تابع محدب

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
تابع محدب روی یک بازه.
تابعی (به رنگ سیاه) محدب است اگر و تنها اگر ناحیه بالای نمودار آن (به رنگ سبز) مجموعه محدبی باشد.
نموداری از تابع محدب چندجمله‌ای .

در ریاضیات، تابع محدب (به انگلیسی: Convex Function) (یا تابع کوژ[۱][۲]تابع حقیقی-مقداری است که روی بازه n-بعدی تعریف شده و پاره خط بین هر دو نقطه از نمودار آن بالای نمودار بین آن دو نقطه قرار گیرد. به طور معادل، یک تابع محدب است اگر اپی‌گراف (مجموعه نقاط رو یا بالای نمودار تابع) آن مجموعه ای محدب باشد. تابع تک متغیره، دوبار دیفرانسیل‌پذیر است اگر و تنها اگر مشتق دوم آن روی تمام دامنه نا-منفی باشد.[۳] مثال‌های شناخته شده از توابع محدب تک-متغیره شامل تابع مربعی و تابع نمایی می باشد. به بیان ساده، تابع محدب، تابعی است که به شکل (cup) و تابع مقعر به شکل (cap) است.

توابع محدب نقش مهمی را در بسیاری از مباحث ریاضی بازی می کنند. به‌خصوص در مطالعه مسائل بهینه‌سازی که توسط خواص مناسبی از بقیه توابع متمایز می شوند. به عنوان مثال، تابع اکیداً محدب روی یک مجموعه باز، بیش از یک مینیمم ندارد. حتی در فضاهای بی نهایت بعدی، تحت فرض‌های مناسب اضافی، توابع محدب هنوز هم خواص خود را حفظ کرده و نتیجتاً جزو شناخته شده ترین تابعی‌ها در حساب تغییرات اند. در نظریه احتمالات، وقتی توابع محدب را بر روی امید ریاضی یک متغیر تصادفی اعمال می کنند، همیشه از بالا توسط امید ریاضی تابع محدب آن متغیر تصادفی محدود می شود، یعنی کران بالای آن این مقدار است یا به بیان دقیق تر: . به خاصیت اخیر که در قالب یک نامساوی بیان شد، نامساوی جنسن (یا ینسن) گفته شده که می توان آن را جهت استنتاج نابرابری‌هایی چون نابرابری میانگین حسابی-هندسی و نابرابری هولدر نیز به کار برد.

تعریف[ویرایش]

فرض کنیم ، تابع را کوژ گوییم در صورتی که به ازای هر دو عدد و هر که ، داشته باشیم:

اگر در تعریف بالا تساوی را برداریم آنگاه را اکیداً کوژ می‌نامیم.

خاصیت‌ها[ویرایش]

[۴]

[۵]

جستارهای وابسته[ویرایش]

ارجاعات[ویرایش]

  1. «از اصطلاحات مورد استفادهٔ پژوهشکدهٔ آمار». بایگانی‌شده از اصلی در ۱۸ فوریه ۲۰۱۴. دریافت‌شده در ۱۹ دسامبر ۲۰۱۴.
  2. «فرهنگستان زبان و ادب فارسی». www.persianacademy.ir. بایگانی‌شده از اصلی در ۴ دسامبر ۲۰۱۴. دریافت‌شده در ۲۰۱۶-۱۰-۱۴.
  3. "Lecture Notes 2" (PDF). www.stat.cmu.edu. Retrieved 3 March 2017.
  4. Donoghue, William F. (1969). Distributions and Fourier Transforms. Academic Press. p. 12. ISBN 9780122206504. Retrieved August 29, 2012.
  5. Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization (pdf). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. Retrieved October 15, 2011.

منابع[ویرایش]

  • Bertsekas, Dimitri (2003). Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific.
  • Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.
  • Donoghue, William F. (1969). Distributions and Fourier Transforms. Academic Press.
  • Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
  • Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd.
  • Lauritzen, Niels (2013). Undergraduate Convexity. World Scientific Publishing.
  • Luenberger, David (1984). Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley.
  • Luenberger, David (1969). Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons.
  • Rockafellar, R. T. (1970). Convex analysis. Princeton: Princeton University Press.
  • Thomson, Brian (1994). Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press.
  • Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing  Co., Inc. pp. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.