قضیه اعداد اول

در نظریه اعداد، قضیه اعداد اول (به انگلیسی: Prime Number Theorem) (PNT) توزیع مجانبی اعداد اول بین اعداد صحیح مثبت را توصیف می کند. این قضیه ایده شهودی کم شدن چگالی اعداد اول در اعداد صحیح بزرگ را به صورت صوری و دقیق تر بیان می کند. قضیه اعداد اول به صورت مستقل و جداگانه توسط ژاک آدامار و چارلز پوسین در ۱۸۹۶ با استفاده از ایده های معرفی شده از سوی برنارد ریمان (بخصوص تابع زتای ریمان) اثبات شد.

اولین توزیع اینچنینی که پیدا شد $\pi (N)\sim {\frac {N}{log(N)}}$ بود که در آن $\pi (N)$ تابع شمارنده تعداد اعداد اول و $\mathrm {log(N)}$ لگاریتم طبیعی عدد $\mathrm {N}$ است. بدین معنی که با بزرگ شدن $\mathrm {N}$ به میزان کافی، احتمال این که یک عدد صحیح تصادفی کوچکتر مساوی $\mathrm {N}$ اول باشد بسیار به ${\frac {1}{log(N)}}$ نزدیک است. بنابراین، احتمال اول بودن یک عدد صحیح با حداکثر $\mathrm {2n}$ رقم (برای $\mathrm {n}$ های به اندازه کافی بزرگ) حدوداً نصف عدد صحیح تصادفی با حداکثر $\mathrm {n}$رقم است. به عنوان مثال، در میان اعداد صحیح مثبت با حداکثر ۱۰۰۰ رقم، حدود یک عدد از هر ۲۳۰۰ تا اول است ($log(10^{1000})\approx 2302.6$)، در حالی که در میان اعداد صحیح با حداکثر ۲۰۰۰ رقم، حدود یکی از هر ۴۶۰۰ تا اول هستند ($log(10^{2000})\approx 4605.2$). به بیان دیگر، میانگین شکاف بین اعداد اول پشت سر هم در میان $\mathrm {N}$عدد صحیح (از یک تا $\mathrm {N}$) حدود $\mathrm {log(N)}$است.

قضیه

اگر$\pi (x)$ تعداد اعداد اول کمتر از $x$ باشد

آنگاه

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}=1$

بررسی قضیه

$x$	$\pi (x)$	${\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}$	${\frac {x}{\pi (x)}}$
۱۰	۴	۰٫۹۲۱	۲٫۵۰۰
102	۲۵	۱٫۱۵۱	۴٫۰۰۰
103	۱۶۸	۱٫۱۶۱	۵٫۹۵۲
104	۱٬۲۲۹	۱٫۱۳۲	۸٫۱۳۷
105	۹٬۵۹۲	۱٫۱۰۴	۱۰٫۴۲۵
106	۷۸٬۴۹۸	۱٫۰۸۴	۱۲٫۷۴۰
107	۶۶۴٬۵۷۹	۱٫۰۷۱	۱۵٫۰۴۷
108	۵٬۷۶۱٬۴۵۵	۱٫۰۶۱	۱۷٫۳۵۷
109	۵۰٬۸۴۷٬۵۳۴	۱٫۰۵۴	۱۹٫۶۶۷
1010	۴۵۵٬۰۵۲٬۵۱۱	۱٫۰۴۸	۲۱٫۹۷۵
OEIS	A006880	A057835

تعمیم قضیه

با استفاده از قضیه اعداد اول می توان اثبات کرد که:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {p(x)}{x\ln(x)}}=1$

که در آن تابع $p(x)$ ، تابع مولد اعداد اول باشد یعنی: x امین عدد اول $p(x)=$

اثبات تعمیم قضیه

می دانیم:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}=1$

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.\!$

می دانیم توابع $p(x)$ و $\pi (x)$ معکوس هم هستند. یعنی:

$p^{-1}\left(\,x\,\right)=\pi (x)$

در نتیجه می توان با حل معادله $\pi (x)=x$ تابع $p(x)$ را یافت.

می دانیم $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.\!$

پس با حل معادله ${\frac {x}{\ln x}}=x$ می توان هم ارزی برای $p(x)$ یافت.

به روش تکرار ساده معادله را حل میکنیم.

${\frac {x_{1}}{\ln x}}=x_{2}$

${x_{1}}=x_{2}\ln(x)$

$p(x)=x\ln(x)$

اما باید توجه داشت چون به جای $\pi (x)$ از تابع هم ارز آن استفاده شده پس:

$p(x)\sim \ x\ln(x)$

در نتیجه:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {p(x)}{x\ln(x)}}=1$

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Prime Number Theorem». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.