چگالی طیفی

چگابی طیفی یک نور فلورسنت به صورت تابعی از طول‌موج نوری که نشان‌دهنده قله ها در گذارهای اتمی است، که این موضوع توسط فلش های عدد دار نشان داده شده است.

حالت‌موج صدا روی زمان (سمت چپ) دارای یک طیف توان صدایی گسترده است (راست).

طیف توان $S_{xx}(f)$ برای یک سری زمانی $x(t)$ توصیف کننده توزیع توان به مولفه‌های فرکانسی تشکیل دهنده سیگنال است. بر اساس آنالیز فوریه، هر سیگنال فیزیکی را می توان به تعدادی از فرکانس‌های گسسته، یا طیفی از فرکانس‌ها در یک محدوده پیوسته تجزیه کرد. میانگین آماری یک سیگنال معین یا نوعی از سیگنال (شامل نویز) وقتیکه در اصطلاح‌های محتوای فرکانس آن تحلیل می‌شوند، طیف آن سیگنال نامیده می‌شوند.

وقتیکه انرژی سیگنال در حول و حوش یک بازه زمامی محدود متمرکز شود، مخصوصا اگر کل انرژی آن محدود باشد، می توان چگالی طیفی انرژی آن را محاسبه کرد. چیزی که معمول تر است، چگالی طیفی توان (یا به صورت ساده‌تر طیف توان) است که به سیگنال‌های موجود در کل زمان، یا اینکه به یک دوره زمانی به اندازه کافی بزرگ (مخصوصا در رابطه با مدت زمان اندازه‌گیری) که این هم می تواند به صورت مشابه روی یک بازه زمانی نامحدود باشد، اعمال می‌شود. چگالی طیف توان (PSD) آنوقت به توزیع انرژی طیفی که در هر واحد زمان یافت می‌شود، ارجاع دارد، زیرا کل انرژی چنین سیگنالی در کل زمان معمولا بینهایت است. مجموع‌یابی یا انتگرال مولفه‌های طیفی منجر به توان کلی (برای یک فرایند فیزیکی) یا واریانس (در یک فرایند آماری) می شود، مشابه آنچه که از انتگرال‌گیری $x^{2}(t)$ روی دامنه زمانی به دست می‌آید، که این موضوع توسط قضیه پارسوال اجبار می شود.

طیف یگ فرایند فیزیکی $x(t)$ معمولا شامل اطلاعات اساسی درباره طبیعت $x$ است. برای مثال، زیروبمی و رنگ برای یک وسیله موسیقی به صورت فوری توسط تحلیل طیفی تعیین می‌شود. رنگ یک منبع نوری توسط طیف موج الکترومغناطیسی برای فیلد الکتریکی $E(t)$ موقعی که در فرکانس بسیار بالا نوسان می‌کند، تعیین می‌شود. برای به دست آوردن یک فرم طیفی از سری زمانی مثل موارد بالا باید از تبدیل فوریه، و تعمیم‌های مبتنی بر تحلیل فوریه استفاده کرد. در بسیاری از حالات، دامنه زمانی در عمل اعمال نمی‌گردد، مثل موقعی که از یک منشور پراکنده استفاده می‌شود تا به یک طیف نوری در یک طیف‌سنج برسیم، یا موقعی که یک صدا از طریق تاثیرگذاری روی گیرنده‌های صوتی در گوش درونی درک می‌شود، که هر گیرنده به یک فرکانس خاص حساس است.

با این حال این مقاله روی وضعیت‌هایی تمرکز می‌کند که سری زمانی را می‌دانیم (حداقل در مفهوم آماری) یا به صورت مستقیم اندازه‌گیری شده است (مثلا توسط میکروفن و توسط رایانه نمونه برداری می‌شود). طیف توانی در پردازش سیگنال آماری مهم است، همچنین در مطالعه آماری فرایندهای تصادفی، و نیز در خیلی از رشته‌های دیگر در فیزیک و مهندسی مهم است. معمولا این فرایند تابعی از زمان است، اما می توان داده را در زمینه فضایی بررسی کرد که توسط فرکانس فضایی تجزیه می‌شود.

توضیح

هر سیگنالی را که بتوان به صورت متغیری نمایش داد که در زمان تغییر می کند، یک طیف فرکانسی متناظر دارد. این موضوع شامل موجودیت های آشنایی مثل نور قابل مشاهده (که به صورت رنگ درک می‌شود)، نت موسیقی (که به صورت زیروبمی درک می‌شود)، رادیو/تلویزیون (که توسط فرکانس شان، یا گاهی توسط طول‌موج تعیین می‌شود) و حتی چرخش منظم زمین می‌شود. موقعی که این سیگنال‌ها به حالت یک طیف فرکانسی دیده شوند، جنبه های معینی از سیگنال دریافتی یا فرایندهای زیرین تولید‌کننده آن‌ها آشکار می‌شود. در بعضی از حالات طیف فرکانسی دارای یک قله مجزا است که با یک مولفه موج سینوسی متناظر است. و بعلاوه ممکن است قله هایی متناظر با هارمونیک‌های یک قله اصلی وجود داشته باشد، که نشان‌دهنده یک سیگنال تناوبی است که یک سینوسی ساده نیست. یا یک طیف پیوسته می تواند بازه‌های فرکانسی باریک را نشان دهد که متناظر با تشدید (رزونانس) به صورت قوی افزایش می‌یابد، یا بازه‌های فرکانسی شامل توان تقریبا صفر باشند که توسط یک فیلتر شکافی تولید شده اند.

در فیزیک، سیگنال می تواند یک موج باشد، مثل یک موج الکترومغناطیسی، یک موج صوتی یا اینکه ارتعاش یک مکانیزم باشد. چگالی طیف توانی (PSD) برای سیگنال، توصیف‌کننده توان موجود در سیگنال به صورت تابعی از فرکانس در واحد فرکانس است. چگالی طیف توانی معمولا در وات به ازای هرتز (W/Hz) بیان می‌شود.

موقعی که یک سیگنال از دیدگاه ولتاژ، برای مثال، تعریف شده است، هیچ توان یکتایی مرتبط با دامنه بیان شده وجود ندارد. در این حالت، «توان» به سادگی از نظر مربع سیگنال حساب می‌شود، همانطور که این با توان واقعی تحویل شده توسط آن سیگنال به یک امپدانس معین متناسب است. از این رو می توان از واحد های V² Hz⁻¹ برای PSD استفاده کنیم و از V² s Hz⁻¹ برای ESD (چگالی طیف انرژی energy spectral density) استفاده کنیم، اگرچه هیچ «توان» یا «انرژی» تعیین نشده است.

بعضی اوقات به یک چگالی طیفی دامنه (ASD) (amplitude spectral density) برخورد می‌کنیم، که جذر دوم PSD است؛ ASD برای سیگنال ولتاژ واحد V Hz^−1/2 است. این موضوع موقعی مفید است که شکل طیف بیشتر ثابت است، زیرا تغییرات در ASD آنوقت با تغییرات در خود مرحله ولتاژ سیگنال متناسب است. اما از نظر ریاضیاتی استفاده از PSD ترجیح دارد، زیرا تنها در آن حالت مساحت زیر منحنی از لحاظ توان واقعی تحت همه فرکانس ها یا تحت پهنای‌باند معین معنی‌دار است.

در حالت معمول، واحد PSD همان نسبت واحدهای واریانس در واحد فرکانس است؛ از این رو، برای مثال، سری‌های مقادیر جابجایی (در متر) روی زمان (در ثانیه) دارای PSD در واحد m²/Hz خواهد بود. برای تحلیل ارتعاش تصادفی، از واحدهای g² Hz⁻¹ به صورت مکرر برای شتاب PSD استفاده می‌شود. در اینجا g نشان‌دهنده نیروی گرانش است.

از نظر ریاضیاتی، نیازی به انتساب ابعاد فیزیکی به سیگنال یا متغیر مستقل نیست. در بحثی که در ادامه می‌آید، معنی x(t) نامعین می‌ماند، اما فرض می شود که متغیر مستقل، زمان است.

تعریف

چگالی طیف انرژی

چگالی طیف انرژی توصیف کننده روشی است که انرژی یک سیگنال یا یک سری زمانی با فرکانس توزیع می شود. در اینجا، اصطلاح انرژی در مفهوم عمومی اش در پردازش سیگنال استفاده شده است؛ یعنی، انرژی $E$ از یک سیگنال $x(t)$ به این صورت است:

$E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\ dt.$

چگالی طیف انرژی برای گذراها بسیار مناسب است-یعنی، سیگنال‌های شبیه پالس، که در آن موقع انرژی کلی محدودی دارد. محدود باشد یا نه، قضیه پارسوال، (یا قضیه پلانچرل) به ما یک عبارت جایگزین برای انرژی سیگنال می دهد:

$\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}(f)|^{2}\ df,$

که در آن:

${\hat {x}}(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt$

مقدار تبدیل فوریه $x(t)$ در فرکانس $f$ (به هرتز) است. این قضیه در حالت‌های زمان-گسسته نیز درست است. به این دلیل که انتگرال سمت راست همان انرژی سیگنال است، عبارت‌زیرانتگرال $\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}$ را می‌توان به صورت یک تابع چگالی تفسیر کرد، که توصیف کننده انرژی موجود در سیگنال در فرکانس $f$ است. از این رو، چگالی طیفی انرژی برای $x(t)$ به این صورت تعریف می شود:

${\bar {S}}_{xx}(f)\triangleq \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}$

(Eq.1)

تابع ${\bar {S}}_{xx}(f)$ و خودهمبستگی برای $x(t)$ یک زوج تبدیل فوریه می‌سازند، نتیجه که با نام قضیه وینر-خینشین شناخته می‌شود (تناوب‌سنج را ببیند).

به عنوان یک مثال فیزیکی از اینکه چگونه می توان چگالی طیف انرژی یک سیگنال را اندازه‌گرفت، فرض کنید که $V(t)$ نمایش دهنده پتانسیل (در ولت) از یک پالس الکتریکی باشد که در طول یک یک خط انتقال انتشار با امپدانس Z یافته است، و فرض کنید که این خط توسط یک مقاومت متناظر خاتمه می یابد (از این رو همه انرژی پالس به مقاومت تحویل داده می شود، و هیچ انرژی بازگشت نمی کند). از طریق قانون اهم، توان تحویل شده به مقاومت در زمان $t$ برابر $V(t)^{2}/Z$ است، از این رو انرژی کلی از طریق انتگرال‌گیری $V(t)^{2}/Z$ نسبت به زمان روی مدت پالس به دست می آید. برای یافتن مقدار چگالی طیفی انرژی ${\bar {S}}_{xx}(f)$ در فرکانس $f$، می توان بین خط انتقال و مقاومت یک فیلتر میان‌گذر قرار داد، که فقط محدوده باریکی از فرکانس‌ها (به آن بگوییم $\Delta f$) نزدیک فرکانس مورد علاقه را از خود عبور می دهد، و سپس کل انرژی $E(f)$ را که از میان مقاومت از بین می رود را اندازه‌گیری کنیم. مقدار چگالی طیف انرژی در $f$ آنوقت به مقدار $E(f)/\Delta f$ تخمین زده می شود. در این مثال، به این دلیل که توان $V(t)^{2}/Z$ دارای واحد V² Ω⁻¹ است، انرژی $E(f)$ واحد V² s Ω⁻¹ = J دارد، و از این رو تخمین $E(f)/\Delta f$ از چگالی طیف انرژی واحد J Hz⁻¹ را دارد که نیاز داشتیم. در بیشتر حالات، می توان گام تقسیم بر $Z$ را فراموش کرد و از این رو چگالی طیف انرژی در عوض واحد V² Hz⁻¹ را خواهد داشت.

این تعریف به روش مستقیم به سیگنال گسسته با تعداد قابل شمارش نامتناهی مقایر $x_{n}$ تعمیم می‌یابد، مثل یک سیگنال که در زمان های گسسته $x_{n}=x_{0}+(n\Delta t)$ نمونه گیری شده است:

${\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\Delta t}\right|^{2}} _{|{\hat {x}}_{d}(f)|^{2}},$

در اینجا ${\hat {x}}_{d}(f)$ همان تبدیل فوریه زمان-گسسته برای $x_{n}.$ است. بازه نمونه گیری $\Delta t$ برای نگهداری واحدهای فیزیکی صحیح، و نیز برای اطمینان از اینکه ما در حد $\Delta t\to 0.$ حالت پیوسته را بازیابی می کنیم، نیاز است. اما در علوم ریاضیات این بازه معمولا به 1 تنظیم می شود، که نتایج را با هزینه تعمیم ساده‌سازی می کند. (فرکانس نرمال‌سازی‌شده را ببیند).

چگالی طیف توانی

تعریف بالای چگالی طیف انرژی برای حالت گذرا (سیگنال‌های مشابه پالس) مناسب اند، که در آن انرژی در حول یک پنجره زمانی متمرکز شده است؛ در آنصورت تبدیل‌های فوریه برای سیگنال ها معمولا وجود دارد. برای سیگنال های پیوسته روی همه زمان، در عوض باید چگالی طیفی توان (PSD) را تعریف کرد، که برای فرایندهای مانا وجود دارد؛ این موضوع توصیف می کند که چگونه توان یک سیگنال یا سری زمانی روی فرکانس توزیع شده است، مثل مثال ساده ای که در قبل داشتیم. در اینجا، توان می‌تواند توان فیزیکی واقعی باشد، یا به صورت معمول‌تر، برای سادگی با سیگنال‌های انتزاعی، به سادگی توسط مقدار مجذور سیگنال شناسایی شود. برای مثال، آماردانان واریانس یک تابع را روی زمان (یا روی متغیر مستقل دیگر) $x(t)$ مطالعه می کنند، و به کمک قیاس با سیگنال های الکتریکی (از میان دیگر فرایندهای فیزیکی)، معمول است که به آن طیف توانی بگوییم، حتی وقتیکه هیچ توان فیزیکی درگیر نیست. اگر کسی بخواهد یک منبع ولتاژ فیزیکی را که از $x(t)$ پیروی می‌کند بسازد، و آن را به پایانه‌های یک مقاومت 1 اهمی اعمال کند، آنوقت توان آنی هدر رفته در آن مقاومت به اندازه $x(t)^{2}$ وات است.

توان میانگین $P$ از یک سیگنال $x(t)$ روی همه زمان از این رو توسط این میانگین زمانی به دست می آید، که در آن دوره $T$ در یک زمان اختیاری $t=t_{0}$ مرکز‌دهی شده است:

$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}|x(t)|^{2}\,dt$

با این حال، بخاطر تعامل با ریاضیاتی که در ادامه می آید، ساده‌تر است که با حدود زمانی موجود در خود سیگنال به جای حدود زمانی موجود در مرزهای انتگرال سروکار داشته باشیم. از این رو، ما یک نمایش جایگزین برای توان میانگین داریم که در آن $x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)$ و $w_{T}(t)$ در دوره اختیاری یک و در بقیه محل ها صفر اند.

$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}\,dt$

به صورت واضح، در حالاتی که عبارت بالا برای P غیرصفر است (حتی وقتیکه T به صورت بدون مرز افزایش می یابد) خود انتگرال باید بدون مرز افزایش بیابد. این همان دلیلی است که ما نمی توانیم از خود چگالی طیف انرژی استفاده کنیم، که انتگرال را در این حالات واگرا می‌کند.

در تحلیل محتوای فرکانس سیگنال $x(t)$، ممکن است بخواهیم تبدیل فوریه معمول ${\hat {x}}(f)$ را محاسبه کنیم؛ با این حال، برای بسیاری از سیگنال‌های مورد علاقه تبدیل فوریه به صورت صوری موجود نیست. علارغم این، قضیه پارساول به ما می گوید که می توانیم توان میانگین را به این صورت بازنویسی کنیم:

$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df$

آنوقت چگالی طیف توان به صورت ساده به صورت زیرانتگرال بالا تعریف می‌شود.

$S_{xx}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,$

(Eq.2)

از اینجا ما می توانیم $|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}$ را به صورت تبدیل فوریه از هم‌گشت زمانی $x_{T}^{*}(-t)$ و $x_{T}(t)$ ببنیم:

$|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\mathbf {*} x_{T}(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau$

اکنون، ما همگشت زمانی بالا را بر دوره $T$ تقسیم می کنیم، و سپس حد $T\rightarrow \infty$ را می گیریم، این تبدیل به تابع خودهمبستگی برای سیگنال فاقد-پنجره $x(t)$ می شود، که توسط $R_{xx}(\tau )$ نشان داده می شود، با این شرط که $x(t)$ ارگادیک باشد، که این موضوع در بیشتر، اما نه همه، حالات عملی درست است.

$\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau$

از اینجا، ما می بینیم که دوباره با فرض ارگادیک بودن $x(t)$، چگالی طیفی توان به صورت تبدیل فوریه تابع خودهمبستگی به دست می آید (قضیه وینر-خینشین).

$S_{xx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,d\tau ={\hat {R}}_{xx}(f)$

(Eq.3)

بیشتر نویسنده‌ها از این معادله برای تعریف واقعی چگالی طیفی توان استفاده می‌کنند.

توان سیگنال در یک باند فرکانسی معین $[f_{1},f_{2}]$ که در آن، $0<f_{1}<f_{2}$ توسط انتگرال‌گیری روی فرکانس محاسبه می شود. به این دلیل که $S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)$، یک مقدار برابر از توان را می توان به باندهای فرکانسی مثبت و منفی منتسب کرد، که به دلیل فاکتور 2 در حالتی که در ادامه است محسوب می شود (چنین فاکتورهای بدیهی بستگی به رسوم استفاده شده دارند):

$P_{\mathsf {bandlimited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df$

به صورت معمول‌تر، فنون مشابهی را می توان برای تخمین چگالی طیفی در زمان-متغیر استفاده کرد. در این حالت، بازه زمانی $T$ محدود است به جای آنکه به سمت بی‌نهایت میل کند. این منجر به پوشش و رزلوشن طیفی کمتر می شود زیرا فرکانس های کمتر از $1/T$ نمونه برداری نمی شوند، و منجر به آن می شوند که فرکانس هایی که یک ضرب عدد صحیح از $1/T$ مستقل نباشند. فقط به کمک چنین سری زمانی منفردی، طیف توانی تخمین زده شده بسیار «نویزدار» خواهد بود؛ با این حال، این موضوع اگر بتوانیم مقدار انتظاری را (در معادله بالا) ارزیابی کنیم، تسکین می یابد، که باید از تعداد بزرگی (یا تعداد بی‌نهایتی) از طیف‌های با زمان-اندک متناظر با آنسامبل آماری از تحقق‌های $x(t)$ که روی پنجره زمانی معین، ارزیابی شده اند، استفاده کرد.

درست مثل چگالی طیفی انرژی، تعریف چگالی طیفی توانی را می توان به متغیرهای زمان گسسته $x_{n}$ تعمیم داد. مثل قبل، ما یک پنجره $-N\leq n\leq N$ را با سیگنال نمونه‌برداری شده در زمان‌های گسسته $x_{n}=x_{0}+(n\Delta t)$ برای دوره اندازه‌گیری کلی $T=(2N+1)\Delta t$ در نظر می گیریم.

$S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\Delta t}\right|^{2}$

توجه کنید که یک تخمین منفرد از PSD از طریق یک تعداد محدود از نمونه‌برداری قابل دستیابی است. مثل قبل، PSD واقعی موقعی به دست می آید که $N$ (و از این رو $T$) به سمت بی‌نهایت میل کند، و مقدار انتظاری به صورت صوری اعمال شود. در یک کاربرد در جهان واقعی، می توان معمولا PSD محدود اندازه‌گیری شده را روی چندین سعی میانگین‌گیری کرد، تا به یک تخمین دقیق تر از PSD نظری از فرایند فیزیکی زیربنای اندازه‌گیری‌های منفرد برسیم. به این PSD محاسبه شده گاهی دوره‌سنج (periodogram) گفته می‌شود. این دوره‌سنج موقعی به PSD درست همگرا می شود که تعداد تخمین ها و همچنین بازه زمانی میانگین $T$ به سمت بی‌نهایت میل کند (Brown & Hwang).

اگر دو سیگنال هر دو چگالی طیفی توانی داشته باشند، آنوقت میان-چگالی طیف را به صورت مشابه می توان محاسبه کرد؛ همانطور که PSD با خودهمبستگی مرتبط است، از این رو چگالی طیف-میانی با میان-همبستگی مرتبط است.

ویژگی‌های چگالی طیفی توان

بعضی از ویژگی های PSD شامل:

• طیف چگالی همیشه حقیفی و غیرمنفی است، و طیف یک فرایند مقدار حقیقی همچنین یک تابع زوج از فرکانس است: $S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)$.
• برای یک فرایند تصادفی پیوسته x(t)، تابع خودهمبستگی R_xx(t) را می‌توان از طیف توان S_xx(f) آن با استفاده از وارون تبدیل فوریه به دست آورد.
• به کمک قضیه پارساول، می توان واریانس (توان میانگین) برای یک فرایند را به کمک انتگرال‌گیری طیف توانی روی همه فرکانس ها محاسبه کرد:

$P={\text{Var}}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\!S_{xx}(f)\,df$

• برای یک فرایند حقیقی x(t) با چگالی طیف توان $S_{xx}(f)$ می توان طیف انتگرال‌گیری شده یا توزیع طیف توان $F(f)$ را محاسبه کرد، که تعیین‌کننده توان باندمحدود میانگین موجود در فرکانس‌ها از DC تا f است به کمک:

$F(f)=2\int _{0}^{f}S_{xx}(f')\,df'.$

توجه کنید که عبارت قبل برای توان کلی (واریانس سیگنال) حالت خاصی است که در آنf→∞.

چگالی میان-طیف توان

اگر دو سیگنال $x(t)$ و $y(t)$ داده شده باشد، که هرکدام دارای چگالی طیف توان $S_{xx}(f)$ و $S_{yy}(f)$ باشند، می توان یک میان چگالی طبف توان (CPSD) یا میان چگالی طیف (CSD) تعریف کرد. برای شروع، بیایید توان میانگین برای چنین سیگنال ترکیبی را در نظر بگیریم.

${\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}$

به کمک نمادگذاری و روش‌های مشابهی با روش‌هایی که برای استخراج چگالی طیف توان استفاده می شوند، ما از قضیه پارساول بهره می گیریم و این را به دست می آوریم:

$S_{xy}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]\ \ \ \ \ \ \ S_{yx}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]$

که در آن، دوباره، مشارکت های $S_{xx}(f)$ و $S_{yy}(f)$ را از قبل می دانستیم. توجه کنید که $S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)$، از این رو مشارکت کامل توان میانی، به صورت کلی، تشکیل دهنده دوبرابر قسمت حقیقی از هر CPSD منفرد است. دوباره مثل قبل، از اینجا ما این ضرب ها را به صورت تبدیل فوریه برای همگشت زمانی بازسازی می کنیم، که وقتیکه به دوره تقسیم شود، و حد $T\to \infty$ آن گرفته شود، تبدیل به تبدیل فوریه برای یک تابع میان-همبستگی می شود.

$S_{xy}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau$

$S_{yx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau$

که در آن $R_{xy}(\tau )$ برابر میان-همبستگی برای $x(t)$ با $y(t)$ و $R_{yx}(\tau )$ برابر میان-همبستگی برای $y(t)$ با $x(t)$ است. از این دیدگاه، PSD را می توان نوع خاصی از CSD برای $x(t)=y(t)$ دید. برای حالتی که $x(t)$ و $y(t)$ برابر سیگنال های ولتاژ و جریان هستند؛ چگالی طیفی دامنه مرتبط فقط یکی از CPSD ها است که با یک فاکتور دو مقیاس‌دهی شده است.

$\operatorname {CPSD} _{\rm {Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)$

برای سیگنال های گسسته x_n و y_n ارتباط بین میان-چگالی طیف و میان-همبستگی به این صورت است:

$S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\Delta \tau$

تخمین

هدف از تخمین چگالی طیف همان تخمین چگالی طیفی برای یک سیگنال تصادفی از ترتیبی از نمونه های زمانی است. بسته به آنکه چه چیزی را درباره سیگنال می دانیم، فنون تخمین می تواند شامل دیدگاه های پارامتری یا بدون-پارامتر باشد، و می تواند بر اساس تحلیل دامنه-زمان یا دامنه-فرکانس باشد. برای مثال، یک فن پارامتری معمول شامل متناسب‌سازی مشاهدات با یک مدل خودهمبسته است. یک فن بدون-پارامتر معمول دوره‌سنج (periodogram) است.

چگالی طیفی معمولا توسط روش‌های تبدیل فوریه (مثل روش ولچ) تخمین زده می شود، اما از دیگر فنون مثل روش آنتروپی حداکثری را نیز می توان استفاده کرد.

مفاهیم مرتبط

• گرانیگاه طیفی یک سیگنال برابر نقطه میانی تابع چگالی طیفی آن است، یعنی آن فرکانسی است که توزیع را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.
• فرکانس حاشیه طیفی برای یک سیگنال یک گسترش برای مفهوم قبل به هر نسبت بجای دو قسمت برابر است.
• چگالی طیفی یک تابع از فرکانس، و نه تابعی از زمان است. با این حال، چگالی طیفی از یک پنجره کوچک از یک سیگنال بزرگتر را می توان محاسبه کرد، و ترسیم دربرابر زمان با پنجره مرتبط است. به این گراف طیف‌نگاره (spectrogram) گفته می‌شود. این موضوع مبنایی برای تعدادی از فنون تحلیل طیفی مثل تبدیل فوریه زمان-کوتاه و موجک است.
• یک «طیف» معمولا به معنی چگالی طیف توان، به صورت توضیح داده شده در بالا است، که توزیع محتوای سیگنال را روی فرکانس ترسیم می کند. این را نباید با پاسخ فرکانسی یک تابع انتقال اشتباه کرد که آن هم شامل یک فاز است (یا به صورت معادل، یک بخش حقیقی و موهومی از یک تابع از فرکانس است). برای توابع انتقال (مثل نمودار بود، چرپ) پاسخ فرکانسی کامل را می توان در دو قسمت ترسیم کرد، دامنه دربرابر فرکانس و فاز دربرابر فرکانس- چگالی طیفی فاز، طیف فاز یا فاز طیفی (یا به صورت کمتر معمول، به صورت قسمت های حقیقی و موهومی از تابع انتقال). پاسخ ضربه (در دامنه زمان) $h(t)$ را معمولا نمی توان به صورت یکتا از فقط قسمت چگالی طیفی دامنه و بدون تابع فاز بازیابی کرد. اگرچه این ها زوج های تبدیل فوریه هستند، تقارنی وجود ندارند (همانطور که برای خودهمبستگی وجود دارد) که تبدیل فوریه را مجبور کند تا مقدار حقیقی داشته باشد. نویز فاز، تاخیر زمانی و پالس بسیار کوتاه#فاز طیفی را ببینید.

کاربردها

مهندسی الکترونیک

طیف‌سنج برای یک سیگنال رادیوی FM با فرکانس روی محور افقی و زمان افزایش یابنده به صورت بالا رونده روی محور عمودی

مفهوم و استفاده از طیف توانی یک سیگنال در مهندسی برق بنیادین است، مخصوصا در سامانه های ارتباطی الکترونیکی مثل ارتباطات رادیویی، رادارها، و سامانه های مرتبط، فن‌آوری سنجش از دور پالس منفعل. از ابزار الکترونیکی که تحلیل‌گر طیف نام دارند برای مشاهده و اندازه‌گیری طیف توانی سیگنال ها استفاده می شود.

تحلیل‌گر طیف اندازه تبدیل فوریه زمان-کوتاه (STFT) را برای یک سیگنال ورودی اندازه‌گیری می‌کند. اگر سیگنالی که داریم آن را تحلیل می کنیم را یک فرایند مانا در نظر بگیریم، آنوقت STFT یک تخمین بخوبی صاف شده از چگالی طیف توان آن است.

کیهان‌شناسی

نوسانات نخستین، تغییرات چگالی در جهان نخستین، توسط یک طیف توان کمی‌سازی می شوند، که توان تغییرات را به صورت تابعی از مقیاس فضایی می دهد.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Spectral density». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۰ اکتبر ۲۰۲۱.