قضیه وینر-خینشین

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در پردازش سیگنال، قضیه وینر-خینشین (که گاهی قضیه وینر-خینشین-اینشتین یا قضیه خینشین-کولموگروف خوانده می‌شود)، بیان می‌کند که خودهمبستگی یک فرآیند ایستا در معنای وسیع دارای طیفی برابر با چگالی طیفی توان آن سیگنال است.[۱]

پیشینه[ویرایش]

این قضیه را اولین بار نوربرت وینر در سال ۱۹۳۰ منتشر کرد[۲]، و الکساندر خینشین به طور مستقل [۳]در سال ۱۹۳۴ آن را کشف و منتشر نمود. گفته می‌شود که آلبرت اینشتین این ایده را در یک نوشته مختصر در سال ۱۹۱۴ پیش بینی کرده بود[۴].

برای فرآیندهای پیوسته[ویرایش]

برای فرآیندهای پیوسته [۵]این قضیه بیان می‌کند که اگر  x یک فرآیند ایستا در معنای وسیع باشد، به طوری که خودهمبستگی (که خودکواریانس نیز خوانده می‌شود) آن که بر حسب امید ریاضی آن به صورت زیر تعریف شده‌است:

r_{xx}(\tau) = \operatorname{E}\big[\, x(t)x^*(t-\tau) \, \big] \

وجود داشته و با ازای هر مقدار  \tau متناهی باشد، آنگاه یک تابع یک نوای  F(f) برای بسامدهای  -\infty <f <\infty وجود دارد به طوری که:


r_{xx} (\tau) = \int_{-\infty}^\infty e^{2\pi i\tau f}  dF(f)

که در آن انتگرال از نوع انتگرال استیلتجس است.

برای فرآیندهای گسسته زمان[ویرایش]

برای فرآیندهای گسسته زمان، چگالی طیف توان تابع x[n]\, برابر است با

 S_{xx}(f)=\sum_{k=-\infty}^\infty r_{xx}[k]e^{-i(2\pi f) k}

که در آن

r_{xx}[k] = \operatorname{E}\big[ \, x[n] x^*[n-k] \, \big] \

همان تابع گسسته خودبستگی x[n]\, - به شرط مطلقاً انتگرال پذیر بودن  x - است.

کاربردها[ویرایش]

این قضیه برای بررسی سامانه‌های خطی تغییرناپذیر با زمان هنگام اعمال سیگنال‌هایی که تبدیل فوریه ندارند کاربرد دارد. [۶]

جستارهای وابسته[ویرایش]

یادکردها[ویرایش]

  1. وینر، نوربرت. سری‌های زمانی. دانشگاه‌ام آی تی، ۱۹۶۴. 
  2. Wiener, Norbert (1930). "Generalized Harmonic Analysis". Acta Mathematica 55: 117–258. 
  3. Nahin, Paul J. (2011). Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press. p. 225. ISBN 9780691150376. 
  4. Jerison, David; Singer, Isadore Manuel; Stroock, Daniel W. (1997). The Legacy of Norbert Wiener: A Centennial Symposium (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics). American Mathematical Society. p. 95. ISBN 0-8218-0415-4. 
  5. C. Chatfield (1989). The Analysis of Time Series—An Introduction (fourth ed.). Chapman and Hall, London. pp. 94–95. ISBN 0-412-31820-2. 
  6. Shlomo Engelberg. Random signals and noise: a mathematical introduction. CRC Press، ۲۰۰۷.