نمودار ورنوی

ده فروشگاه در شهر مسطح و سلول‌های ورونوی آنها (نسخه بزرگتر پایین).

در علم ریاضیات، نمودار ورنوی روشی برای تقسیم فضا به تعدادی ناحیه می‌باشد. در این دیاگرام به هر مجموعه‌ای از نقاط (که دامنه‌ها، سایت‌ها یا ژنراتورها نامیده می‌شوند) ناحیه‌ای اختصاص داده می‌شود. این نواحی سلول‌های ورونوی نامیده می‌شود. برای یک مجموعه از نقاط دیاگرام ورونوی سطح را به مناطقی تقسیم‌بندی می‌کند که برای هر نقطه از مجموعه نقاط یک منطقه تعریف می‌شود. به طوری که تمام نقاط این منطقه به نقطه تولیدکننده آن منطقه نزدیکتر می‌باشد. از کاربردهای این دیاگرام در مثلث بندی دیلانی می‌باشد.

این دیاگرام به افتخار یوهان پتر گوستاف لوژون دیریکله به نام موزاییک کاری دیریکله، و بعد از گریگوری وُرنوی به نام موزاییک کاری وُرُنوی یا تجزیه وُرُنوی نامیده شد. دیاگرام‌های ورونوی در علوم و فناوری‌های متعدد یا حتی در هنر کاربرد دارد و تاکنون کاربردهای متفاوتی از آن در زمینه‌های خاص گزارش شده‌است.

ساده ترین مورد

در ساده‌ترین و بارزترین مورد (همان طور که در شکل نشان داده شده‌است) یک مجموعه متناهی از نقاط $\{p_{1},p_{2}\cdots ,p_{n}\}$ را در یک فضای اقلیدسی در این مورد هر ناحیه $p_{k}$ یک نقطه ساده بوده که برای آن سلول ورونوی $R_{k}$ (که ناحیه ورونوی یا سلول دیریکله نامیده می‌شود.)درنظر می‌گیریم $R_{k}$ شامل نقاط دیگری نیز می‌باشد که فاصله هر نقطه درون $R_{k}$ تا $p_{k}$ کمتر یا برابر با فاصله سایر سایت‌ها تا $p_{k}$ می‌باشد. این سلول از به اشتراک گذاشتن نیمی از فضا حاصل می‌شود و بنابراین یک چند ضلعی محدب نامیده می‌شود. بخش‌های دیاگرام ورونوی تمامی نقاط سطح می‌باشد که با دو تا از نزدیکترین سایت‌ها هم فاصله می‌باشد. رأس‌های ورونوی (گره‌ها) نقاط هم فاصله با سه (یا تعداد بیشتر) سایت‌ها می‌باشد.

تعریف رسمی

فرض کنید $\displaystyle {X}$ یک فضا (مجموعه ناتهی) با تابع فاصله $d$ باشد. فرض کنید $\displaystyle {K}$ یک مجموعه از اندیس‌ها و $(P_{k})_{k\in K}$ یک چند تایی (مرتب شده) از زیر مجموعه‌های ناتهی (سایت‌ها) در فضای $\displaystyle {X}$ باشد. سلول ورونوی یا ناحیه ورونوی $\displaystyle {R_{k}}$ که متناظر با $\displaystyle {P_{k}}$ می‌باشد. به طوریکه $\displaystyle {R_{k}}$ مجموعه‌ای از نقاط در فضای $\displaystyle {X}$ می‌باشد که فاصله اشان تا $\displaystyle {P_{k}}$ کوچکتر یا مساوی سایر نقاط $\displaystyle {P_{j}}$ می‌باشد جاییکه $j$ مخالف هر اندیس k می‌باشد. به عبارت دیگر اگر $d(x,A)=\inf\{d(x,a)\,|\,a\in A\}$ مشخص‌کننده فاصله بین x و زیر مجموعه A باشد پس $R_{k}=\{x\in X\,\,|\,\,d(x,P_{k})\leq d(x,P_{j})\,\,{\text{for all}}\,\,j\neq k\}.$.
نمودار ورونوی یک چندتایی ساده از سلول‌های $(R_{k})_{k\in K}$ می‌باشد. در اصل بعضی از سایت‌ها می‌توانند از وسط قطع شده و حتی در یک ناحیه قرار گیرند (یک کاربرد آن برای فروشگاه‌ها شرح داده شده‌است.)اما معمولاً فرض بر این است که در یک ناحیه به صورت مجزا قرار گیرند. به علاوه تعداد نامتناهی سایت در این دیاگرام می‌توان تعریف کرد (که کاربرد در هندسه محاسباتی و بلورنگاری می‌باشد.)اما غالباً تعداد متناهی سایت در نظر گرفته می‌شود. در مورد خاص فضا یک فضای اقلیدسی با بعد متناهی می‌باشد، هر سایت یک نقطه بوده که بسیاری از نقاط متناهی در نظر گرفته می‌شوند به طوری که همه آن‌ها متفاوت می‌باشند. پس سلول‌های ورونوی چند وجهی‌های محدب بوده و می‌توان آن‌ها را با روش‌های ترکیبی و با استفاده از رئوس، نمای دو بعدی و... نمایش داد. گاهی اوقات ساختار ترکیبی کاهشی به دیاگرام ورونوی ارجاع داده می‌شود. به هر حال در حالت کلی سلول‌های ورونوی محدب یا پیوسته نمی‌باشد.

توضیحات

به عنوان یک توضیح ساده، مجموعه از فروشگاه‌ها را در یک شهر مسطح در نظر می‌گیریم. فرض کنید که می‌توان تعداد مشتریان فروشگاه را تخمین زد. در نظر می‌گیریم سایر پارامترها (مانند قیمت‌ها، محصولات، کیفیت خدمات و...)ثابت باشد. به طوریکه تنها فاکتور انتخاب فروشگاه توسط مشتریان فاصله تا فروشگاه باشد. بنابراین مشتریان فروشگاهی را انتخاب می‌کنند که از موقعیت آن‌ها حداقل فاصله را داشته باشد. در اینجا سلول ورونوی $\displaystyle {R_{k}}$ و فروشگاه$\displaystyle {P_{k}}$ بوده و از نمودار ورونوی می‌توان برای تخمین تعداد مشتریان فروشگاه استفاده نمود (در مدلسازی ما هر فروشگاه در شهر در حقیقت یک نقطه دیاگرام ورونوی می‌باشد.) تا به اینجا فرض بر این بوده که فاصله بین نقاط در شهر به صورت استاندارد اندازه گیری شده‌است که متناظر با فضای اقلیدسی است به طوریکه $d((a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2}))={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}$.
به هر حال اگر ما مسئله را طوری بررسی کنیم که مشتریان تنها با وسیله نقلیه به فروشگاه رفته و مسیرهای ترافیکی به موازات محورهایX و Y باشد، مانند جزیره منهتن، بنابراین تابع فاصله واقعی فاصله $\ell _{1}$ خواهد بود که آن را $d$ می‌نامیم به طوری که $\displaystyle {d((a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2}))=|a_{1}-b_{1}|+|a_{2}-b_{2}|}$.

ده مغازه در شهر مسطح و سلول‌های ورونوی آنها (فاصله اقلیدسی).

ده مغازه یکسان در محدوده مانهاتان. این تصویر نشان می‌دهد که سلول‌های ورونوی به طور قابل توجهی ازمتریک پیروی می‌کنند.

ماهیت

• گراف دو تایی برای دیاگرام ورونوی (در مورد فضای اقلیدسی با سایت‌های نقطه‌ای) مشابه مثلث بندی دلانی برای همان مجموعه نقاط می‌باشد.
• نزدیکترین جفت نقاط متعلق به دو سلول مجاور در دیاگرام ورونوی می‌باشد.
• فرض کنید که مجموعه‌ای از نقاط در فضای اقلیدسی داده شده باشد. بنابراین دو نقطه مجاور در پوش محدب وجود دارند اگر و تنها اگر سلول‌های ورونوی آن‌ها در یک جهت طولانی نامتناهی مشترک باشند.
• اگر فضای مورد مطالعه یک فضای هنجار و فاصله هر سایت قابل دسترسی باشد (به عنوان مثال هنگامی که یک سایت یک مجموعه فشرده یا توپ محصور شده باشد) پس هر سلول ورونوی می‌تواند به عنوان اجتماعی از قطعات خطی ناشی از سایت‌ها نمایش داده شود. As همان‌طور که نشان داده شده‌است زمانی که فاصله تعیین نشده باشد لزوماً ماهیت نمودار حفظ نمی‌شود.
• تحت شرایط عمومی نسبی (فضای مورد مطالعه فضایی واحد و محدب و به احتمال زیاد دارای بعد نامحدود بوده و در نتیجه تعداد بسیار نامحدودی سایت در حالت عمومی وجود دارد.)سلول‌های ورونوی دارای ماهیت پایدار معین خواهند بود: تغییر کوچکی در شکل سایت‌ها، به عنوان مثال ایجاد تغییر توسط انتقال یا تحریف، منجر به تغییر شکل سلول‌های ورونوی می‌شود که این عمر به دلیل پایدار هندسی دیاگرام ورونوی می‌باشد.. همان‌طور که در این جا نشان داده شده‌است در حالت عمومی ماهیت ثابت نخواهد ماند حتی اگر فضا دو بعدی (اما در شرایط محدب غیر یکنواخت و در حالت خاص غیر اقلیدسی) و سایت‌ها نقطه‌ها باشند.

تاریخچه و تحقیقات

استفاده غیر رسمی از دیاگرام ورونوی به سال ۱۶۴۴ و توسط دکارت بر می‌گردد.یوهان پتر گوستاف لوژون دیریکله از نمودارهای ورونوی دو و سه بعدی در مطالعات فرم و حالت درجه دو در سال ۱۸۵۰ استفاده کرد. فیزیکدان انگلیسی به نام جان اسنو در سال ۱۸۵۴ از یک نمودار ورونوی استفاده کرد تا بتواند پاسخ مناسبی برای این سؤال پیدا کند که چگونه اکثریت مردم ساکن سوهو که در اثر ابتلا به بیماری وبا جان خود را از دست می‌دهند در نزدیکی پمپ‌های «خیابان ِ برود» زندگی می‌کنند که آلوده به عامل عفونت وبا می‌باشد در صورتی که اقلیت مبتلایان از سایر پمپ‌های آب استفاده می‌نمودند.

دیاگرام ورونوی بعد از ریاضیدان اوکراینی گریگُری ورونوی با این نام شناخته شد. ورونوی در سال ۱۹۰۸ مطالعات خود را بر این دیاگرام در فضای $n$ بعدی عمومی انجام داد. دیاگرام ورونوی مورد استفاده در ژئوفیزیک و هواشناسی به منظور آنالیز داده‌های توزیع فضایی (مانند اندازه‌گیری میزان بارش)، بعد از هواشناس آمریکایی Alfredh. Thiessen با نام چند ضلعی Thiessen شناخته شد. در فیزیک مواد متراکم و فشرده مانند موزاییک کاری‌ها به عنوان سلول واحد Wigner-Seitz شناخته می‌شود.موزاییک کاری ورونوی در تکانه شبکه دو طرفه با نام مناطق Brillouin شناخته می‌شود. برای شبکه‌های عمومی در گروه لی این سلول‌ها به صورت ساده با عنوان دامنه اساسی نامیده می‌شوند. در زمینه فضاهای متریک عمومی سلول‌ها غالباً چندضلعی اساسی متریک نامیده می‌شود. سایر نام‌های معادل برای این مفهوم (و یا موارد مهم خاص آن) عبارتند از: چندوجهی ورونوی، چند ضلعی ورونوی، دامنه (های) نفوذ، تجزیه ورونوی، موزاییک کاری (های) ورونوی، موزاییک کاری‌های دیریکله.

نمونه‌ها

این تصویر برشی از دیاگرام ورونوی را نشان می‌دهد که برای نقطه‌هایی تصادفی در جعبه‌ای سه بعدی ساخته شده است. در حالت کلی سطح مقطع سه بعدی موزاییک کاری ورونوی نمی‌تواند خودش یک دیاگرام ورونوی دو بعدی باشد. (سلول‌ها همگی چند وجهی محدب هستند.)

موزاییک کاری شبکه‌های منظم در دو یا سه بعد در بسیاری از موزاییک کاری‌های معروف توسعه یافته‌است.

• یک شبکه دو بعدی یک موزاییک کاری شش گوش نامرتب با چند ضلعی‌های برابر و تقارن نقاط ایجاد می‌کند. در مورد شبکه مثلثی منظم موزاییک کاری منظم خواهیم داشت. در مورد شبکه مستطیلی، شش ضلعی به مستطیل در سطر و ستون کاهش پیدا می‌کند. یک شبکه مربعی یک موزاییک کاری منظم از مربعات را ایجاد می‌کند. توجه داشته باشید که شبکه‌های مستطیلی و مربعی می‌تواند توسط سایر شبکه‌ها نیز ایجاد شوند.(به عنوان مثال شبکه تولید شده به وسیله بردارهای (۱٬۰) و (۱/۲٬۱/۲) شبکه مربعی ایجاد می‌کند.)
• یک شبکه مکعبی ساده یک شش گوش مربعی می‌دهد.
• یک شبکه شش ضلعی فشرده فضای موزاییک کاری دوازده سطحی لوزی-ذوزنقه می‌دهد.
• یک شبکه مرکز وجوه پر فضای موزاییک کاری دوازده سطحی لوزی شکل تولید می‌کند.
• یک شبکه مرکز پر یک فضای موزاییک کاری هشت وجهی کوتاه می‌دهد.
• طرح‌های موازی با شبکه‌های مثلثی مرتب که مرکزهایشان پشت سر هم قرار گرفته‌اند منشور شش وجهی ایجاد می‌کند.
• شبکه‌های شش وجهی مرکز پر یک فضای موزاییک کاری دوازده سطحی شش وجهی –لوزی می‌دهد.

برای مجموعه‌ای از نقاط (x, y) با در نظر گرفتن x در مجموعه جدا X و y در مجموعه مجزا Y به کاشی مستطیلی شکل خواهیم رسید که لزوماً نقاط در مرکز آن‌ها قرار ندارند.

دیاگرام ورونوی مرتبه بالاتر

اگرچه یک سلول ورونوی نرمال به عنوان یک مجموعه از نقاط با نزدیکترین فاصله به یک نقطه تنها در S تعریف شده‌اند، یک سلول ورونوی از مرتبه $n$ به عنوان یک مجموعه از نقاط نامیده می‌شود که یک مجموعه خاص از $n$ در $S$ دارند که این $n$ نزدیکترین همسایه به نقطه تنهای مورد نظر می‌باشد. دیاگرام ورونی از مرتبه بالاتر هم چنین فضا را طبقه بندی می‌کنند.

دیاگرام ورونوی مرتبه بالاتر می‌توانند به صورت بازگشتی تولید شوند. به منظور تولید نمودار ورونوی از مرتبه $n$ از مجموعه Sبا دیاگرام مرتبه $(n-1)$ام شروع نموده و هر سلول تولید شده با $X=\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n-1}\}$ را با نمودار تولید شده روی مجموعه  $S-X$ جایگزین می‌کنیم.

نمودار ورونوی دورترین نقطه

برای یک مجموعه $n$ نقطه‌ای، نمودار ورونوی مرتبه $(n-1)$ ام دیاگرام ورونوی با نام دیاگرام ورونوی دورترین نقطه شناخته می‌شود.

برای یک مجموعه از نقاط $S=\{p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\}$ دیاگرام ورونوی دورترین نقطه طرح را به سلول‌هایی تقسیم می‌کند که نقطه یکسان P دورترین نقطه می‌باشد. توجه داشته باشید که نقطه P دارای سلولی در دیاگرام دورترین نقطه است اگر و تنها اگر به عنوان یک راس از پوشش محدب P باشد. بنابراین $H=\{h_{1},h_{2},\cdots ,p_{k}\}$ را به عنوان پوشش محدب P قرار داده به طوری که هر نقطه درون $H$ با این ویژگی که نقطه q در درون سلول مربوط به سایت $h_{i}$ قرار گرفته‌است، دیاگرام ورونوی نقطه دور را به عنوان بخشی از طرح در سلول‌های $k$ تعریف می‌کنیم اگر و تنها اگر فاصلهٔ $(q,h_{i})$ بیشتر از فاصله $(q,p_{j})$ باشد و $p_{j}\in S$ و $h_{i}\neq p_{j}$ و فاصله $(q,p)$ فاصله اقلیدسی بین نقطه $p$ و $q$ است.

عمومیت‌ها و تغییرات

به منظور روشن شدن موضوع توسط تعریف کردن، سلول‌های ورونوی می‌تواند برای متریک‌های غیر از فاصله‌های اقلیدسی (مانند ماهالانوبیس و منهتن. به هر حال در این موارد مرزهای سلول ورونوی می‌تواند نسبت به موارد اقلیدسی پیچیده تر شود. چرا که مکان هندسی هم فاصله برای دو نقطه می‌تواند به زیر فضای هم بعد یک یا دو بعدی تقسیم شود.

یک نمودار ورونوی سنگین تابعی از زوج نقاط است که به منظور تعریف سلول ورونوی، تابع فاصله به وسیله ضرب یا جمع وزن‌های نقاط تولید شده اصلاح می‌شود. در مقابل سلول‌های ورونوی توسط فاصله‌های متریک تعریف می‌شود. در این مورد برخی از سلول‌های ورونوی ممکن است خالی باشند. یک دیاگرام توان نوعی لز دیاگرام ورونوی است که مجموعه‌ای از دایره‌ها توسط فاصله توانی تعریف می‌شوند. این دیاگرام همچنین می‌تواند به عنوان دیاگرام ورونوی سنگین معرفی شود به طوری که یک وزن، از مجموع شعاع هر دایره و توان دوم فاصله از مرکز دایره تعریف می‌شود.

دیاگرام ورونوی n نقطه در فضای d بعدی، نیازمند فضای ذخیره‌سازی $O(n^{\lceil d/2\rceil })$ می‌باشد. بنابراین دیاگرام ورونوی اغلب برای $d>2$ امکان‌پذیر نمی‌باشد. یک پیشنهاد دیگر استفاده از دیاگرام ورونوی تقریبی است به طوری که اگر سلول‌های ورونوی دارای مرزهای فازی باشند می‌توان از این تقریب استفاده نمود.. پیشنهاد دیگر مربوط به زمانی است که هر سایت یک دایره فازی باشد و در نتیجه سلول‌ها نیز فازی شوند.

سلول‌های ورونوی همچنین با سایر ساختارهای هندسی دیگر مانند محورهای میانی (به طوری که در قطعه بندی تصویر شناسایی ماهیت نوری و سایر کاربردهای محاسباتی دیگر مورد استفاده قرار می‌گیرد.)طرح ریزی مستقیم و نمودارهای نقطه‌ای مرتبط است.

کاربردها

• در علم بیماری‌های واگیردار دیاگرام ورونوی می‌تواند در منابع وابسته به عفونت در بیماری‌های مسری مورد استفاده قرار گیرد. یکی از موارد استفاده اولیه دیاگرام‌های ورونوی توسط John Snow در سال ۱۸۵۴ در زمان شیوع وبا در سوهو و در Broad Street می‌باشد. وی ارتباط بین نواحی روی نقشه لندن را که از پمپ‌های آبی خاص استفاده می‌نمودند و نواحی با بیش‌ترین آمار مرگ و میر به دلیل شیوع بیماری وبا را با این دیاگرام نشان داد.
• یک ساختمان داده موقعیت نقطه می‌تواند در مورد دیاگرام ورونوی به منظور پاسخگویی یه جستجوی نزدیک‌ترین همسایه ایجاد شود، در جایی که شخص بخواهد نزدیکترین شی را به نقطه مورد جستجو پیدا کند. جستجوی نزدیکترین همسایه چندین کاربرد دارد:به عنوان مثال ممکن است بخواهیم نزدیکترین بیمارستان یا اشیا مشابه را در پایگاه داده پیدا کنیم. بیش‌ترین کاربرد در رقمی سازی بردار و معمولاً در فشرده سازی داده‌ها می‌باشد.
• در هندسه دیاگرام‌های ورونوی می‌تواند به منظور یافتن بزرگترین محدوده خالی از مجموعه نقاط و همچنین در چند ضلعی محصور مورد استفاده قرار گیرد. به عنوان مثال برای تأسیس یک سوپر مارکت جدید در حداکثر فاصله از سایر سوپرمارکت‌های موجود که در یک شهر خاص قرار گرفته‌اند این دیاگرام کاربرد دارد.
• دیاگرام ورونوی و دیاگرام و دیاگرام ورونوی دورترین نقطه برای الگوریتم‌های کارا به منظور محاسبه منحنی مجموعه نقاط مورد استفاده قرار می‌گیرد.
• روش ورونوی کاربرد مؤثری در سنجش مدور بودن/گرد بودن در زمان ارزیابی مجموعه داده‌ها توسط دستگاه سنجش مختصات دارد.

در فیزیک پلیمر دیاگرام ورونوی می‌تواند در نمایش دادن حجم خالی پلیمرها مورد استفاده قرار گیرد.

• در شبکه دیاگرام‌های ورونوی می‌تواند در استخراج ظرفیت شبکه بی سیم استفاده شود.
• در علم آب و هوا‌شناسی (اقلیم شناسی)دیاگرام‌های ورونوی در محاسبه میزان بارش یک منطقه بر مبنای اندازه‌گیری مجموعه‌ای از نقاط کاربرد دارد. در زمینه این کاربرد غالباً به چندضلعی Thiessen ارجاع داده می‌شود.
• در علم بوم شناسی دیاگرام ورونوی به منظور مطالعه الگوهای رشد جنگل‌ها، تاج‌پوش جنگل و همچنین استفاده مؤثر در توسعه مدل‌های پیش گویانه آتش سوزی جنگل‌ها کاربرد دارد.
• در گرافیک کامپیوتر دیاگرام‌های ورونوی به منظور ایجاد متن‌های اثلی و ساختمانی به کار برده می‌شوند.
• در هدایت ربات‌های مستقل دیاگرام‌های ورونوی به منظور یافتن مسیرهای واضح کاربرد دارند.
• در شیمی محاسباتی سلول‌های ورونوی که توسط موقعیت هسته در مولکول تعریف می‌شوند در محاسبه بارهای اتمی مورد استفاده قرار می‌گیرند. این امر توسط روش چگالی تغییر شکل ورونوی انجام می‌پذیرد.
• در دانش مواد ساختارهای میکروپلی کریستالی در آلیاژهای فلزی توسط موزاییک کاری ورونوی نمایش داده می‌شود.
• در استخراج معدن چند ضلعی ورونوی به منظور تخمین ذخایر مواد با ارزش، مواد معدنی یا سایر منابع کاربرد دارد. در اینجا حفره‌ها و سوراخ خای اکتشافی با عنوان مجموعه نقاط چندضلعی ورونوی می‌باشد.
• دریادگیری ماشینی دیاگرام‌های ورونوی در انجام طبقه‌بندی 1-NN کاربرد دارد.

جستارهای وابسته

الگوریتم‌ها

• الگوریتم Bowyer-Watson الگوریتمی برای ایجاد دیاگرام ورونوی برای هر بعدی می‌باشد.
• الگوریتم Fortune's بک الگوریتم ((O(n log (n به منظور ایجاد دیاگرام ورونوی از مجموعه نقاط در طرح می‌باشد.
• الگوریتم Lloyd's یک موزاییک کاری ورونوی در فضای با بعد دلخواه تولید می‌کند.

موضوعات مرتبط

• موزاییک کاری ورونوی مرکزی
• هندسه محاسباتی
• مثلث بندی دلانی
• دیاگرام ریاضیات
• الحاق همسایه طبیعی
• جست و حوی تزدیکترین همسایه
• الحاق نزدیکترین همسایه
• قطب ورونوی

منابع

• G. Lejeune Dirichlet (1850). "Über die Reduktion der positiven quadratischen Formen mit drei unbestimmten ganzen Zahlen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. ۴۰: ۲۰۹–۲۲۷.
• Voronoi, Georgy (1908). "Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes quadratiques". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. ۱۳۳: ۹۷–۱۷۸. doi:10.1515/crll.1908.133.97.
• Atsuyuki Okabe, Barry Boots, Kokichi Sugihara & Sung Nok Chiu (2000). Spatial Tessellations – Concepts and Applications of Voronoi Diagrams. 2nd edition. John Wiley, 2000, 671 pages ISBN 0-471-98635-6
• Aurenhammer, Franz (1991). "Voronoi Diagrams – A Survey of a Fundamental Geometric Data Structure". ACM Computing Surveys. ۲۳ (۳): ۳۴۵–۴۰۵. doi:۱۰٫۱۱۴۵/۱۱۶۸۷۳٫۱۱۶۸۸۰. {{cite journal}}: Check |doi= value (help)
• Bowyer, A. (1981). "Computing Dirichlet tessellations". The Computer Journal. 24 (2): 162–166. doi:10.1093/comjnl/24.2.162. ISSN 0010-4620.
• Reem, Daniel (2009). "An algorithm for computing Voronoi diagrams of general generators in general normed spaces". Proceedings of the sixth International Symposium on Voronoi Diagrams in science and engineering (ISVD 2009). pp. 144–152. doi:10.1109/ISVD.2009.23.
• Nielsen, Frank; Boissonnat, Jean-Daniel; Nock, Richard (2007). "On Bregman Voronoi Diagrams". Proc. 18th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA).
• Nielsen, Frank; Nock, Richard (2006). "On approximating the smallest enclosing Bregman Balls". Proc. 22nd ACM Symposium on Computational Geometry. pp. ۴۸۵–۴۸۶. doi:۱۰٫۱۱۴۵/۱۱۳۷۸۵۶٫۱۱۳۷۹۳۱. {{cite conference}}: Check |doi= value (help)
• Daniel Reem (2011). The geometric stability of Voronoi diagrams with respect to small changes of the sites. Full version: arXiv 1103.4125 (2011), Extended abstract: in Proceedings of the 27th Annual ACM Symposium on Computational Geometry (SoCG 2011), pp. 254–263.
• Watson, D. F. (1981). "Computing the n-dimensional Delaunay tessellation with application to Voronoi polytopes". The Computer Journal. 24 (2): 167–172. doi:10.1093/comjnl/24.2.167. ISSN 0010-4620.
• Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars, and Otfried Schwarzkopf (2000). Computational Geometry (2nd revised edition ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-65620-0. {{cite book}}: |edition= has extra text (help)نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link) Chapter 7: Voronoi Diagrams: pp.  147–163. Includes a description of Fortune's algorithm.
• Rolf Klein (1989). Abstract voronoi diagrams and their applications. Lecture Notes in Computer Science. Vol. ۳۳۳. اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا. pp. 148–157. doi:۱۰٫۱۰۰۷/۳-۵۴۰-۵۰۳۳۵-۸_۳۱. ISBN 3-540-52055-4. {{cite book}}: Check |doi= value (help)

پیوند به بیرون

• Real time interactive Voronoi / Delaunay diagrams with draggable points، Java 1.0.2، 1996–1997
• Real time interactive Voronoi and Delaunay diagrams with source code
• Interactive Voronoi diagrams with Natural Neighbor Interpolation visualization (in WebGL)
• Demo for various metrics
• Mathworld on Voronoi diagrams
• Qhull for computing the Voronoi diagram in 2-d، 3-d، etc.
• Voronoi Diagrams: Applications from Archaeology to Zoology
• Voronoi Diagrams in CGAL، the Computational Geometry Algorithms Library
• Voronoi Web Site: using Voronoi diagrams for spatial analysis
• More discussions and picture gallery on centroidal Voronoi tessellations
• Voronoi Diagrams by Ed Pegg، Jr.، Jeff Bryant، and Theodore Gray، Wolfram Demonstrations Project.
• Nice explanation of voronoi diagram and visual implementation of fortune's algorithm
• A Voronoi diagram on a sphere
• Plot a Voronoi diagram with Mathematica