رویه مربعی

در هندسهٔ تحلیلی، رویه‌های درجهٔ دوم در فضای سه‌بعدی دسته‌ای از رویه‌ها هستند که به این صورت تعریف می‌شوند: مکان هندسی همهٔ نقاطی مانند $P=(x,y,z)$ که در معادلهٔ $F(x,y,z)=0$ صدق کنند که $F$ یک تابع درجهٔ دو است.

به عنوان مثال کُره یک رویهٔ درجه دو است؛ زیرا معادلهٔ استاندارد کره یک معادلهٔ درجه دو است: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

به طور کلّی‌تر، ابررویه‌های درجه دو در فضای $\mathbb {R} ^{n}$ دسته‌ای از ابررویه‌های $n-1$-بعدی هستند که به این صورت تعریف می‌شوند: مجموعهٔ همهٔ نقاطی مانند $P=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ که در معادلهٔ $F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0$ صدق کنند که $F$ یک تابع درجهٔ دو است.

در نتیجه می‌توان مقاطع مخروطی را حالت خاصی از رویه‌های درجه دو (حالت $n=2$) دانست. البتّه در فضای دوبعدی به جای «رویه» باید از اصطلاح «خم» استفاده کرد.

در سه بعد

در فضای سه‌بعدی، رویه‌های درجه دو به شاخه‌های زیر تقسیم می‌شود:

بیضی‌گون	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
سهمی‌گون بیضوی	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}={z \over c}\,$
سهمی‌گون هذلولوی	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}={z \over c},\quad c>0\,$
هذلولی‌گون یکپارچه	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
هذلولی‌گون دوپارچه	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,$

حالات حدّی یا تبهگنی
مخروط بیضوی	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$
استوانهٔ بیضوی	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
استوانهٔ هذلولوی	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
استوانهٔ سهموی	$x^{2}+2ay=0\,$

وقتی که دو یا هر سه ثابت ($a$ و $b$ و $c$) با یکدیگر برابر باشند، رویهٔ درجه دو دورانی به دست می‌آید:

حالات خاص: رویهٔ دورانی
کره‌گون	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,$
کره	$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\,$
سهمی‌گون دایروی	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,$
هذلولی‌گون دورانی یکپارچه	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=1\,$
هذلولی‌گون دورانی دوپارچه	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=-1\,$
سطح مخروطی	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=0\,$
استوانه (دایروی)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,$

جستارهای وابسته

• رویه
• مقاطع مخروطی