تحلیل مجانبی

در آنالیز ریاضی، تحلیل مجانبی یا تحلیل حدی (به انگلیسی: Asymptotic analysis) روشی برای توصیف رفتار حدی توابع یا توصیف میزان دقت یک تقریب است.

تعریف

می‌گوییم دو تابع $f$ و $g$ به شکل مجانبی با یکدیگر برابر اند اگر:

$\lim _{n\to \infty }{f \over g}=1$

و این رابطهٔ هم‌ارزی را با نماد $f\thicksim g$ یا $g\thicksim f$ نشان می‌دهیم. اگر مقدار حدی بی‌نهایت نباشد (یا برای تأکید) آن را ذکر می‌کنیم:

$\lim _{n\to 0}{f \over g}=1\Longrightarrow f\thicksim g\quad {\text{as}}\quad n\to 0$

خواص

با فرض $f\sim g$ و $a\sim b$:

• $f^{r}\sim g^{r}$ به ازای هر $r$
• $\log(f)\sim \log(g)$ این خاصیت برگشت‌پذیر نیست.
• $f\times a\sim g\times b$
• $f/a\sim g/b$

کاربردها

یکی از نمونه‌های استفاده از تحلیل مجانبی در قضیهٔ اعداد اول است: اگر $\pi (x)$ تعداد اعداد اول کمتر از $x$ باشد، آنگاه $\pi (x)\thicksim {x \over \ln(x)}$

همچنین می‌توان به تقریب استرلینگ اشاره کرد: $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

به طور کلی تحلیل مجانبی در بسیاری از علوم ریاضی استفاده می‌شود:

• در آمار برای تقریب حدی از توزیع احتمال یک آماره استفاده می‌شود.
• در ریاضیات کاربردی، از تحلیل مجانبی برای ساخت روش‌های عددی برای تقریب جواب‌های معادلات استفاده می‌شود.
• در آمار ریاضی و نظریه احتمالات، در تجزیه و تحلیل رفتار بلندمدت متغیرهای تصادفی و برآوردگرها استفاده می‌شود.
• در علوم کامپیوتر برای تحلیل الگوریتم‌ها و مقایسهٔ عملکرد الگوریتم‌های متفاوت کاربرد بسیاری دارد.
• در حسابان، برای آزمودن همگرایی سری‌ها.
• تحلیل رفتار سامانه‌های فیزیکی مثل مکانیک آماری.

جستارهای وابسته

• نماد تتا بزرگ
• مجانب

منابع

• Boyd, John P. (March 1999). "The Devil's Invention: Asymptotic, Superasymptotic and Hyperasymptotic Series". Acta Applicandae Mathematicae. 56 (1): 1–98. doi:10.1023/A:1006145903624.
• Asymptotic Expansions (Dover Books on Mathematics) by A. Erdelyi, 1956.