زمان فرکانس‌ها را میانگین گیری می‌کند. ماتریس وابستگی (همدوسی) شامل تمام اطلاعات آماری منظم ثانویه دربارهٔ پلاریزاسیون است. این ماتریس را می‌توان در مجموع به دو ماتریس تجزیه کرد که برابر با بردار ماتریس وابستگی (همدوسی) است و هر کدام حالت پلاریزاسیون را که عمود بر دیگری است را نشان می‌دهد. یک تجزیه انتخابی کامل با در مولفه‌های پلاریزه شده دترمینان صفر و غیر پلاریزه شده ماتریس واحد درجه‌بندی شده وجود دارد. در هر حالت عملیات جمع کردن مولفه‌های با انطباق نا همدوس در موج‌هایی از دو مولفه برابر است. یک حالت دیگر برای مفهوم درجه میزان پلاریزاسیون به وجود می‌آید یعنی شکستگی در مجموع شدت بوجود آمده توسط مولفه کاملاً پلاریزه شده. ماتریس همدوس را نمی‌توان به راحتی تصور کرد بنابراین آن را برای توصیف انعکاس نیمه پلاریزه شده یا ناهمدوس در مجموع شدت آن(I) میزان پلاریزاسیون (p)و پارامترهای قالبی در بیضی پلاریزاسیون می‌باشد. توصیف مناسب و پیشنهادی توسط پارامترهای استوک ارائه شده توسط جورج گابریل استوک در سال۱۸۵۲معرفی شدند. رابطه پارامترهای استوک در پارامترهای بیضی پلاریزاسیون، شدت در معادلات، شکل زیر نشان داده شده‌اند.

در اینجاpI، ψ۲،X2 مختصات کروی در حالت پلاریزاسیون (قطبش) سه بعدی در سه پارامتر آخر استوک هستند. به فاکتورهای دو قبل ازψ،X که برابر با حقیقت‌هایی است که هر بیضی قطبش (پلاریزاسیون) از یک چرخش۱۸۰درجه یا با طول‌های نیمه محور خارج شده با یک چرخش ۹۰درجهت غیرقابل تشخیص هستند. پارامترهای استوک بعضی اوقات I,U،V,Qرا مشخص می‌کنند. پارامترهای استوک شامل تمام اطلاعات مربوط به ماتریس همدوس هستند و با آن از نظر خطی به وسیله ماتریس واحد به اضافه سه ماتریس «پلی» ارتباط دارند. از نظر ریاضی فاکتور دو زاویه فیزیکی مربوط به هم نسبت به نقاط مقابل آن‌ها در فضای استوک از به کار گیری گشتاورهای مرتبه دوم و همبستگی‌ها مشتق می‌شوندو نقاط مقابل اطلاعات را به علت تغییرناپذیری فاز مطلق از دست می‌دهند. شکل بالا به کار بردن یک معرف مناسب را در سه پارامتر آخر استوک بعنوان مولفه‌ها در یک فضای بردار سه بعدی را بوجود می‌آورد. این فضای بسیار مرتبط با فضای «پوئین کر» است که سطح کروی کاملاً با حالت‌های پلاریزه شده در محل بردار اشغال شده‌است. کل چهار پارامتر استوک را می‌توان با بردار چهار بعدی استوک ترکیب کرد که می‌توان آن را تحت عنوان چهاربردار در فضای «مین کوسکی» تفسیر کرد. در این حالت تمام حالت‌های پلاریزاسیون قابل درک، برابر با زمان مشابه بردارهای بعدی هستند.

Poincaré sphere diagram

انتشار؛ بازتابش، تفرق (پراکندگی)[ویرایش]

در خلأ مولفه‌ها در میدان الکتریکی با سرعت نور منتشر می‌شوند طوری‌که فاز موج در زمان و مکان متفاوت می‌شود در حالیکه حالت پلاریزاسیون این گونه نیست. یعنیK عدد موج وZ (مثبت) مسیر (جهت) انتشار است. همان طوری که در بالا به آن اشاره کردیم بردار الکتریکی فیزیکی یک قسمت حقیقی از بردار مختلط جونز به شمار می‌رود. وقتی که موج‌های الکترومغناطیسی به یک ماده اثر می‌کنند، انتشار آنها تغییر می‌کند. در بسیاری از وسایل، امواج الکترومغناطیسی در داخل به دو مولفه عمودی تجزیه می‌شوند که اثرات انتشار متفاوتی دارند. یک شرایط مشابه در مسیرهای پردازش سیگنال در سیستم ردیاب وجود دارد که مستقیماً میدان الکتریکی را ثبت می‌کند. چنین اثراتی را می‌توان به آسانی به شکل یک ماتریس۲×۲ مختلط متغیر که ماتریس جونز نامیده می‌شود مشخص کرد. به طور کلی ماتریس جونز در یک واسط (محیط حامل موج) به فرکانس امواج بستگی دارد. در مورد اثرات انتشار در دو حالت عمود برهم ماتریس جونز رامی توان به صورت زیر نوشت که 1g،2gتعداد کمپلکس هستند که نشان دهنده تغییر در دامنه و فازی است که در هر یک از دو حالت انتشار به وجود آمده‌است وT یک ماتریس واحد است که نشان دهنده یک تغییر اساسی از این حالت‌های انتشار به سیستم خطی به کار رفته برای بردارهای جونز است. برای این وسایل که دامنه‌ها تغییر نمی‌کنند ولی یک تغییر فازی متفاوت اتفاق می‌افتد. ماتریس جونز واحد است در حالیکه آنهایی که دامنه را بدون فاز تحت تأثیر قرار می‌دهند دارای ماتریس های «هرمیتین جونز» هستند. در حقیقت چون هر ماتریس به عنوان محصول ماتریس‌های مثبت هرمیتین و واحد نوشته می‌شود، هر نوع نتیجه‌گیری در اثرات انتشار خطی صرف نظر از میزان پیچیدگی و کمپلکس را می‌توان به عنوان محصول دو نوع اصلی تغییرات در نظر گرفت. جهت‌ها به وسیله بردارها در فضای پوئینگ تحت انکسار مضاعف در نظر گرفته می‌شوند. حالت‌های انتشار را با خط‌های آبی و قرمز و زرد نشان داده می‌شوند و بردارهای اولیه با خط‌های سیاه ضخیم و جهت‌هایی که آنها دارند با بیضی‌های رنگی نشان داده می‌شوند. وسیله‌ای که در آن دو حالت یک تأخیر تفاضلی را افزایش می‌دهد انکسار مضاعف نامیده می‌شوند. جلوه‌های معروف این اثر در صفحه‌های موج اپتیکال (روش‌های خطی) و در چرخش اپتیکال (روش‌های دایره‌ای یا چرخشی) ظاهر می‌شوند. یک مثال ساده و قابل تصور این است که در جایی که حالت‌های انتشار خطی هستند و انعکاس وارده به صورت خطی در یک زاویه ۴۵درجه در حالت پلاریزه می‌شوند همان‌طوری که تفاوت فاز شروع ظاهر شدن می‌کند پلاریزاسیون (قطبی شدن) به صورت بیضی در می‌آیدو تبدیل به پلاریزاسیون کاملاً دایره‌ای (تفاوت فاز ۹۰درجه) می‌شود و سپس به صورت بیضی و بعد به صورت خطی (فاز۱۸۰درجه) با یک زاویه گرای عمود بر جهت اصلی در می‌آید و سپس دوباره در فاز ۲۷۰درجه می‌چرخد و سپس با زاویه گرای اصلی به صورت بیضی شکل در می‌آید و سپس به حالت پلاریزه شده خطی اصلی فاز ۳۶۰درجه بر می‌گردد که درآنجا چرخه دوباره آغاز می‌شود. در کل این حالت پیچیده‌تر است و به عنوان یک چرخش در فضای «پوئین کار» مشخص می‌شوند که دربارهٔ محور تعیین شده به وسیله حالت‌های انتشار است. (این نتیجه هم ریختی(2)usبا(3)os است). نمونه‌هایی از انکسار مضاعف خطی (آبی)، دایره‌ای (قرمز) و بیضی (زرد) را در شکل سمت چپ مشاهده می‌کنید.

شدت مطلق (کلی) و میزان پلاریزاسیون بی اثر هستند. اگر میزان طول در وسیله انکسار نور کافی باشد، موج‌های صفحه‌ای ماده را با یک مسیر انتشار بر حسب انکسار متفاوت خارج خواهد کرد. برای مثال این حالتی است که در کریستال‌های ماکروسکوپی آهک وجود دارد که به بیننده دو نقطه را نشان می‌دهد، تصاویر پلاریزه شده قائم (عمودی) درآنچه که از طریق آنها دیده می‌شوند. این اثربود که اولین کشف پلاریزاسیون را توسط اراسبوس بارسلونیوس در سال ۱۶۶۹فراهم کرد. بعلاوه تغییر فاز و بنابراین تغییر در حالت پلاریزاسیون معمولاً یک بسامد مستقل است که در ترکیب با دو رنگی غالباً رنگ‌های روشن و اثرات شبه رنگین کمانی افزایش می‌یابد. وسیله‌ای که در آن دامنه انتشار امواج در یکی از حالت‌ها کاهش می‌یابد تحت عنوان دو رنگ نما شناخته می‌شوند. وسایل یکه تقریباً تمام انعکاس‌ها را در یک حالت مسدود می‌کنند صافی قطبی یا به عبارت ساده‌تر قطبنده نامیده می‌شوند. طبق پارامترهای استوک شدت مطلق کاهش می‌یابد وقتی که بردارها در فضای «پوئین کار» به طرف جهت حالت مطلوب کشیده می‌شوند. از نظر ریاضی در عملیات پارامترهای استوک مثل یک بردار -۴منیکوویسکی، تغییر یک افزایش مدرج لورنتز است (بر طبق هم ریختی(C،2) SL، گروه محدود شده لورنتز(۳،1)OSاست)وقتی که اطلاعات لورنتز زمان دقیق را حفظ می‌کند مقدار Ψ = S۰۲-S۱۲-S۲۲-S۳۲ در داخل یک عدد ثابت افزاینده در تغییرات ماتریس جونز تغییرناپذیر است. در انکسار مضاعف و در وسیله دورنگ نما علاوه بر نوشتن یک ماتریس جونز برای تأثیر اصلی برای عبور از میان یک مسیر مشخص در یک واسطه مشخص ارزیابی حالت پلاریزاسیون (قطبی شدگی) در راستای آن مسیر (جهت) را می‌توان به عنوان نتیجه در سری‌های نامحدود و در گام‌های بی‌نهایت کوچک مشخص کرد که هر کدام در حالت بوجود آمده توسط تمام ماتریس‌ها عمل می‌کنند. در یک وسیله (واسطه) یکنواخت هر گام یکسان است و به صورت زیر نوشته می‌شود:کهJاتلاف/بهره واقعی است.D ماتریس بی اثر مثلeDα است کهe را نسبتZ مشتق گیری می‌کند. اگر Dهرمیتینی باشدپس تأثیر آن دو رنگی است در حالیکه یک ماتریس واحد انکسار مضاعف را مدل سازی می‌کند. ماتریس Dرا می‌توان به عنوان یک ترکیب خطی در ماتریس‌های «پوئلی» بیان کردکه ضرایب واقعی ماتریس‌های هرمیتینی را به وجود آورد و ضرایب فرضی ماتریس‌های واحد را به وجود می‌آورند. ماتریس جونز در هر حالت با ساختار مناسب نوشته می‌شوند؛ که یکσ بردار-۳ایجاد شده از ماتریس‌های پوئلی است (که در اینجا بعنوان ژنراتورهایی برای گروه لیSL استفاده می‌شوند و n,mبردارهای -۳واقعی در فضای پوئین کار برابر با یکی از حالت‌های انتشار در واسطه (وسیله) است. تأثیرات بوجود آمده در آن فضا مشابه یک افزایش لورنتز در پارامتر سرعت β۲در راستای جهت مشخص با یک چرخش در زاویهΦ۲ در محور مشخص است. این تغییرات را می‌توان به عنوان دو چهارتایی نوشت که عناصر مرتبط با ماتریس جونز شبیه پارامترهای استوک هستند که با ماتریس همدوسی رابطه دارند. سپس آنها را می‌توان در پس ضریب و پیش ضریب به صورت چهار قسمتی که نشان دهنده ماتریس همدوسی هستند. با کاربرد معمولی در نمای چهار قسمتی برای چرخش‌های صورت گرفته به کاربرد و افزایش‌ها به صورت مشابه با معادلات نمایی ماتریس بالا در می‌آیند. علاوه بر انکسار مضاعف و دو رنگی در واسطه گسترده شده، اثرات پلاریزاسیون با استفاده از ماتریس‌های جونز قابل توضیح هستند و می‌توانند در یک واسطه بین دو چیز با شاخص انکسار متفاوت به وجود آیند. این تأثیرات را می‌توان با معادلات فرنل مرتبط کرد. قسمتی از موج فرستاده می‌شود و قسمتی منعکس می‌شود که مقدار آن بستگی به زاویه انکسار و انتشار دارد. بعلاوه اگر صفحه سطح انعکاس با صفحه انتشار موج هم تراز نباشد پلاریزاسیون در دو قسمت تغییر می‌کند. به طور کلی ماتریس جونز در انعکاس و انتقال واقعی هستند و اثرات مشابهی با یک پلاریزاسیون خطی ساده بوجود می‌آورند. برای یک نور غیر قطبی (غیر پلاریزه) که به یک سطح با یک زاویه مناسب که زاویه «بری واستر» نامیده می‌شود، برخورد می‌کند، موج منعکس شده کاملاً به شکلSپلاریزه شده خواهد شد. اثرات بخصوص باعث بوجود آمدن تغییرات خطی در بردار جونز نخواهند شد و بنابراین نمی‌توانند با ماتریس‌های جونز توصیف شوند. در این شرایط بهتر است که به جای آن از یک ماتریس ۴×۴استفاده کردکه در بردار -۴استوک عمل می‌کند. چنین ماتریس‌هایی در ابتدا توسط «پل سولیلت» در سال۱۹۲۹به کار برده شده، اگرچه آنها را با نام ماتریس‌های مولر به طور فراوان برای مطالعه اثرات پراکندگی امواج از سطوح پیچیده یا مجموعه‌ها یا ذرات به کار می‌روند.

Birefringence diagram

پلاریزاسیون (قطبش) در طبیعت، علوم و تکنولوژی[ویرایش]

اثرات قطبش در زندگی روزمره[ویرایش]

اثر یک دو قطبی کننده در انعکاس از سطوح تیره، در تصویر سمت چپ، دو قطبی کننده می‌چرخد و انعکاس‌ها را تا حد امکان، امکان‌پذیر می‌کند. یک دو قطبی کننده با یک چرخش۹۰درجه تقریباً تمام نورهای مسدود شده را منعکس می‌کند. اثر صافی قطبی در فضای یک عکس در تصویر سمت راست از یک فیلتر (صافی) استفاده می‌شود. نور منعکس شده توسط مواد روشن و شفاف کاملاً، تا حدی پلاریزه می‌شود به جز در موارد ی که نور عمود بر سطح بتابد. با توجه به وجود این اثر پلاریزاسیون اولین بار در سال۱۸۰۸توسط ریاضیدانی به نام «اتینی لوئیس مالوس» کشف شد. یک صافی قطبی مثل یک عینک آفتابی قطبی را می‌توان برای جذب این اثر با چرخش صافی در مواقعی بکار برد که از آن به نور منعکس شده از سطح افقی دور دست نگاه می‌کنیم. در زوایای خاص چرخش، انعکاس نور به حداقل می‌رسد یا حذف می‌شود. صافی قطبی نور قطبی را در ۹۰درجه نسبت به محور قطبی صافی جابجا می‌کند و از بین می‌برد. اگر دو عدد قطبی کننده در بالای یکدیگر با زاویه‌های ۹۰درجه نسبت به همدیگر قرار داده شوند، انتقال نور به حداقل می‌رسد.

Effect of a polarizer on reflection from mud flats. In the picture on the left, the polarizer is rotated to transmit the reflections as well as possible; by rotating the polarizer by ۹۰° (picture on the right) almost all specularly reflected sunlight is blocked.
تاثیر فیلتر پولارایزر بر نحوه نمایش آسمان در یک عکس. در عکس سمت راست از فیلتر استفاده شده است.

پلاریزاسیون همراه با پراکندگی را می‌توان به عنوان نوری مشاهده کرد که از جو عبور می‌کند. نور پراکنده شده باعث روشن شدن و رنگی شدن آسمان می‌شود. پلاریزاسیون نسبت به نور پراکنده شده را می‌توان برای تیره کردن آسمان در عکس‌ها به‌کاربرد که فضا را افزایش می‌دهد. این اثر را براحتی در غروب خورشید، در افق در یک زاویه ۹۰درجه از خورشید مشاهده می‌کنید. اثر دیگری که به راحتی قابل مشاهده کاهش شدید نور تصاویر در آسمان و ابرها ی منعکس شده از سطوح افقی است که دلیل اصلی استفاده از صافی‌ها در عینک‌های آفتابی است و هم چنین رؤیت پذیری از طریق این اثرات عینک‌های آفتابی قطبی نمونه‌هایی شبیه رنگین کمان هستندکه از طریق اثرات انکسار پذیری مضاعف وابسته به رنگ بوجود می‌آیند. برای مثال در شیشه مقاوم (مثل شیشه‌های اتومبیل) یا وسایلی که از پلاستیک‌های شفاف ساخته می‌شوند. نقشی که پلاریزاسیون در عملکرد کریستال مایع بازی می‌کند(sDCL)برای کسی که از عینک‌های آفتابی قطبی استفاده می‌کند معلوم است و آن میزان اختلاف را کاهش می‌دهد. پلاریزاسیون عینک‌های آفتابی میزان فشار را در شیشه اتومبیل آشکار می‌کند. تصویر سمت راست با استفاده از عینک‌های آفتابی قطبی و از پشت شیشه مقاوم اتومبیل گرفته شده‌است. نور از آسمان بوسیله شیشه جلوی ماشین، در ماشین دیگر در یک زاویه منعکس می‌شودو غالباً آن را به صورت افقی پلاریزه می‌کند. شیشه مقاوم از شیشه آبداده تهیه می‌شود. فشار حاصل از گرما در شیشه، پلاریزاسیون نوری را که از آن عبور می‌کند تغییر می‌دهد. مثال یک موج صفحه‌ای. بدون این اثر، عینک آفتابی نور پلاریزه شده افقی را که از شیشه ماشین دیگر منعکس می‌شود را مسدود می‌کند (مانع از تابش می‌شود). فشار در شیشه مقاوم بعضی از نورهای پلاریزه شده افقی را در نور پلاریزه شده عمودی تغییر می‌دهد که می‌توان از داخل شیشه‌ها عبور کند. در نتیجه الگوی_نمونه) منظم در رفتار گرما رؤیت پذیر می‌شود.

Polarizing sunglasses reveal stress in car window (see text for explanation.)

زیست‌شناسی[ویرایش]

بسیاری از حیوانات ظاهراً قادر هستند تا بعضی از مؤلفه‌های پلاریزاسیون نور برای مثال نور پلاریزه شده افقی خطی را مشاهده کنند. این معمولاً برای اهداف کشتیرانی به کار می‌رود. چون پلاریزاسیون خطی در نور آسمان همیشه در مسیر (جهت) خورشید منتشر می‌شود. این توانایی در میان حشرات شایع است که شامل زنبورها می‌شود. آنها از این اطلاعات برای هماهنگ کردن حرکت‌های ارتباطی استفاده می‌کنند. حساسیت پلاریزاسیون را می‌توانیم در گونه‌هایی از اختاپوس‌ها، ده پاها و میگوها مشاهده شده‌است. در حالت دیگر یک گونه تمام شش مؤلفه قائم (عمودی) پلاریزاسیون را اندازه‌گیری می‌کند و تصور می‌شود که دارای بینایی پلاریزاسیون مطلوب هستند. تغییرات سریع در رنگ پوست ده پاها که برای برقراری ارتباط است، الگوهای پلاریزاسیون را بوجود می‌آورد؛ و میگوها هم دارای بافت انعکاسی انتخابی پلاریزه شده هستند. تصور می‌شود پلاریزاسیون آسمان که به وسیله کبوترها درک می‌شود. یکی از اهداف آنها در لانه یابی است؛ ولی تحقیقات نشان دادند که این یک افسانه معروف است. چشم غیر مسلح انسان نسبت به پلاریزاسیون بدون نیاز به صافی‌های رابط از حساسیت ضعیفی برخوردار است. نور پلاریزه شده یک نمونه کم رنگی نزدیک به مرکز میدان بینایی ایجاد می‌کند کهhsurb s´regnidiaH نامیده می‌شود.

زمین‌شناسی[ویرایش]

Photomicrograph of a آتشفشان ماسه; upper picture is plane-polarized light, bottom picture is cross-polarized light, scale box at left-center is 0.25 میلی‌متر.

فتومیکروگراف در یک شن‌های زیر آتش فشانی در تصویر یک نور پلاریزه شده صفحه‌ای است و تصویر قسمت پایین یک نور متقاطع پلاریزه شده‌است و مقیاس در قسمت وسط دست چپ ۰٫۲۵میلی‌متر است. خاصیت انکسار مضاعف خطی در مواد کریستال پخش می‌شود و به راستی در کشف اولیه پلاریزاسیون مؤثر بودند. در معدن شناسی این خاصیت با استفاده از میکروسکوپ‌های پلاریزه شده قطبی برای شناسایی مواد معدنی بکار برده می‌شود. برای اطلاعات بیشتر به معدن شناسی اپتیکال مراجعه کنید.

شیمی[ویرایش]

پلاریزاسیون در شیمی به علت دورنگی دایره‌ای و چرخش اپتیکال که به وسیله مولکول‌های فعال نمایش داده می‌شوند، مهم است آن با استفاده از قطبش سنجی اندازه‌گیری می‌شود. عبارت پلاریزاسیون (قطبی شدگی) به اثر القایی یا موجی در یک گروه عامل در خواص الکترونیکی (گشتاور دو قطبی) در یک پیوند کوالانسی یا اتم گفته می‌شود. این مفهوم بر اساس تشکیل یک گشتاور الکتریکی در داخل یک مولکول است که معمولاً با پلاریزاسیون امواج الکترومغناطیسی مرتبط نیست. نور پلاریزه شده با مواد ناهمسانگرد که اساس انکسار مضاعف است رابطه‌ای ندارد. این معمولاً در مواد کریستالی دیده می‌شود و در زمین‌شناسی مفید هستند. نور پلاریزه شده یک انکسار دوبل است. چون شاخص انکسار برای نور پلاریزه شده افقی و عمودی در این مواد متفاوت است، گفته می‌شود توانایی قطبی شدن در مواد ناهمسانگرد در تمام جهت‌ها با هم برابر نیست. این ناهمسانگردی باعث بوجود آمدن تغییراتی در پلاریزاسیون پرتوهای فرعی می‌شود و به آسانی با استفاده از ذره بینی (میکروسکوپی) یا قطبش سنجی قطب‌های متقابل قابل رؤیت است. چرخش اپتیکال در مؤلفه‌های کایرال از انکسار مضاعف دایره‌ای مشتق می‌شود. انکسار مضاعف دایره‌ای همانند انکسار مضاعف خطی که در بالا توضیح داده شدیک انکسار دوبل در نور پلاریزه شده دایره‌ای است.

ستاره‌شناسی[ویرایش]

در بسیاری از حوزه‌های ستاره‌شناسی، تحقیق دربارهٔ انعکاس الکترومغناطیسی پلاریزه شده از فضای خارجی از اهمیت خاصی برخوردار است. اگر چه معمولاً یک عامل در انعکاس گرمایی در ستارگان وجود ندارد ولی پلاریزاسیون در انعکاس از منابع همدوسی نجومی و منابع ناهمدوس مثل قطعات رادیویی بزرگ در کهکشان‌های فعال و انعکاس رادیویی بالسار وجود دارد؛ و پراکندگی پلاریزاسیون میدان مغناطیسی بین ستاره‌ای را از طریق چرخش فارادی ردیابی می‌کند. پلاریزاسیون در زمینه میکروویوهای کیهانی برای تحقیق دربارهٔ فیزیک در جهان خیلی قدیم به کار می‌رود. انعکاس سینکروترون پلاریزه می‌شود.

فیلم های۳ بعدی[ویرایش]

پلاریزاسیون هم چنین برای بعضی از فیلم‌های سه بعدی به کار برده می‌شود که در آن‌ها تصاویری که هر کدام برای یکی از چشمها است یا توسط دو پروژکتور مختلف با صافی‌های پلاریزه در راستای قائم پخش می‌شود یا از روش معمول یک پروژکتور با پلاریزاسیون مالتیپلکس زمانی (به طور متناوب و سریع قطبش را تغییر می‌دهد). در این میان عینک‌های سه بعدی پلاریزه شده که هر چشم آن قطبش مخصوص آن چشم را از منبع پخش تصویر عبور می‌دهد نهایتاً این امکان را به وجود می‌آورد که هر چشم فقط یک تصویر را دریافت کند. در فدیم صفحه‌های استریوسکوپیک از قطبش خطی استفاده می‌کردند چون هم ارزان و هم روش خوبی برای جداسازی [پرتو] بودند. پلاریزاسیون دایره‌ای باعث می‌شود که جدایی چشم راست و چپ از هم نسبت به راستای نگاه غیر حساس یا بی تفاوت شود؛ پلاریزاسیون چرخشی در نمایش فیلمهای معمول امروزی به کار گرفته می‌شود مانند سامانهٔ ساخت RealD. [تصویر] سه بعدی پلاریزه شده فقط در صفحه‌هایی قابل نمایش است که پلاریزاسیون را حفظ می‌کنند (مثل صفحه‌های نقره‌ای [از جنس نقره])؛ صفحه‌های معمولی باعث قطبش زدایی یا دیپلاریزاسیون می‌شوند و جلوه تصویر سه بعدی را از بین می‌برد.

کاربردهای آن در را دارو ارتباطات[ویرایش]

تمام انتقال‌های رادیویی و آنتن‌های دریافت پلاریزه می‌شود. مخصوصاً وقتی که در یک رادار اکثر آنتن‌ها پلاریزاسیون دایره‌ای عمودی یا افقی را منعکس می‌کند. اگر چه پلاریزاسیون بیضی همیشه وجود دارد. میدان الکتریکی یا صفحه شکل، پلاریزاسیون یا چرخش موج رادیویی را نشان می‌دهد. پلاریزاسیون عمودی غالباً زمانی بکار می‌رود که یک سیگنال رادیویی در تمام جهات مثل واحدهای متحرک توزیع شده منعکس می‌شود. رادیوییM FوMAاز پلاریزاسیون عمودی استفاده می‌کنند در حالیکه تلویزیون از پلاریزاسیون افقی استفاده می‌کند. پلاریزاسیون عمودی یا افقی انتخابی در ارتباط ماهواره به کار می‌رود. به ماهواره این امکان را می‌دهد تا دو ارسال مجزا در یک فرکانس مشخص عمل کند و بنابراین تعداد مشتری‌ها را در یک ماهواره دو برابر می‌کند. وسایل انکسار مضاعف کنترل شده از نظر الکترونیکی را در ترکیب با صافی‌های پلاریزه به عنوان واسطه‌هایی در فیبرهای نوری به کار می‌برند.

زاویه بروستر[ویرایش]

An illustration of the polarization of light that is incident on an interface at Brewster's angle.

این زاویه (همچنین به عنوان زاویهٔ قطبش شناخته می‌شود)، زاویه پرتوی تابشی هر نور با قطبش خاص می‌باشد که به طور کامل بدون هیچ بازتابی از سطح شفاف دی الکتریک عبور می‌کند. وقتی نور غیر قطبیده در این زاویه تابیده می‌شود، نور بازتابی از سطح به طور کامل قطبیده می‌شود. این زاویه خاص تابشی بعدها توسط فیزیکدان اسکاتلندی، دیوید بروستر نامگذاری شد. (۱۸۶۸–۱۷۸۱)

تعریف[ویرایش]

وقتی نور وارد مرز بین دو ماده با ضریب شکست متفاوت می‌شود، همان‌طور که در شکل بالا نشان داده شده است، قسمتی از آن معمولاً بازتاب می‌شود. آن بخشی که بازتاب می‌شود، توسط معادلات فرنل توصیف می‌شود و به قطبش نور ورودی و زاویه تابش بستگی دارد.

معادلات فرنل پیش بینی می‌کند که نور با قطبش p(میدان الکتریکی در همان صفحهٔ پرتو تابشی و سطح نرمال قطبیده می‌شود) بازتابیده نخواهد شد اگر زاویهٔ تابش برابر باشد با:

که n1 ضریب شکست مادهٔ اولیه که نور از داخل آن منتشر می‌شود، می‌باشد و n2 ضریب شکست ماده دیگر می‌باشد. این معادلات به عنوان قانون بروستر شناخته می‌شود و زاویه تعریف شده توسط آن زاویه بروستر می‌باشد.

مکانیزم فیزیکی برای این معادله می‌تواند به صورت کیفی از روشی فهمیده شود که در آن دو قطبی الکتریکی در این ماده با نور قطبش p واکنش می‌دهد. اولاً می‌توان تصور کرد که نور تابشی روی سطح جذب می‌شود و سپس توسط نوسان دو قطبی الکتریکی بین دو ماده دوباره تابش می‌کند.

قطبش آزاد نور منتشر شده همیشه عمود بر جهتی است که نور در آن حرکت می‌کند. دو قطبی نیز یک نور عبوری (بازتابی) تولید می‌کند که در جهت قطبش نور نوسان می‌کند. این نوسانات دو قطبی همچنین یک نور بازتابی تولید می‌کند. اگرچه دو قطبی‌ها هیچ انرژی را در جهت گشتاور دو قطبی تابش نمی‌کنند. در نتیجه اگر جهت شکست عمود بر جهت نور باشد، دو قطبی نمی‌تواند هیچ نوری را ایجاد کند. با یک هندسه ساده این شرط می‌تواند بیان کند که :

وقتی که θ1 زاویه تابش و θ2 زاویه شکست می‌باشد.

با استفاده از قانون اسنل داریم:

 :

زاویه تابش θ1 = θB رادر حالتی که هیچ بازتابی نداریم، محاسبه می‌کنیم:

 :

که حل برای θB به ما می‌دهد:

برای یک ماده شیشه ای (n2 ≈ ۱٫۵)که در هوا قرار دارد(n1 ≈ ۱)، زاویه بروستر

برای نور مریی تقریباً ۵۶ درجه و برای یک سطح رابط آب-هوا(n2 ≈ ۱٫۳۳), تقریباً برابر با ۵۳ درجه است.

چون ضریب شکست برای یک مادهٔ معین با طول موج نور تغییر می‌کند و به آن بستگی دارد، زاویهٔ بروستر با طول موج تغییر خواهد کرد.

پدیده قطبش نور توسط بازتاب از سطح در یک زاویهٔ خاص برای اولین بار توسطEtiennEtienne-Louis در سال ۱۸۰۸ مشاهده شد. او تلاش کرد که زاویه قطبش را با ضریب شکست ماده مرتبط کند، اما به دلیل کیفیت بد شیشه‌های موجود در آن زمان ناامید شد. در سال ۱۸۱۵ بروستر به صورت تجربی با مواد با کیفیت تر نشان داد که این زاویه تابعی از ضریب شکست می‌باشد که به قانون بروستر معروف شد.

زاویهٔ بروستر اغلب به زاویهٔ قطبش نسبت داده می‌شود، چون نوری که در این زاویه از سطح بازتاب می‌شود،

به طور کامل در جهت عمود بر صفحهٔ تابش (قطبش s) قرار دارد.

یک سطح شیشه ای یا تعداد زیادی از سطوحی که در زاویهٔ بروستر قرار داده شده‌اند، می‌توانند به عنوان قطبش گر مورد استفاده قرار گیرند. مفهوم زاویهٔ قطبش می‌تواند به عنوان مفهوم عدد موج بروستر برای پوشش دادن سطح تخت بین دو مادهٔ ناهمسانگرد دوگانه (bianisotropic) عمومیت پیدا کند.

کاربردها[ویرایش]

عینک‌های آفتابی قطبیده شده از قانون بروستر برای کاهش تشعشع ناشی از بازتاب خورشید روی سطوح آب یا جاده استفاده می‌کنند. در یک محدودهٔ بزرگ از زاویه‌های اطراف زاویهٔ بروستر بازتاب قطبش p نور کمتر از قطبش s می‌باشد؛ بنابراین اگر خورشید در آسمان پایین باشد، نور بازتابی اکثراً دارای قطبش s می‌باشد. عینک‌های قطبشی از مواد قطبشی مانند: ورقه‌های پلاروید برای مسدود کردن قطبش افقی نور استفاده می‌کنند که ترجیحاً بازتاب‌های سطوح افقی را مسدود می‌کند. این اثر برای سطوح صاف مثل آب بسیار قوی است، اما برای بازتاب از جاده‌ها و سطح زمین کاهش می‌یابد. عکاس‌ها از بعضی اصول از بین بردن بازتاب‌ها از آب استفاده می‌کنند تا بتوانند از اجسام زیر سطح آب عکس بگیرند.

Photograph taken of a window with a camera polarizer filter rotated to two different angles. In the picture at left, the polarizer is aligned with the polarization angle of the window reflection. In the picture at right, the polarizer has been rotated 90° eliminating the heavily polarized reflected sunlight.

پنجره بروستر[ویرایش]

A Brewster window

لیزرهای گازی معمولاً از یک پنجرهٔ شیب دار در زاویهٔ بروستر استفاده می‌کنند که اجازه می‌دهد پرتو، لوله لیزر را ترک کند. چون پنچره مقداری از نور با قطبش s را بازتاب می‌کند، اما نور با قطبش p را بازتاب نمی‌کند، بهره برای قطبش s کاهش می‌یابد اما هیچ تأثیری بر روی قطبش p ندارد. به این دلیل خروجی لیزر دارای قطبش p می‌باشد و اجازه می‌دهد لیزر بدون هیچ اتلافی تولید شود.

منابع[ویرایش]

متن ویکی‌پدیا

پیوند به بیرون[ویرایش]

  • --- رده‌بندی --->


علوم پایه[ویرایش]

تغییر شکل (انبساط) در شیشه‌های (عینک‌های) پلاستیکی

در مهندسی رابطه بین انبساط و انکسار مضاعف کاربرد پلاریزاسیون را در تشخیص توزیع استرس و تغییر شکل در نمونه‌های اولیه تحریک می‌کند.

Strain in plastic glasses

دریا نوردی (کشتیرانی)[ویرایش]

از پلاریزاسیون آسمان در قطب نمای آسمانی استفاده می‌شود که این کار در سال ۱۹۵۰در زمانیکه دریانوردی در نزدیک قطب‌های میدان مغناطیسی زمین در زمانیکه اصلاً خورشید یا ستارگان دیده نمی‌شدند، صورت گرفت. پیشنهاد شده‌است که وایکینگ‌ها یک وسیله مشابهی را در سفر طولانی مدتشان به قطب شمال در قرن‌ها ی نهم تا یازدهم قبل از رسیدن به قطب مغناطیسی در اروپا در قرن بیستم به کار بردند. قطب آسمان یک ساعت قطبی است که توسط «ویت استون» در اواخر قرن نوزدهم کشف شد.

عکاسی[ویرایش]

A polarizer filters out the polarized component of light from the sky in a color photograph, increasing contrast with the clouds (right).

در عکاسی صافی‌های قطبی به کار می‌روند و اغلب برای بهبود کیفیت ظهور به کار می‌روند. فیلترهای قطبی کننده خارج از مؤلفه پلاریزه شده در نور آسمان در یک عکس رنگی تضاد بین سایه‌ها را افزایش می‌دهد.

منابع[ویرایش]

  • Principles of Optics, 7th edition, M. Born & E. Wolf, Cambridge University, 1999, ISBN 0-521-64222-1.
  • Fundamentals of polarized light: a statistical optics approach, C. Brosseau, Wiley, 1998, ISBN 0-471-14302-2.
  • Polarized Light, second edition, Dennis Goldstein, Marcel Dekker, 2003, ISBN 0-8247-4053-X
  • Field Guide to Polarization, Edward Collett, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE, 2005, ISBN 0-8194-5868-6.
  • Polarization Optics in Telecommunications, Jay N. Damask, Springer 2004, ISBN 0-387-22493-9.
  • Optics, 4th edition, Eugene Hecht, Addison Wesley 2002, ISBN 0-8053-8566-5.
  • Polarized Light in Nature, G. P. Können, Translated by G. A. Beerling, Cambridge University, 1985, ISBN 0-521-25862-6.
  • Polarised Light in Science and Nature, D. Pye, Institute of Physics, 2001, ISBN 0-7503-0673-4.
  • Polarized Light, Production and Use, William A. Shurcliff, Harvard University, 1962.
  • Ellipsometry and Polarized Light, R. M. A. Azzam and N. M. Bashara, North-Holland, 1977, ISBN 0-444-87016-4
  • Secrets of the Viking Navigators—How the Vikings used their amazing sunstones and other techniques to cross the open oceans, Leif Karlsen, One Earth Press, 2003.
Circular polarization on rubber thread, converted to linear polarization

Polarization (also polarisation) is a property applying to transverse waves that specifies the geometrical orientation of the oscillations.[1][2][3][4][5] In a transverse wave, the direction of the oscillation is transverse to the direction of motion of the wave, so the oscillations can have different directions perpendicular to the wave direction.[4] A simple example of a polarized transverse wave is vibrations traveling along a taut string (see image); for example, in a musical instrument like a guitar string. Depending on how the string is plucked, the vibrations can be in a vertical direction, horizontal direction, or at any angle perpendicular to the string. In contrast, in longitudinal waves, such as sound waves in a liquid or gas, the displacement of the particles in the oscillation is always in the direction of propagation, so these waves do not exhibit polarization. Transverse waves that exhibit polarization include electromagnetic waves such as light and radio waves, gravitational waves,[6] and transverse sound waves (shear waves) in solids. In some types of transverse waves, the wave displacement is limited to a single direction, so these also do not exhibit polarization; for example, in surface waves in liquids (gravity waves), the wave displacement of the particles is always in a vertical plane.

An electromagnetic wave such as light consists of a coupled oscillating electric field and magnetic field which are always perpendicular; by convention, the "polarization" of electromagnetic waves refers to the direction of the electric field. In linear polarization, the fields oscillate in a single direction. In circular or elliptical polarization, the fields rotate at a constant rate in a plane as the wave travels. The rotation can have two possible directions; if the fields rotate in a right hand sense with respect to the direction of wave travel, it is called right circular polarization, or, if the fields rotate in a left hand sense, it is called left circular polarization.

Light or other electromagnetic radiation from many sources, such as the sun, flames, and incandescent lamps, consists of short wave trains with an equal mixture of polarizations; this is called unpolarized light. Polarized light can be produced by passing unpolarized light through a polarizing filter, which allows waves of only one polarization to pass through. The most common optical materials (such as glass) are isotropic and do not affect the polarization of light passing through them; however, some materials—those that exhibit birefringence, dichroism, or optical activity—can change the polarization of light. Some of these are used to make polarizing filters. Light is also partially polarized when it reflects from a surface.

According to quantum mechanics, electromagnetic waves can also be viewed as streams of particles called photons. When viewed in this way, the polarization of an electromagnetic wave is determined by a quantum mechanical property of photons called their spin. A photon has one of two possible spins: it can either spin in a right hand sense or a left hand sense about its direction of travel. Circularly polarized electromagnetic waves are composed of photons with only one type of spin, either right- or left-hand. Linearly polarized waves consist of equal numbers of right and left hand spinning photons, with their phase synchronized so they superpose to give oscillation in a plane.

Polarization is an important parameter in areas of science dealing with transverse waves, such as optics, seismology, radio, and microwaves. Especially impacted are technologies such as lasers, wireless and optical fiber telecommunications, and radar.

Introduction

Wave propagation and polarization

Most sources of light are classified as incoherent and unpolarized (or only "partially polarized") because they consist of a random mixture of waves having different spatial characteristics, frequencies (wavelengths), phases, and polarization states. However, for understanding electromagnetic waves and polarization in particular, it is easiest to just consider coherent plane waves; these are sinusoidal waves of one particular direction (or wavevector), frequency, phase, and polarization state. Characterizing an optical system in relation to a plane wave with those given parameters can then be used to predict its response to a more general case, since a wave with any specified spatial structure can be decomposed into a combination of plane waves (its so-called angular spectrum). And incoherent states can be modeled stochastically as a weighted combination of such uncorrelated waves with some distribution of frequencies (its spectrum), phases, and polarizations.

Transverse electromagnetic waves

A "vertically polarized" electromagnetic wave of wavelength λ has its electric field vector E (red) oscillating in the vertical direction. The magnetic field B (or H) is always at right angles to it (blue), and both are perpendicular to the direction of propagation (z).

Electromagnetic waves (such as light), traveling in free space or another homogeneous isotropic non-attenuating medium, are properly described as transverse waves, meaning that a plane wave's electric field vector E and magnetic field H are in directions perpendicular to (or "transverse" to) the direction of wave propagation; E and H are also perpendicular to each other. Considering a monochromatic plane wave of optical frequency f (light of vacuum wavelength λ has a frequency of f = c/λ where c is the speed of light), let us take the direction of propagation as the z axis. Being a transverse wave the E and H fields must then contain components only in the x and y directions whereas Ez=Hz=0. Using complex (or phasor) notation, we understand the instantaneous physical electric and magnetic fields to be given by the real parts of the complex quantities occurring in the following equations. As a function of time t and spatial position z (since for a plane wave in the +z direction the fields have no dependence on x or y) these complex fields can be written as:

and

where λ/n is the wavelength in the medium (whose refractive index is n) and T = 1/f is the period of the wave. Here ex, ey, hx, and hy are complex numbers. In the second more compact form, as these equations are customarily expressed, these factors are described using the wavenumber and angular frequency (or "radian frequency") . In a more general formulation with propagation not restricted to the +z direction, then the spatial dependence kz is replaced by where is called the wave vector, the magnitude of which is the wavenumber.

Thus the leading vectors e and h each contain up to two nonzero (complex) components describing the amplitude and phase of the wave's x and y polarization components (again, there can be no z polarization component for a transverse wave in the +z direction). For a given medium with a characteristic impedance , h is related to e by:

and

.

In a dielectric, η is real and has the value η0/n, where n is the refractive index and η0 is the impedance of free space. The impedance will be complex in a conducting medium.[clarification needed] Note that given that relationship, the dot product of E and H must be zero:[dubious ]

indicating that these vectors are orthogonal (at right angles to each other), as expected.

So knowing the propagation direction (+z in this case) and η, one can just as well specify the wave in terms of just ex and ey describing the electric field. The vector containing ex and ey (but without the z component which is necessarily zero for a transverse wave) is known as a Jones vector. In addition to specifying the polarization state of the wave, a general Jones vector also specifies the overall magnitude and phase of that wave. Specifically, the intensity of the light wave is proportional to the sum of the squared magnitudes of the two electric field components:

however the wave's state of polarization is only dependent on the (complex) ratio of ey to ex. So let us just consider waves whose |ex|2 + |ey|2 = 1; this happens to correspond to an intensity of about .00133 watts per square meter in free space (where ). And since the absolute phase of a wave is unimportant in discussing its polarization state, let us stipulate that the phase of ex is zero, in other words ex is a real number while ey may be complex. Under these restrictions, ex and ey can be represented as follows:

where the polarization state is now fully parameterized by the value of Q (such that −1 < Q < 1) and the relative phase . By convention when one speaks of a wave's "polarization," if not otherwise specified, reference is being made to the polarization of the electric field. The polarization of the magnetic field always follows that of the electric field but with a 90 degree rotation, as detailed above.

Non-transverse polarization

In addition to transverse waves, there are many wave motions where the oscillation is not limited to directions perpendicular to the direction of propagation. These cases are far beyond the scope of the current article which concentrates on transverse waves (such as most electromagnetic waves in bulk media), however one should be aware of cases where the polarization of a coherent wave cannot be described simply using a Jones vector, as we have just done.

Just considering electromagnetic waves, we note that the preceding discussion strictly applies to plane waves in a homogeneous isotropic non-attenuating medium, whereas in an anisotropic medium (such as birefringent crystals as discussed below) the electric or magnetic field may have longitudinal as well as transverse components. In those cases the electric displacement D and magnetic flux density B[clarification needed] still obey the above geometry but due to anisotropy in the electric susceptibility (or in the magnetic permeability), now given by a tensor, the direction of E (or H) may differ from that of D (or B). Even in isotropic media, so-called inhomogeneous waves can be launched into a medium whose refractive index has a significant imaginary part (or "extinction coefficient") such as metals;[clarification needed] these fields are also not strictly transverse.[7]:179–184[8]:51–52 Surface waves or waves propagating in a waveguide (such as an optical fiber) are generally not transverse waves, but might be described as an electric or magnetic transverse mode, or a hybrid mode.

Even in free space, longitudinal field components can be generated in focal regions, where the plane wave approximation breaks down. An extreme example is radially or tangentially polarized light, at the focus of which the electric or magnetic field respectively is entirely longitudinal (along the direction of propagation).[9]

For longitudinal waves such as sound waves in fluids, the direction of oscillation is by definition along the direction of travel, so the issue of polarization is not normally even mentioned. On the other hand, sound waves in a bulk solid can be transverse as well as longitudinal, for a total of three polarization components. In this case, the transverse polarization is associated with the direction of the shear stress and displacement in directions perpendicular to the propagation direction, while the longitudinal polarization describes compression of the solid and vibration along the direction of propagation. The differential propagation of transverse and longitudinal polarizations is important in seismology.

Polarization state

Electric field oscillation

Polarization is best understood by initially considering only pure polarization states, and only a coherent sinusoidal wave at some optical frequency. The vector in the adjacent diagram might describe the oscillation of the electric field emitted by a single-mode laser (whose oscillation frequency would be typically 1015 times faster). The field oscillates in the x-y plane, along the page, with the wave propagating in the z direction, perpendicular to the page. The first two diagrams below trace the electric field vector over a complete cycle for linear polarization at two different orientations; these are each considered a distinct state of polarization (SOP). Note that the linear polarization at 45° can also be viewed as the addition of a horizontally linearly polarized wave (as in the leftmost figure) and a vertically polarized wave of the same amplitude in the same phase.

Polarisation state - Linear polarization parallel to x axis.svg
Polarisation state - Linear polarization oriented at +45deg.svg

Polarisation state - Right-elliptical polarization A.svg

Polarisation state - Right-circular polarization.svg

Polarisation state - Left-circular polarization.svg

Animation showing four different polarization states and two orthogonal projections.
A circularly polarized wave as a sum of two linearly polarized components 90° out of phase

Now if one were to introduce a phase shift in between those horizontal and vertical polarization components, one would generally obtain elliptical polarization[10] as is shown in the third figure. When the phase shift is exactly ±90°, then circular polarization is produced (fourth and fifth figures). Thus is circular polarization created in practice, starting with linearly polarized light and employing a quarter-wave plate to introduce such a phase shift. The result of two such phase-shifted components in causing a rotating electric field vector is depicted in the animation on the right. Note that circular or elliptical polarization can involve either a clockwise or counterclockwise rotation of the field. These correspond to distinct polarization states, such as the two circular polarizations shown above.

Of course the orientation of the x and y axes used in this description is arbitrary. The choice of such a coordinate system and viewing the polarization ellipse in terms of the x and y polarization components, corresponds to the definition of the Jones vector (below) in terms of those basis polarizations. One would typically choose axes to suit a particular problem such as x being in the plane of incidence. Since there are separate reflection coefficients for the linear polarizations in and orthogonal to the plane of incidence (p and s polarizations, see below), that choice greatly simplifies the calculation of a wave's reflection from a surface.

Moreover, one can use as basis functions any pair of orthogonal polarization states, not just linear polarizations. For instance, choosing right and left circular polarizations as basis functions simplifies the solution of problems involving circular birefringence (optical activity) or circular dichroism.

Polarization ellipse

Polarisation ellipse2.svg

Consider a purely polarized monochromatic wave. If one were to plot the electric field vector over one cycle of oscillation, an ellipse would generally be obtained, as is shown in the figure, corresponding to a particular state of elliptical polarization. Note that linear polarization and circular polarization can be seen as special cases of elliptical polarization.

A polarization state can then be described in relation to the geometrical parameters of the ellipse, and its "handedness", that is, whether the rotation around the ellipse is clockwise or counter clockwise. One parameterization of the elliptical figure specifies the orientation angle ψ, defined as the angle between the major axis of the ellipse and the x-axis[11] along with the ellipticity ε=a/b, the ratio of the ellipse's major to minor axis.[12][13][14][15] (also known as the axial ratio). The ellipticity parameter is an alternative parameterization of an ellipse's eccentricity , or the ellipticity angle, χ = arctan b/a= arctan 1/ε as is shown in the figure.[11] The angle χ is also significant in that the latitude (angle from the equator) of the polarization state as represented on the Poincaré sphere (see below) is equal to ±2χ. The special cases of linear and circular polarization correspond to an ellipticity ε of infinity and unity (or χ of zero and 45°) respectively.

Jones vector

Full information on a completely polarized state is also provided by the amplitude and phase of oscillations in two components of the electric field vector in the plane of polarization. This representation was used above to show how different states of polarization are possible. The amplitude and phase information can be conveniently represented as a two-dimensional complex vector (the Jones vector):

Here and denote the amplitude of the wave in the two components of the electric field vector, while and represent the phases. The product of a Jones vector with a complex number of unit modulus gives a different Jones vector representing the same ellipse, and thus the same state of polarization. The physical electric field, as the real part of the Jones vector, would be altered but the polarization state itself is independent of absolute phase. The basis vectors used to represent the Jones vector need not represent linear polarization states (i.e. be real). In general any two orthogonal states can be used, where an orthogonal vector pair is formally defined as one having a zero inner product. A common choice is left and right circular polarizations, for example to model the different propagation of waves in two such components in circularly birefringent media (see below) or signal paths of coherent detectors sensitive to circular polarization.

Coordinate frame

Regardless of whether polarization state is represented using geometric parameters or Jones vectors, implicit in the parameterization is the orientation of the coordinate frame. This permits a degree of freedom, namely rotation about the propagation direction. When considering light that is propagating parallel to the surface of the Earth, the terms "horizontal" and "vertical" polarization are often used, with the former being associated with the first component of the Jones vector, or zero azimuth angle. On the other hand, in astronomy the equatorial coordinate system is generally used instead, with the zero azimuth (or position angle, as it is more commonly called in astronomy to avoid confusion with the horizontal coordinate system) corresponding to due north.

s and p designations

Electromagnetic vectors for , and with along with 3 planar projections and a deformation surface of total electric field. The light is always s-polarized in the xy plane. is the polar angle of and is the azimuthal angle of .

Another coordinate system frequently used relates to the plane of incidence. This is the plane made by the incoming propagation direction and the vector perpendicular to the plane of an interface, in other words, the plane in which the ray travels before and after reflection or refraction. The component of the electric field parallel to this plane is termed p-like (parallel) and the component perpendicular to this plane is termed s-like (from senkrecht, German for perpendicular). Polarized light with its electric field along the plane of incidence is thus denoted p-polarized, while light whose electric field is normal to the plane of incidence is called s-polarized. P polarization is commonly referred to as transverse-magnetic (TM), and has also been termed pi-polarized or tangential plane polarized. S polarization is also called transverse-electric (TE), as well as sigma-polarized or sagittal plane polarized.

Unpolarized and partially polarized light

Definition

Natural light, and most other common sources of visible light, are incoherent: radiation is produced independently by a large number of atoms or molecules whose emissions are uncorrelated and generally of random polarizations. In this case the light is said to be unpolarized. This term is somewhat inexact, since at any instant of time at one location there is a definite direction to the electric and magnetic fields, however it implies that the polarization changes so quickly in time that it will not be measured or relevant to the outcome of an experiment. A so-called depolarizer acts on a polarized beam to create one which is actually fully polarized at every point, but in which the polarization varies so rapidly across the beam that it may be ignored in the intended applications.

Unpolarized light can be described as a mixture of two independent oppositely polarized streams, each with half the intensity.[16] Light is said to be partially polarized when there is more power in one of these streams than the other. At any particular wavelength, partially polarized light can be statistically described as the superposition of a completely unpolarized component and a completely polarized one.[17]:330 One may then describe the light in terms of the degree of polarization and the parameters of the polarized component. That polarized component can be described in terms of a Jones vector or polarization ellipse, as is detailed above. However, in order to also describe the degree of polarization, one normally employs Stokes parameters (see below) to specify a state of partial polarization.[17]:351,374–375

Motivation

The transmission of plane waves through a homogeneous medium are fully described in terms of Jones vectors and 2×2 Jones matrices. However, in practice there are cases in which all of the light cannot be viewed in such a simple manner due to spatial inhomogeneities or the presence of mutually incoherent waves. So-called depolarization, for instance, cannot be described using Jones matrices. For these cases it is usual instead to use a 4×4 matrix that acts upon the Stokes 4-vector. Such matrices were first used by Paul Soleillet in 1929, although they have come to be known as Mueller matrices. While every Jones matrix has a Mueller matrix, the reverse is not true. Mueller matrices are then used to describe the observed polarization effects of the scattering of waves from complex surfaces or ensembles of particles, as shall now be presented.[17]:377–379

Coherency matrix

The Jones vector perfectly describes the state of polarization and phase of a single monochromatic wave, representing a pure state of polarization as described above. However any mixture of waves of different polarizations (or even of different frequencies) do not correspond to a Jones vector. In so-called partially polarized radiation the fields are stochastic, and the variations and correlations between components of the electric field can only be described statistically. One such representation is the coherency matrix:[18]:137–142

where angular brackets denote averaging over many wave cycles. Several variants of the coherency matrix have been proposed: the Wiener coherency matrix and the spectral coherency matrix of Richard Barakat measure the coherence of a spectral decomposition of the signal, while the Wolf coherency matrix averages over all time/frequencies.

The coherency matrix contains all second order statistical information about the polarization. This matrix can be decomposed into the sum of two idempotent matrices, corresponding to the eigenvectors of the coherency matrix, each representing a polarization state that is orthogonal to the other. An alternative decomposition is into completely polarized (zero determinant) and unpolarized (scaled identity matrix) components. In either case, the operation of summing the components corresponds to the incoherent superposition of waves from the two components. The latter case gives rise to the concept of the "degree of polarization"; i.e., the fraction of the total intensity contributed by the completely polarized component.

Stokes parameters

The coherency matrix is not easy to visualize, and it is therefore common to describe incoherent or partially polarized radiation in terms of its total intensity (I), (fractional) degree of polarization (p), and the shape parameters of the polarization ellipse. An alternative and mathematically convenient description is given by the Stokes parameters, introduced by George Gabriel Stokes in 1852. The relationship of the Stokes parameters to intensity and polarization ellipse parameters is shown in the equations and figure below.

Here Ip, 2ψ and 2χ are the spherical coordinates of the polarization state in the three-dimensional space of the last three Stokes parameters. Note the factors of two before ψ and χ corresponding respectively to the facts that any polarization ellipse is indistinguishable from one rotated by 180°, or one with the semi-axis lengths swapped accompanied by a 90° rotation. The Stokes parameters are sometimes denoted I, Q, U and V.

Poincaré sphere

Neglecting the first Stokes parameter S0 (or I), the three other Stokes parameters can be plotted directly in three dimensional Cartesian coordinates. For a given power in the polarized component given by:

the set of all polarization states are then mapped to points on the surface of the so-called Poincaré sphere (but of radius P), as shown in the accompanying diagram.

Poincaré sphere, on or beneath which the three Stokes parameters [S1, S2, S3] (or [Q,U,V]) are plotted in Cartesian coordinates

Often the total beam power is not of interest, in which case a normalized Stokes vector is used by dividing the Stokes vector by the total intensity S0:

The normalized Stokes vector then has unity power () and the three significant Stokes parameters plotted in three dimensions will lie on the unity-radius Poincaré sphere for pure polarization states (where ). Partially polarized states will lie inside the Poincaré sphere at a distance of from the origin. When the non-polarized component is not of interest, the Stokes vector can be further normalized to obtain

When plotted, that point will lie on the surface of the unity-radius Poincaré sphere and indicate the state of polarization of the polarized component.

Any two antipodal points on the Poincaré sphere refer to orthogonal polarization states. The overlap between any two polarization states is dependent solely on the distance between their locations along the sphere. This property, which can only be true when pure polarization states are mapped onto a sphere, is the motivation for the invention of the Poincaré sphere and the use of Stokes parameters which are thus plotted on (or beneath) it.

Implications for reflection and propagation

Polarization in wave propagation

In a vacuum, the components of the electric field propagate at the speed of light, so that the phase of the wave varies in space and time while the polarization state does not. That is, the electric field vector e of a plane wave in the +z direction follows:

where k is the wavenumber. As noted above, the instantaneous electric field is the real part of the product of the Jones vector times the phase factor . When an electromagnetic wave interacts with matter, its propagation is altered according to the material's (complex) index of refraction. When the real or imaginary part of that refractive index is dependent on the polarization state of a wave, properties known as birefringence and polarization dichroism (or diattenuation) respectively, then the polarization state of a wave will generally be altered.

In such media, an electromagnetic wave with any given state of polarization may be decomposed into two orthogonally polarized components that encounter different propagation constants. The effect of propagation over a given path on those two components is most easily characterized in the form of a complex 2×2 transformation matrix J known as a Jones matrix:

The Jones matrix due to passage through a transparent material is dependent on the propagation distance as well as the birefringence. The birefringence (as well as the average refractive index) will generally be dispersive, that is, it will vary as a function of optical frequency (wavelength). In the case of non-birefringent materials, however, the 2×2 Jones matrix is the identity matrix (multiplied by a scalar phase factor and attenuation factor), implying no change in polarization during propagation.

For propagation effects in two orthogonal modes, the Jones matrix can be written as

where g1 and g2 are complex numbers describing the phase delay and possibly the amplitude attenuation due to propagation in each of the two polarization eigenmodes. T is a unitary matrix representing a change of basis from these propagation modes to the linear system used for the Jones vectors; in the case of linear birefringence or diattenuation the modes are themselves linear polarization states so T and T−1 can be omitted if the coordinate axes have been chosen appropriately.

Birefringence

In media termed birefringent, in which the amplitudes are unchanged but a differential phase delay occurs, the Jones matrix is a unitary matrix: |g1| = |g2| = 1. Media termed diattenuating (or dichroic in the sense of polarization), in which only the amplitudes of the two polarizations are affected differentially, may be described using a Hermitian matrix (generally multiplied by a common phase factor). In fact, since any matrix may be written as the product of unitary and positive Hermitian matrices, light propagation through any sequence of polarization-dependent optical components can be written as the product of these two basic types of transformations.

Color pattern of a plastic box showing stress induced birefringence when placed in between two crossed polarizers.

In birefringent media there is no attenuation but two modes accrue a differential phase delay. Well known manifestations of linear birefringence (that is, in which the basis polarizations are orthogonal linear polarizations) appear in optical wave plates/retarders and many crystals. If linearly polarized light passes through a birefringent material, its state of polarization will generally change unless its polarization direction is identical to one of those basis polarizations. Since the phase shift, and thus the change in polarization state, is usually wavelength dependent, such objects viewed under white light in between two polarizers may give rise to colorful effects, as seen in the accompanying photograph.

Circular birefringence is also termed optical activity especially in chiral fluids, or Faraday rotation when due to the presence of a magnetic field along the direction of propagation. When linearly polarized light is passed through such an object, it will exit still linearly polarized but with the axis of polarization rotated. A combination of linear and circular birefringence will have as basis polarizations two orthogonal elliptical polarizations; the term "elliptical birefringence" however is rarely used.

Paths taken by vectors in the Poincaré sphere under birefringence. The propagation modes (rotation axes) are shown with red, blue, and yellow lines, the initial vectors by thick black lines, and the paths they take by colored ellipses (which represent circles in three dimensions).

One can visualize the case of linear birefringence (with two orthogonal linear propagation modes) with an incoming wave linearly polarized at a 45° angle to those modes. As a differential phase starts to accrue, the polarization becomes elliptical, eventually changing to purely circular polarization (90° phase difference), then to elliptical and eventually linear polarization (180° phase) perpendicular to the original polarization, then through circular again (270° phase), then elliptical with the original azimuth angle, and finally back to the original linearly polarized state (360° phase) where the cycle begins anew. In general the situation is more complicated and can be characterized as a rotation in the Poincaré sphere about the axis defined by the propagation modes. Examples for linear (blue), circular (red), and elliptical (yellow) birefringence are shown in the figure on the left. The total intensity and degree of polarization are unaffected. If the path length in the birefringent medium is sufficient, the two polarization components of a collimated beam (or ray) can exit the material with a positional offset, even though their final propagation directions will be the same (assuming the entrance face and exit face are parallel). This is commonly viewed using calcite crystals, which present the viewer with two slightly offset images, in opposite polarizations, of an object behind the crystal. It was this effect that provided the first discovery of polarization, by Erasmus Bartholinus in 1669.

Dichroism

Media in which transmission of one polarization mode is preferentially reduced are called dichroic or diattenuating. Like birefringence, diattenuation can be with respect to linear polarization modes (in a crystal) or circular polarization modes (usually in a liquid).

Devices that block nearly all of the radiation in one mode are known as polarizing filters or simply "polarizers". This corresponds to g2=0 in the above representation of the Jones matrix. The output of an ideal polarizer is a specific polarization state (usually linear polarization) with an amplitude equal to the input wave's original amplitude in that polarization mode. Power in the other polarization mode is eliminated. Thus if unpolarized light is passed through an ideal polarizer (where g1=1 and g2=0) exactly half of its initial power is retained. Practical polarizers, especially inexpensive sheet polarizers, have additional loss so that g1 < 1. However, in many instances the more relevant figure of merit is the polarizer's degree of polarization or extinction ratio, which involve a comparison of g1 to g2. Since Jones vectors refer to waves' amplitudes (rather than intensity), when illuminated by unpolarized light the remaining power in the unwanted polarization will be (g2/g1)2 of the power in the intended polarization.

Specular reflection

In addition to birefringence and dichroism in extended media, polarization effects describable using Jones matrices can also occur at (reflective) interface between two materials of different refractive index. These effects are treated by the Fresnel equations. Part of the wave is transmitted and part is reflected; for a given material those proportions (and also the phase of reflection) are dependent on the angle of incidence and are different for the s and p polarizations. Therefore, the polarization state of reflected light (even if initially unpolarized) is generally changed.

A stack of plates at Brewster's angle to a beam reflects off a fraction of the s-polarized light at each surface, leaving (after many such plates) a mainly p-polarized beam.

Any light striking a surface at a special angle of incidence known as Brewster's angle, where the reflection coefficient for p polarization is zero, will be reflected with only the s-polarization remaining. This principle is employed in the so-called "pile of plates polarizer" (see figure) in which part of the s polarization is removed by reflection at each Brewster angle surface, leaving only the p polarization after transmission through many such surfaces. The generally smaller reflection coefficient of the p polarization is also the basis of polarized sunglasses; by blocking the s (horizontal) polarization, most of the glare due to reflection from a wet street, for instance, is removed.[17]:348–350

In the important special case of reflection at normal incidence (not involving anisotropic materials) there is no particular s or p polarization. Both the x and y polarization components are reflected identically, and therefore the polarization of the reflected wave is identical to that of the incident wave. However, in the case of circular (or elliptical) polarization, the handedness of the polarization state is thereby reversed, since by convention this is specified relative to the direction of propagation. The circular rotation of the electric field around the x-y axes called "right-handed" for a wave in the +z direction is "left-handed" for a wave in the -z direction. But in the general case of reflection at a nonzero angle of incidence, no such generalization can be made. For instance, right-circularly polarized light reflected from a dielectric surface at a grazing angle, will still be right-handed (but elliptically) polarized. Linear polarized light reflected from a metal at non-normal incidence will generally become elliptically polarized. These cases are handled using Jones vectors acted upon by the different Fresnel coefficients for the s and p polarization components.

Measurement techniques involving polarization

Some optical measurement techniques are based on polarization. In many other optical techniques polarization is crucial or at least must be taken into account and controlled; such examples are too numerous to mention.

Measurement of stress

Stress in plastic glasses

In engineering, the phenomenon of stress induced birefringence allows for stresses in transparent materials to be readily observed. As noted above and seen in the accompanying photograph, the chromaticity of birefringence typically creates colored patterns when viewed in between two polarizers. As external forces are applied, internal stress induced in the material is thereby observed. Additionally, birefringence is frequently observed due to stresses "frozen in" at the time of manufacture. This is famously observed in cellophane tape whose birefringence is due to the stretching of the material during the manufacturing process.

Ellipsometry

Ellipsometry is a powerful technique for the measurement of the optical properties of a uniform surface. It involves measuring the polarization state of light following specular reflection from such a surface. This is typically done as a function of incidence angle or wavelength (or both). Since ellipsometry relies on reflection, it is not required for the sample to be transparent to light or for its back side to be accessible.

Ellipsometry can be used to model the (complex) refractive index of a surface of a bulk material. It is also very useful in determining parameters of one or more thin film layers deposited on a substrate. Due to their reflection properties, not only are the predicted magnitude of the p and s polarization components, but their relative phase shifts upon reflection, compared to measurements using an ellipsometer. A normal ellipsometer does not measure the actual reflection coefficient (which requires careful photometric calibration of the illuminating beam) but the ratio of the p and s reflections, as well as change of polarization ellipticity (hence the name) induced upon reflection by the surface being studied. In addition to use in science and research, ellipsometers are used in situ to control production processes for instance.[19]:585ff[20]:632

Geology

Photomicrograph of a volcanic sand grain; upper picture is plane-polarized light, bottom picture is cross-polarized light, scale box at left-center is 0.25 millimeter.

The property of (linear) birefringence is widespread in crystalline minerals, and indeed was pivotal in the initial discovery of polarization. In mineralogy, this property is frequently exploited using polarization microscopes, for the purpose of identifying minerals. See optical mineralogy for more details.[21]:163–164

Sound waves in solid materials exhibit polarization. Differential propagation of the three polarizations through the earth is a crucial in the field of seismology. Horizontally and vertically polarized seismic waves (shear waves)are termed SH and SV, while waves with longitudinal polarization (compressional waves) are termed P-waves.[22]:48–50[23]:56–57

Chemistry

We have seen (above) that the birefringence of a type of crystal is useful in identifying it, and thus detection of linear birefringence is especially useful in geology and mineralogy. Linearly polarized light generally has its polarization state altered upon transmission through such a crystal, making it stand out when viewed in between two crossed polarizers, as seen in the photograph, above. Likewise, in chemistry, rotation of polarization axes in a liquid solution can be a useful measurement. In a liquid, linear birefringence is impossible, however there may be circular birefringence when a chiral molecule is in solution. When the right and left handed enantiomers of such a molecule are present in equal numbers (a so-called racemic mixture) then their effects cancel out. However, when there is only one (or a preponderance of one), as is more often the case for organic molecules, a net circular birefringence (or optical activity) is observed, revealing the magnitude of that imbalance (or the concentration of the molecule itself, when it can be assumed that only one enantiomer is present). This is measured using a polarimeter in which polarized light is passed through a tube of the liquid, at the end of which is another polarizer which is rotated in order to null the transmission of light through it.[17]:360–365[24]:169–172

Astronomy

In many areas of astronomy, the study of polarized electromagnetic radiation from outer space is of great importance. Although not usually a factor in the thermal radiation of stars, polarization is also present in radiation from coherent astronomical sources (e.g. hydroxyl or methanol masers), and incoherent sources such as the large radio lobes in active galaxies, and pulsar radio radiation (which may, it is speculated, sometimes be coherent), and is also imposed upon starlight by scattering from interstellar dust. Apart from providing information on sources of radiation and scattering, polarization also probes the interstellar magnetic field via Faraday rotation.[25]:119,124[26]:336–337 The polarization of the cosmic microwave background is being used to study the physics of the very early universe.[27][28] Synchrotron radiation is inherently polarised. It has been suggested that astronomical sources caused the chirality of biological molecules on Earth.[29]

Applications and examples

Polarized sunglasses

Effect of a polarizer on reflection from mud flats. In the picture on the left, the horizontally oriented polarizer preferentially transmits those reflections; rotating the polarizer by 90° (right) as one would view using polarized sunglasses blocks almost all specularly reflected sunlight.

Unpolarized light, after reflection at a specular (shiny) surface, generally obtains a degree of polarization. This phenomenon was observed in 1808 by the mathematician Étienne-Louis Malus after whom Malus's law is named. Polarizing sunglasses exploit this effect to reduce glare from reflections by horizontal surfaces, notably the road ahead viewed at a grazing angle.

Wearers of polarized sunglasses will occasionally observe inadvertent polarization effects such as color-dependent birefringent effects, for example in toughened glass (e.g., car windows) or items made from transparent plastics, in conjunction with natural polarization by reflection or scattering. The polarized light from LCD monitors (see below) is very conspicuous when these are worn.

Sky polarization and photography

The effects of a polarizing filter (right image) on the sky in a photograph.

Polarization is observed in the light of the sky, as this is due to sunlight scattered by aerosols as it passes through the earth's atmosphere. The scattered light produces the brightness and color in clear skies. This partial polarization of scattered light can be used to darken the sky in photographs, increasing the contrast. This effect is most strongly observed at points on the sky making a 90° angle to the sun. Polarizing filters use these effects to optimize the results of photographing scenes in which reflection or scattering by the sky is involved.[17]:346–347[30]:495–499

Sky polarization has been used for orientation in navigation. The Pfund sky compass was used in the 1950s when navigating near the poles of the Earth's magnetic field when neither the sun nor stars were visible (e.g., under daytime cloud or twilight). It has been suggested, controversially, that the Vikings exploited a similar device (the "sunstone") in their extensive expeditions across the North Atlantic in the 9th–11th centuries, before the arrival of the magnetic compass from Asia to Europe in the 12th century. Related to the sky compass is the "polar clock", invented by Charles Wheatstone in the late 19th century.[31]:67–69

Display technologies

The principle of liquid-crystal display (LCD) technology relies on the rotation of the axis of linear polarization by the liquid crystal array. Light from the backlight (or the back reflective layer, in devices not including or requiring a backlight) first passes through a linear polarizing sheet. That polarized light passes through the actual liquid crystal layer which may be organized in pixels (for a TV or computer monitor) or in another format such as a seven-segment display or one with custom symbols for a particular product. The liquid crystal layer is produced with a consistent right (or left) handed chirality, essentially consisting of tiny helices. This causes circular birefringence, and is engineered so that there is a 90 degree rotation of the linear polarization state. However, when a voltage is applied across a cell, the molecules straighten out, lessening or totally losing the circular birefringence. On the viewing side of the display is another linear polarizing sheet, usually oriented at 90 degrees from the one behind the active layer. Therefore, when the circular birefringence is removed by the application of a sufficient voltage, the polarization of the transmitted light remains at right angles to the front polarizer, and the pixel appears dark. With no voltage, however, the 90 degree rotation of the polarization causes it to exactly match the axis of the front polarizer, allowing the light through. Intermediate voltages create intermediate rotation of the polarization axis and the pixel has an intermediate intensity. Displays based on this principle are widespread, and now are used in the vast majority of televisions, computer monitors and video projectors, rendering the previous CRT technology essentially obsolete. The use of polarization in the operation of LCD displays is immediately apparent to someone wearing polarized sunglasses, often making the display unreadable.

In a totally different sense, polarization encoding has become the leading (but not sole) method for delivering separate images to the left and right eye in stereoscopic displays used for 3D movies. This involves separate images intended for each eye either projected from two different projectors with orthogonally oriented polarizing filters or, more typically, from a single projector with time multiplexed polarization (a fast alternating polarization device for successive frames). Polarized 3D glasses with suitable polarizing filters ensure that each eye receives only the intended image. Historically such systems used linear polarization encoding because it was inexpensive and offered good separation. However circular polarization makes separation of the two images insensitive to tilting of the head, and is widely used in 3-D movie exhibition today, such as the system from RealD. Projecting such images requires screens that maintain the polarization of the projected light when viewed in reflection (such as silver screens); a normal diffuse white projection screen causes depolarization of the projected images, making it unsuitable for this application.

Although now obsolete, CRT computer displays suffered from reflection by the glass envelope, causing glare from room lights and consequently poor contrast. Several anti-reflection solutions were employed to ameliorate this problem. One solution utilized the principle of reflection of circularly polarized light. A circular polarizing filter in front of the screen allows for the transmission of (say) only right circularly polarized room light. Now, right circularly polarized light (depending on the convention used) has its electric (and magnetic) field direction rotating clockwise while propagating in the +z direction. Upon reflection, the field still has the same direction of rotation, but now propagation is in the −z direction making the reflected wave left circularly polarized. With the right circular polarization filter placed in front of the reflecting glass, the unwanted light reflected from the glass will thus be in very polarization state that is blocked by that filter, eliminating the reflection problem. The reversal of circular polarization on reflection and elimination of reflections in this manner can be easily observed by looking in a mirror while wearing 3-D movie glasses which employ left- and right-handed circular polarization in the two lenses. Closing one eye, the other eye will see a reflection in which it cannot see itself; that lens appears black. However the other lens (of the closed eye) will have the correct circular polarization allowing the closed eye to be easily seen by the open one.

Radio transmission and reception

All radio (and microwave) antennas used for transmitting or receiving are intrinsically polarized. They transmit in (or receive signals from) a particular polarization, being totally insensitive to the opposite polarization; in certain cases that polarization is a function of direction. Most antennas are nominally linearly polarized, but elliptical and circular polarization is a possibility. As is the convention in optics, the "polarization" of a radio wave is understood to refer to the polarization of its electric field, with the magnetic field being at a 90 degree rotation with respect to it for a linearly polarized wave.

The vast majority of antennas are linearly polarized. In fact it can be shown from considerations of symmetry that an antenna that lies entirely in a plane which also includes the observer, can only have its polarization in the direction of that plane. This applies to many cases, allowing one to easily infer such an antenna's polarization at an intended direction of propagation. So a typical rooftop Yagi or log-periodic antenna with horizontal conductors, as viewed from a second station toward the horizon, is necessarily horizontally polarized. But a vertical "whip antenna" or AM broadcast tower used as an antenna element (again, for observers horizontally displaced from it) will transmit in the vertical polarization. A turnstile antenna with its four arms in the horizontal plane, likewise transmits horizontally polarized radiation toward the horizon. However, when that same turnstile antenna is used in the "axial mode" (upwards, for the same horizontally-oriented structure) its radiation is circularly polarized. At intermediate elevations it is elliptically polarized.

Polarization is important in radio communications because, for instance, if one attempts to use a horizontally polarized antenna to receive a vertically polarized transmission, the signal strength will be substantially reduced (or under very controlled conditions, reduced to nothing). This principle is used in satellite television in order to double the channel capacity over a fixed frequency band. The same frequency channel can be used for two signals broadcast in opposite polarizations. By adjusting the receiving antenna for one or the other polarization, either signal can be selected without interference from the other.

Especially due to the presence of the ground, there are some differences in propagation (and also in reflections responsible for TV ghosting) between horizontal and vertical polarizations. AM and FM broadcast radio usually use vertical polarization, while television uses horizontal polarization. At low frequencies especially, horizontal polarization is avoided. That is because the phase of a horizontally polarized wave is reversed upon reflection by the ground. A distant station in the horizontal direction will receive both the direct and reflected wave, which thus tend to cancel each other. This problem is avoided with vertical polarization. Polarization is also important in the transmission of radar pulses and reception of radar reflections by the same or a different antenna. For instance, back scattering of radar pulses by rain drops can be avoided by using circular polarization. Just as specular reflection of circularly polarized light reverses the handedness of the polarization, as discussed above, the same principle applies to scattering by objects much smaller than a wavelength such as rain drops. On the other hand, reflection of that wave by an irregular metal object (such as an airplane) will typically introduce a change in polarization and (partial) reception of the return wave by the same antenna.

The effect of free electrons in the ionosphere, in conjunction with the earth's magnetic field, causes Faraday rotation, a sort of circular birefringence. This is the same mechanism which can rotate the axis of linear polarization by electrons in interstellar space as mentioned below. The magnitude of Faraday rotation caused by such a plasma is greatly exaggerated at lower frequencies, so at the higher microwave frequencies used by satellites the effect is minimal. However medium or short wave transmissions received following refraction by the ionosphere are strongly affected. Since a wave's path through the ionosphere and the earth's magnetic field vector along such a path are rather unpredictable, a wave transmitted with vertical (or horizontal) polarization will generally have a resulting polarization in an arbitrary orientation at the receiver.

Polarization and vision

Many animals are capable of perceiving some of the components of the polarization of light, e.g., linear horizontally polarized light. This is generally used for navigational purposes, since the linear polarization of sky light is always perpendicular to the direction of the sun. This ability is very common among the insects, including bees, which use this information to orient their communicative dances.[31]:102–103 Polarization sensitivity has also been observed in species of octopus, squid, cuttlefish, and mantis shrimp.[31]:111–112 In the latter case, one species measures all six orthogonal components of polarization, and is believed to have optimal polarization vision.[32] The rapidly changing, vividly colored skin patterns of cuttlefish, used for communication, also incorporate polarization patterns, and mantis shrimp are known to have polarization selective reflective tissue. Sky polarization was thought to be perceived by pigeons, which was assumed to be one of their aids in homing, but research indicates this is a popular myth.[33]

The naked human eye is weakly sensitive to polarization, without the need for intervening filters. Polarized light creates a very faint pattern near the center of the visual field, called Haidinger's brush. This pattern is very difficult to see, but with practice one can learn to detect polarized light with the naked eye.[31]:118

Angular momentum using circular polarization

It is well known that electromagnetic radiation carries a certain linear momentum in the direction of propagation. In addition, however, light carries a certain angular momentum if it is circularly polarized (or partially so). In comparison with lower frequencies such as microwaves, the amount of angular momentum in light, even of pure circular polarization, compared to the same wave's linear momentum (or radiation pressure) is very small and difficult to even measure. However it was utilized in an experiment to achieve speeds of up to 600 million revolutions per minute.[34][35]

See also

Notes and references

  • Principles of Optics, 7th edition, M. Born & E. Wolf, Cambridge University, 1999, ISBN 0-521-64222-1.
  • Fundamentals of polarized light: a statistical optics approach, C. Brosseau, Wiley, 1998, ISBN 0-471-14302-2.
  • Polarized Light, second edition, Dennis Goldstein, Marcel Dekker, 2003, ISBN 0-8247-4053-X
  • Field Guide to Polarization, Edward Collett, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE, 2005, ISBN 0-8194-5868-6.
  • Polarization Optics in Telecommunications, Jay N. Damask, Springer 2004, ISBN 0-387-22493-9.
  • Polarized Light in Nature, G. P. Können, Translated by G. A. Beerling, Cambridge University, 1985, ISBN 0-521-25862-6.
  • Polarised Light in Science and Nature, D. Pye, Institute of Physics, 2001, ISBN 0-7503-0673-4.
  • Polarized Light, Production and Use, William A. Shurcliff, Harvard University, 1962.
  • Ellipsometry and Polarized Light, R. M. A. Azzam and N. M. Bashara, North-Holland, 1977, ISBN 0-444-87016-4
  • Secrets of the Viking Navigators—How the Vikings used their amazing sunstones and other techniques to cross the open oceans, Leif Karlsen, One Earth Press, 2003.
  1. ^ Shipman, James; Wilson, Jerry D.; Higgins, Charles A. (2015). An Introduction to Physical Science, 14th Ed. Cengage Learning. p. 187. ISBN 1305544676. 
  2. ^ Muncaster, Roger (1993). A-level Physics. Nelson Thornes. pp. 465–467. ISBN 0748715843. 
  3. ^ Singh, Devraj (2015). Fundamentals of Optics, 2nd Ed. PHI Learning Pvt. Ltd. p. 453. ISBN 8120351460. 
  4. ^ a b Avadhanulu, M. N. (1992). A Textbook of Engineering Physics. S. Chand Publishing. pp. 198–199. ISBN 8121908175. 
  5. ^ Desmarais, Louis (1997). Applied Electro Optics. Pearson Education. pp. 162–163. ISBN 0132441829. 
  6. ^ Le Tiec, A.; Novak, J. (July 2016). "Theory of Gravitational Waves". arXiv:1607.04202Freely accessible [gr-qc]. doi:10.1142/9789813141766_0001. 
  7. ^ Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. 
  8. ^ Geoffrey New (7 April 2011). Introduction to Nonlinear Optics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-50076-0. 
  9. ^ Dorn, R.; Quabis, S. & Leuchs, G. (Dec 2003). "Sharper Focus for a Radially Polarized Light Beam". Physical Review Letters. 91 (23): 233901. Bibcode:2003PhRvL..91w3901D. doi:10.1103/PhysRevLett.91.233901. PMID 14683185. 
  10. ^ Subrahmanyan Chandrasekhar (1960) Radiative Transfer, p. 27
  11. ^ a b M. A. Sletten and D. J. McLaughlin, "Radar polarimetry", in K. Chang (ed.), Encyclopedia of RF and Microwave Engineering, John Wiley & Sons, 2005, ISBN 978-0-471-27053-9, 5832 pp.
  12. ^ Merrill Ivan Skolnik (1990) Radar Handbook, Fig. 6.52, sec. 6.60.
  13. ^ Hamish Meikle (2001) Modern Radar Systems, eq. 5.83.
  14. ^ T. Koryu Ishii (Editor), 1995, Handbook of Microwave Technology. Volume 2, Applications, p. 177.
  15. ^ John Volakis (ed) 2007 Antenna Engineering Handbook, Fourth Edition, sec. 26.1. Note: in contrast with other authors, this source initially defines ellipticity reciprocally, as the minor-to-major-axis ratio, but then goes on to say that "Although [it] is less than unity, when expressing ellipticity in decibels, the minus sign is frequently omitted for convenience", which essentially reverts back to the definition adopted by other authors.
  16. ^ Chandrasekhar, Subrahmanyan (2013). Radiative transfer. Courier. p. 30. 
  17. ^ a b c d e f Hecht, Eugene (2002). Optics (4th ed.). United States of America: Addison Wesley. ISBN 0-8053-8566-5. 
  18. ^ Edward L. O'Neill (January 2004). Introduction to Statistical Optics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-43578-7. 
  19. ^ Dennis Goldstein; Dennis H. Goldstein (3 January 2011). Polarized Light, Revised and Expanded. CRC Press. ISBN 978-0-203-91158-7. 
  20. ^ Masud Mansuripur (2009). Classical Optics and Its Applications. Cambridge University Press. ISBN 978-0521881692. 
  21. ^ Randy O. Wayne (16 December 2013). Light and Video Microscopy. Academic Press. ISBN 978-0-12-411536-1. 
  22. ^ Peter M. Shearer (2009). Introduction to Seismology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88210-1. 
  23. ^ Seth Stein; Michael Wysession (1 April 2009). An Introduction to Seismology, Earthquakes, and Earth Structure. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-4443-1131-0. 
  24. ^ K. Peter C. Vollhardt; Neil E. Schore (2003). Organic Chemistry, Fourth Edition: Structure and Function. W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-4374-3. 
  25. ^ Vlemmings, W. H. T. (Mar 2007). "A review of maser polarization and magnetic fields". Proceedings of the International Astronomical Union. 3 (S242): 37–46. arXiv:0705.0885Freely accessible. Bibcode:2007IAUS..242...37VFreely accessible. doi:10.1017/s1743921307012549Freely accessible. 
  26. ^ Hannu Karttunen; Pekka Kröger; Heikki Oja (27 June 2007). Fundamental Astronomy. Springer. ISBN 978-3-540-34143-7. 
  27. ^ Boyle, Latham A.; Steinhardt, PJ; Turok, N (2006). "Inflationary predictions for scalar and tensor fluctuations reconsidered". Physical Review Letters. 96 (11): 111301. arXiv:astro-ph/0507455Freely accessible. Bibcode:2006PhRvL..96k1301B. doi:10.1103/PhysRevLett.96.111301. PMID 16605810. 
  28. ^ Tegmark, Max (2005). "What does inflation really predict?". JCAP. 0504 (4): 001. arXiv:astro-ph/0410281Freely accessible. Bibcode:2005JCAP...04..001T. doi:10.1088/1475-7516/2005/04/001. 
  29. ^ Clark, S. (1999). "Polarised starlight and the handedness of Life". American Scientist. 97 (4): 336–43. Bibcode:1999AmSci..87..336C. doi:10.1511/1999.4.336. 
  30. ^ Bekefi, George; Barrett, Alan (1977). Electromagnetic Vibrations, Waves, and Radiation. USA: MIT Press. ISBN 0-262-52047-8. 
  31. ^ a b c d J. David Pye (13 February 2001). Polarised Light in Science and Nature. CRC Press. ISBN 978-0-7503-0673-7. 
  32. ^ Sonja Kleinlogel; Andrew White (2008). "The secret world of shrimps: polarisation vision at its best". PLoS ONE. 3 (5): e2190. arXiv:0804.2162Freely accessible. Bibcode:2008PLoSO...3.2190K. doi:10.1371/journal.pone.0002190Freely accessible. PMC 2377063Freely accessible. PMID 18478095. 
  33. ^ "No evidence for polarization sensitivity in the pigeon electroretinogram", J. J. Vos Hzn, M. A. J. M. Coemans & J. F. W. Nuboer, The Journal of Experimental Biology, 1995.
  34. ^ "University of St Andrews scientists create 'fastest man-made spinning object'"
  35. ^ "Laser-induced rotation and cooling of a trapped microgyroscope in vacuum", Research @ St. Andrews

External links