قضیه وینر-خینشین

در پردازش سیگنال، قضیه وینر-خینشین (که گاهی قضیه وینر-خینشین-اینشتین یا قضیه خینشین-کولموگروف خوانده می‌شود)، بیان می‌کند که خودهمبستگی یک فرآیند ایستا در معنای وسیع دارای طیفی برابر با چگالی طیفی توان آن سیگنال است.

پیشینه

این قضیه را اولین بار نوربرت وینر در سال ۱۹۳۰ منتشر کرد، و الکساندر خینشین به طور مستقل در سال ۱۹۳۴ آن را کشف و منتشر نمود. گفته می‌شود که آلبرت اینشتین این ایده را در یک نوشته مختصر در سال ۱۹۱۴ پیش بینی کرده بود.

برای فرآیندهای پیوسته

برای فرآیندهای پیوسته این قضیه بیان می‌کند که اگر $x$ یک فرآیند ایستا در معنای وسیع باشد، به طوری که خودهمبستگی (که خودکواریانس نیز خوانده می‌شود) آن که بر حسب امید ریاضی آن به صورت زیر تعریف شده‌است:

$r_{xx}(\tau) = \operatorname{E}\big[\, x(t)x^*(t-\tau) \, \big] \$

وجود داشته و با ازای هر مقدار $\tau$ متناهی باشد، آنگاه یک تابع یک نوای $F(f)$ برای بسامدهای $-\infty <f <\infty$ وجود دارد به طوری که:

$r_{xx} (\tau) = \int_{-\infty}^\infty e^{2\pi i\tau f} dF(f)$

که در آن انتگرال از نوع انتگرال استیلتجس است.

برای فرآیندهای گسسته زمان

برای فرآیندهای گسسته زمان، چگالی طیف توان تابع $x[n]\,$ برابر است با

$S_{xx}(f)=\sum_{k=-\infty}^\infty r_{xx}[k]e^{-i(2\pi f) k}$

که در آن

$r_{xx}[k] = \operatorname{E}\big[ \, x[n] x^*[n-k] \, \big] \$

همان تابع گسسته خودبستگی $x[n]\,$ - به شرط مطلقاً انتگرال پذیر بودن $x$ - است.

کاربردها

این قضیه برای بررسی سامانه‌های خطی تغییرناپذیر با زمان هنگام اعمال سیگنال‌هایی که تبدیل فوریه ندارند کاربرد دارد.

جستارهای وابسته

• تبدیل فوریه
• سامانه خطی تغییرناپذیر با زمان